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2014年自主招生培训讲义10讲第八讲 向量与复数
第八讲．向量与复数
知识要求
1.掌握平面向量的有关知识，学会利用平面向量解决相关问题 2.掌握复数的三种形式 3.掌握复数方法
典型例题
| OB |? 1 ， ? 为 OA 与 OB 的夹角.已知 OP ? tOA ， 1. O, A, B 为平面上的三点， 且 | OA |? 2 ，
OQ ? (1 ? t )OB ，设 | PQ | 取得最小时 t ? t0 ，问 ? 取何值时，有 0 ? t0 ?
1 成立？ 5
（2010 年北京大学） 2． 如图，设 P 、 Q 为 ?ABC 内两点， 且 AP ?
C
2 1 2 1 AB ? AC ， AQ ? AB ? AC ， 5 5 3 4
） D.
P
Q
则 ?ABP 的面积与 ?ABQ 的面积之比为（ A.
1 3
B.
1 4
C.
3 5
4 5
A
B
（2010 年武汉大学） 相关习题 （1）. 已知动直线 l 与椭圆 C ：
x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 两不同点，且 ?OPQ 3 2
的面积 S?OPQ ?
6 ，其中 O 为坐标原点． 2
（i）证明： x12 ? x22 和 y12 ? y22 均为定值； （ii）设线段 PQ 的中点为 M ，求 OM ? PQ 的最大值； （iii）椭圆 C 上是否存在三点 D, E, G ，使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 判断 ?DEG 的形状；若不存在，请说明理由． 3. 求 2 ? 2e 相关习题
1
0.4? i
6 ？若存在， 2
（2011 年山东卷高考） （2009 年清华大学）
? e1.2? i 的模.
1 1 n （1） 求最小的正整数 n ，使得 I ? ( ? i) 为纯虚数，并求出 I . 2 2 3
（2006 年清华大学）
4. 平面坐标系逆时针旋转 ? ，求原坐标中点 P( x, y ) 在新坐标系下的坐标 P?( x1 , y1 ) . （2008 年中国科技大学） 相关习题 （1）在实数分解因式 （i） x ? x ? x ? 1；
3 2
（ii） x ? x ? x ? x ? 1.
4 3 2
（2008 年山东大学） （2006 年复旦大学）
5. 已知 z ? sin t ? i cos t ，且 sin t ? cos t ? 1. 试求 ? z k 的值.
k ?1
n
（2009 年清华大学）
6. 对自然数 n ，令 Sn 为
?
i ?1
n
2 的最小值，其中 a1 、 a2 、?、 an 为正实数，其 (2k ? 1)2 ? ak
和为 17，若存在唯一的 n 使得 Sn 也为整数，求 n . 7. 证明： sin
π 2π ? sin ? n n
? sin
(n ? 1) π n ? n?1 (n ? 2, n ? N* ). n 2
（2013 年中国科技大学夏令营）
8. 求方程 x ? 10 x ? 20 x ? 4 ? 0 的所有根.
5 3
（2013 年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）
2
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