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高中数学—立体几何及答案(基础+巩固+综合练习)


第九章 平面、直线和简单几何体 基础练习题
一、选择题 1. 若 θ 是两条异面直线所成的角,则( )

A. ? ? (0, ? ]

B. ? ? (0,

?
2

]

C. ? ? [0, ]

?

2

D. ? ? (0, )

?

2

2. 直线a和平面? 都垂直于同一平面,那么直线a和平面? 的位置关系是( A. 相交 B. 平行 ) C. 线在面内

)

D. 线在面内或平行

3. 下列说法正确的是(

①一条直线和一个平面平行,它就和平面内无数直线平行 ②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线没有公共点 ③过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行 ④如果直线 l 和平面 ? 平行,那么过平面 α 内的一点和直线 l 平行的直线在 α 内 A. ②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①②④

4. 以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ④若 a∥?,b ??,则 a∥b

其中正确命题的个数是( A. 0 个 B. 1 个

) C. 2 个 D. 3 个 )

5. 在空间中,l,m,n,a,b 表示直线, ? 表示平面,则下列命题正确的是( A. 若 l∥ ? ,m⊥l,则 m⊥ ? C. 若 a⊥ ? ,a⊥b,则 b∥ ? B. 若 l⊥m,m⊥n,则 m∥n D. 若 l⊥ ? ,l∥a,则 a⊥ ?

6. 若空间四边形两条对角线的长度分别是 6 和 8,所成角是 45°,则连接各边中点所 得四边形的面积 是( ) B. 12 2 C. 6 2 D. 12

A. 24 2 二、填空题

7. 正方体的全面积是 a 2 ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是 8. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 =”). 9. 在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,下列两直线成角的大小是: (1) A1 A 和 B1C1 成角 (2) AC 1 1 和 D1C 成角

.

S正方体 (“>、< 或

. AC 1 1 和 AB 成角 . AC 1 1 和 BD 成角

. .

10. 已知E、F分别为棱长为A的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点,则A1到 EF的距离 为

.

三、解答题 11. 如图所示,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的 中点, 求证:AF∥平面 PEC.

P

A B C

D

12. 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点.
求证:(1)C1O//平面 AB1D1; (2)A1C⊥平面 AB1D1.
A1

D1 B1

C1

D O A B

C

13. 若长为2的线段MN是异面直线a,b的公垂线段,点A,M ?a,点B,N?b,AM=6,BN=8, AB=2 14 , 求异面直线a,b所成的角.

AC ? CD, 14. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,

?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点.
(1)证明: CD ? AE ; (2)证明: PD ? 平面 ABE .

15. 如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,AB ? AD,CD ? AD,PA ? 底面 ABCD, PA=AD=CD=2AB=2, M 为 PC 的中点。 (1)求证:BM∥平面 PAD; (2)在侧面 PAD 内找一点 N,使 MN ? 平面 PBD; (3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦.

巩固提高题

一、选择题 1. 已知两条不同的直线 m、n,两个不同的平面 ?,? ,则下列命题中正确的是( A. 若m ? ? , n // ? , ? ? ? , 则m ? n C. 若m ? ? , n ? ? , ? ? ? , 则m ? n B. 若m // ? , n ? ? , ? ? ? , 则m // n D. 若m // ? , n // ? , ? // ? , 则m // n ) )

2. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是( A. AC 1 1 ? AD C. AC1 与 DC 成 45? 角 B. D1C1 ? AB
? D. AC 1C 成 60 角 1 1与B

3. 两个球的表面积之差为48 ? ,它们的大圆周长之和为12 ? ,这两个球的半径之差为 ( ) B. 3 C. 2 D. 1

A. 4

4. 在四面体 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD,E,F 分别为 AB,CD 的中点,则 EF 与 AC 所成角为( A. 90° B. 60° ) C. 45° D. 30°

5. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, ?AB1B ? 45? , ?CB1C1 ? 60? ,则 ?AB1C 的余弦
值为( )

A.

3 6

B.

2 6

C.

6 3

D.

6 4

6. 已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球心的同一侧且相距是 1, 那么这个球的半径是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 5

二、填空题 7. 两个球的表面积之比是1:16,这两个球的体积之比为

.

8. 矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ⊥DQ,则 a 的值等于

.

9. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,∠ BAB1 =∠ B1 AC 1 1 =30?,则 (1)AB 与 AC 1 1 成角 (2) AD1 与 B1C 成角

. AA1 与 B1C 成角 . AB1 与 D1C 成角

. .

10. AB是异面直线a,b的公垂线段,AB=2cm,a,b所成的角为 90? ,A、C ?a, B、D?b, AC=4cm, BD=4cm, 那么C、D间的距离是

.

三、解答题 11. 在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB、 CC1 的中点,求异面直线 EF 与

AC 1 所成角的大小.

12. 已知三棱锥 P—ABC 中,PA=PB,CB⊥平面 PAB,PM=MC,AN=3NB。 证明:MN⊥AB.
C M B N P A

13. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 8,侧棱长为 6,D 为 AC 中点。 (1)求证:直线 AB1∥平面 C1DB; (2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值.

A1

C1

B1 A B C

14. 在三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC = 长为 2 的正 三角形,求二面角 P-AB-C 的大小.

2 3

,D 是 BC 的中点,且△ ADC 是边

P

C D B

A

15. 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2,E是棱CC1的中点。 (1) 求证:B1D1 ? AE ; (2)求证:AC//平面 B1DE .

D1 A1 B1

C1

E

D A B

C

综合测试题

一、选择题(36 分)。本题共计 9 个小题,每个小题都给出代号为 A、B、C、D 的四 个选项,其中只有一个选项是正确的,将正确的结论代号写在答题纸制定的位置上, 选对的 4 分,选错、不选或多选一律得 0 分。 1. 已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l( A. 与 m,n 都相交 C. 与 m,n 都不相交 B. 与 m,n 中至少一条相交 D. 与 m,n 中一条相交 ) )

2. 已知 a、b、c 均是直线,则下列命题中,必成立的是( A. 若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c 交 C. 若 a// b,b //c,则 a//c 异面直线

B. 若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 也相

D. 若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 也是

4. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AD,CD 和 CC1 的中点,那 么异面直线 EF 和 GH 所成的角是( A. 90° B. 60° ) C. 45° D. 30° )

4. 两个球的体积之比为8:27,那么,这两个球的表面积之比为( A. 2:3 B. 4:9 C.

2:: 3

D.

8:: 27

5. 若直线 a ? b 且 a ∥ 平面? ,则直线b 与平面? 的位置关系是( A. b ? ? C. b ∥? 或b ? ? B. b ? ? D. b与? 相交或b ∥? 或b ? ?



6. 在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、BB1 的中点,那么直 线 AM 与 CN 所成的角的余弦值是(
3 2


10 10
3 5

A. D.
2 5

B.

C.

7. 设 α,β 是两个不重合的平面,m 和 l 是两条不重合的直线,α∥β 的一个充分条件 是( ) B. l ? ? ,m ? ? ,且 l ∥ m D. l ∥? ,m ∥ ? ,且 l ∥ m )

A. l ? ? ,m ? ? ,且 l ∥ ? ,m ∥ ? C. l ? ? ,m ? ? ,且 l ∥ m

8. 设直线 a 在平面 ? 内,则“平面 ? ∥平面 ? ”是“直线 a ∥平面 ? ”的条件( A. 充分但不必要 C. 充分且必要 B. 必要但不充分 D. 不充分也不必要

9. 球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 的周长为 4π ,那么这个球的半径为( )

1 ,经过 3 个点的小圆 6

A.4 3

B. 4 3

C.2

D.

3

二、填空题(32 分)。本题共有 8 个小题,每个小题 4 分,只要求给出结果,并将 结果写在题指定的位 置上. 1. 已知球的表面积是 32π,则球的体积是 _________.

α n mA β

2. 右图用符号语言可表述为 _________.

3. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=3,AA1=4,则异面直线 AB1 与 A1D 所成 的角的余弦 为

.

4. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈 CM , DN 〉的值为 .

5. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,二面角 D1—AC—D 的正切值是

.

6. 如图 PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的射 影,给出下列结论:①AF⊥PB 其中真命题的 序号是 。
P

②EF⊥PB

③AF⊥BC

④AE⊥平面 PBC,

F E

A C

B

7. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,A A1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离 为

.

8. 正四棱锥 P-ABCD 的所有棱长都相等,E 为 PC 中点,则直线 AC 与截面 BDE 所成的 角为

.

三、(12 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 A1B1,B1C1 的中点。 求证:EF∥平面 A D1C. A1

D1 E B1

C1

F

D

C

四、(14 分)ABCD 为直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平 面 ABCD,PA=a, (1)求证:PC⊥CD;(2)求点 B 到直线 PC 的距离.

P

A B C

D

五、(14 分)如图:已知在矩形 ABCD 中, AB ? 5, BC ? 3 ,沿对角线 BD 把 VABD 折起, 使 A 移到 A1 点,过点 A1 作 AO ? 平面 BCD ,垂足 O 恰好落在 CD 上. 1

(1)求证: BC ? A1D
A1

(2)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积.
D

O

C

A

B

六、(14 分)已知 P 为△ ABC 所在平面外的一点,PC⊥AB,PC=AB=2,E、F 分别 为 PA 和 BC 的中点. (1)求 EF 与 PC 所成的角; (2)求线段 EF 的长.

七、(14 分)如图在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC, 且分别交 AC、 SC 于 D、E,又 SA =AB,BS =BC, 求以 BD 为棱,BDE 与 BDC 为面的二面角的度 数.

S D A E C

B

八、(14 分)如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VC ⊥底面ABC , AC ⊥ BC , D 是

AB 的中点,且

π? ? AC ? BC ? a ,∠VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ?
(1)求证:平面 VAB ⊥ 平面 VCD ; (2)试确定角 ? 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为



π . 6
C A D B

第七章 平面、直线和简单几何体答案 基础练习题
一、 选择题 1.B 2.D 8.小于 3.D 4.A 5.D 6.C

二、填空题 7.

? a2 2

9. (1)90? (2)45? (3)60? (4)90?

10.

3 2 a 4
12 略 13.60? 14. 略

三、解答题 11.略

15.

2 3

巩固提高题
三、选择题 1.C 2.D 3.C 4.C 8.2 5.D 6.B

二、填空题 7. 1:64 10.6cm

9. (1)30? (2)45? (3)90? (4)60?

三、解答题 11. arccos

2 3

12.略

13.

1 25

14. 30?

15.略

综合测试题答案
一、 选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A

9.B 二、 填空题 1.

64 2? 3

2. ? ? ? ? m , n ? ? , m ? n ? A

3.

16 25

4.

4 5 9 5. 2 6. ①②④ 7.

3 2

8. 45?

三、略

四、(1 )略(2)

6 a 3

五、(1 )略 (2) 6

六、( 1 )略(2)

2
七、90? 八、 ? ?

π 4


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