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2014年自主招生培训讲义10讲第八讲 向量与复数

第八讲.向量与复数
知识要求
1.掌握平面向量的有关知识,学会利用平面向量解决相关问题 2.掌握复数的三种形式 3.掌握复数方法

典型例题
| OB |? 1 , ? 为 OA 与 OB 的夹角.已知 OP ? tOA , 1. O, A, B 为平面上的三点, 且 | OA |? 2 ,
OQ ? (1 ? t )OB ,设 | PQ | 取得最小时 t ? t0 ,问 ? 取何值时,有 0 ? t0 ?
1 成立? 5

(2010 年北京大学) 2. 如图,设 P 、 Q 为 ?ABC 内两点, 且 AP ?
C

2 1 2 1 AB ? AC , AQ ? AB ? AC , 5 5 3 4
) D.
P

Q

则 ?ABP 的面积与 ?ABQ 的面积之比为( A.

1 3

B.

1 4

C.

3 5

4 5

A

B

(2010 年武汉大学) 相关习题 (1). 已知动直线 l 与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 两不同点,且 ?OPQ 3 2

的面积 S?OPQ ?

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(i)证明: x12 ? x22 和 y12 ? y22 均为定值; (ii)设线段 PQ 的中点为 M ,求 OM ? PQ 的最大值; (iii)椭圆 C 上是否存在三点 D, E, G ,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 判断 ?DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 3. 求 2 ? 2e 相关习题
1
0.4? i

6 ?若存在, 2

(2011 年山东卷高考) (2009 年清华大学)

? e1.2? i 的模.

1 1 n (1) 求最小的正整数 n ,使得 I ? ( ? i) 为纯虚数,并求出 I . 2 2 3

(2006 年清华大学)

4. 平面坐标系逆时针旋转 ? ,求原坐标中点 P( x, y ) 在新坐标系下的坐标 P?( x1 , y1 ) . (2008 年中国科技大学) 相关习题 (1)在实数分解因式 (i) x ? x ? x ? 1;
3 2

(ii) x ? x ? x ? x ? 1.
4 3 2

(2008 年山东大学) (2006 年复旦大学)

5. 已知 z ? sin t ? i cos t ,且 sin t ? cos t ? 1. 试求 ? z k 的值.
k ?1

n

(2009 年清华大学)

6. 对自然数 n ,令 Sn 为

?
i ?1

n

2 的最小值,其中 a1 、 a2 、?、 an 为正实数,其 (2k ? 1)2 ? ak

和为 17,若存在唯一的 n 使得 Sn 也为整数,求 n . 7. 证明: sin

π 2π ? sin ? n n

? sin

(n ? 1) π n ? n?1 (n ? 2, n ? N* ). n 2
(2013 年中国科技大学夏令营)

8. 求方程 x ? 10 x ? 20 x ? 4 ? 0 的所有根.
5 3

(2013 年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营)

2


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