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圆锥曲线第二定义

圆锥曲线第二定义解题例说

圆锥曲线的第二定义出现在例题中,教材中没有专门举例说明其应用,有很多同学对其 认识不足,为此本文举例说明第二定义的应用。 一、求焦点弦长 例 1 过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A( x 1,y1 ) 、B( x 2,y 2 ) ,若

x 1 ? x 2 ? 6 ,求|AB|的长。
解:设 AB 的中点为 E,点 A、E、B 在抛物线准线 l: x ? ?1上的射影分别为 G、H、 M。由第二定义知:

| AB |?| AF | ? | BF |?| AG | ? | BM |? 2 | EH |? 2

x1 ? x 2 ? (?1) ? 8 。 2

二、求离心率

例 2 设椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)的右焦点为 F1 ,右准线为 l1,若过 F1 且垂直于 x 轴 a 2 b2

的弦的长度等于 F1 到准线 l1 的距离,求椭圆的离心率。

解:如图,AB 是过 F1 垂直于 x 轴的弦,| F1C | 为 F1 到准线 l1 的距离,AD⊥l1 于 D,则 |AD|=|F1C|,由题意知 | AF1 |? 由椭圆的第二定义知:

1 | AB | 。 2

1 1 | AB | | AB | | AF1 | 2 1 e? ? ?2 ? | AD | | F1C | | AB | 2

三、求点的坐标 例 3 双曲线 x 2 ? 1,求点 P 的坐标。 解:设点 P( x 0,y 0 ) ( x0 ? 0 ) ,双曲线的左准线为 l1: x ? ? 则点 P 到 l1、l2 的距离分别为 d1 ? x 0 ? ,d 2 ? x 0 ?

y2 ? 1 的右支上一点 P,到左焦点 F1 与到右焦点 F2 的距离之比为 2: 3

1 1 ,右准线为 l2: x ? , 2 2

1 2

1 。 2

1 2 ? 2 ,解得 x ? 3 。 ? ? 所以, 0 1 1 PF2 d2 2 x0 ? 2 PF1 d1 x0 ?
将其代入原方程,得 y 0 ? ?

?3 15 15 ? ?。 。因此,点 P 的坐标为 ? , ? ? ? 2 2 2 ? ?

四、求离心率的范围

例 4 已知椭圆

x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , F1、F2 分别是左、右焦点,若椭圆上存在点 P, a 2 b2

使∠F1PF2=90°,求椭圆的离心率 e 的取值范围。

? a2 ? ? ? ? a ? ex 0 , 解 : 设 点 P ( x 0,y 0 ), 则 由 第 二 定 义 得 | PF | ? e x ? 1 ? 0 c ? ? ? ? a2 ? ? ? a ? ex 0 。 | PF2 |? e? ? x 0 ? c ? ? ?
2 2 2 因为 ?PF1 F2 为直角三角形,所以 | PF 1 | ? | PF 2 | ?| F 1 F2 | 。

即 (a ? ex 0 ) 2 ? (a ? ex 0 ) 2 ? (2c) 2 ? 4c 2

2 ? 解得 x 0

2c 2 ? a 2 2 ,由椭圆方程中 x 的范围知 0 ? x 0 ? a2。 e2

?0 ?

2 2c 2 ? a 2 ? e ?1。 ? a 2 ,解得 2 2 e

五、求最值

x 2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 为椭圆上一动 16 12 点,求 | MA | ?2 | MF | 的最小值,并求此时点 M 的坐标。
例 5 已知点 A( ? 2,3 ) ,设点 F 为椭圆 解:如图,过点 A 作右准线 l 的垂线,垂足为 N,与椭圆交于点 M。

∵椭圆的离心率 e ?

1 2

∴由第二定义得 2 | MF |?| MN | ∴ | AM | ?2 | MF | 的最小值为|AN|的长,且 | AN |? 2 ? 8 ? 10 ∴ | AM | ?2 | MF | 的最小值为 10,此时点 M 的坐标为( 2 3 , 3 )