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2.5.1等比数列前n项和公式(第1课时)_图文

2.5.1等比数列前n项和公式

高中数学教师欧阳文丰制作

复习:
等差数列 等比数列

定义
通项公式

an?1 ? an ? d an?1 ? an ? d
an ? am ? (n ? m)d

an?1 ? an q
an ? am q
n?m

an ?1 ?q an

性质

am ? an ? ar ? as
Sn

m?n ? r ? s

(m, n, r, s ? N * )

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

am an ? ar as

引言: 国际象棋的传说 国际象棋起源于古代印度,国王要奖赏国际象棋的发明者,问 他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里 放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类 推,每个格子里放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子. 请给我足够的粮食来实现上述要求.” 国王欣然同意,但大臣们计算之后发现,这个数大得惊人,国王根本无法满足 发明者的要求.为什么?

各个格子里的麦粒数依次是:

1, 2, 22, 23, 24, 25,…,263,
发明者要求的麦粒总数就是: 1+ 2+22+23+24+25+…+263.

通项: an=2n-1

前n项和:Sn

等比数列的求和

引入新课
1 2 2 2
2 3

2

4

263

这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!

263

分析:由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

1, 2, 2 , 2 ,?, 2 .
它是以1为首项公比是2的等比数列, 麦粒的总数为:

2

3

63

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 .
2 3 63

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 的方法 . (1) ,就 2 3 63 是错位相 2S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ). 减法 ! 2 3 63 64 (2) 即2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 .
2 3

这种求和 63

? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2S64 ? S64 ? (2 ? 2 ? 那么这些麦粒的总质量就是
2 3 4

2 3 4 63 克,64 如果1000 粒麦粒重为 40

)

?(1 ? 27300 ? 2多亿吨。根据统计资料显 ? 2 ? 2 ? …? 2 )
63

?S64 ? 2

64

?1 ?

? 1.84 ?10

示,全世界小麦的年产量约为 6亿吨,就是说全世界都要 18446744073709551615 1000多年才能生产这么多小麦, 19 国王无论如何是不能实现发明 者的要求的。

2 30

-1

=1 07 37 41 82 3

请同学们考虑如何求出这个和?

如何求等比数列的Sn:
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

错位相减法
n ?2 n?1

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q
2
2 3

? a1q


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q

n?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q)Sn ? a1 ? 0 ??? 0 ? a1q
(1 ? q)Sn ? a1 ? a1q
n

注意:

? na1 (q ? 1) ? n S n ? ? a1 ? a1q (q ? 1) ? ? 1? q n a1 ? an q a1 ? a1q ? q ? 1时 : S n ? 1? q 1? q

1.使用公式求和时,需注意对 q 的情况加以讨论;

? 1和 q ? 1

2.推导公式的方法:错位相减法。

等比数列前n项和公式的推导欣赏 (一) 用等比性质推导 因为 所以

当 q = 1 时 Sn = n a1

(二)借助和式的代数特征进行恒等变形

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 ) ? a1 ? q(S n ? an )
a1 ? a n q 当q≠1时, S n ? 1 ? q

当q=1时, S n ? na1

变式练习:公式的应用 变式1 判断正误:


1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? (?2)

n?1

1 ? (1 ? 2 ) ? 1? 2

n

× ×



n 1 ? ( 1 ? 2 ) 2 3 n 1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? 2

×



1? a ? a ??? a
2

n ?1

1? (1 ? a ) ? 1? a
n

反思总结:
用公式前,先弄清楚数列的首项 、公比 、项数n

变式练习:公式的应用 变式2 填空:

a1

q

n
6
5

an Sn
96 189

反思总结:
①在等比数列中,已知

第 1题 3 2 第2题 8 0.5 第3题 -1.5 -4 第4题 1.5 1 第5题 -6 -2

4 3
5

0.5 15.5 96 76.5 1.5 4.5 -96 -66

a1 , q, n, an , S n
知三求二

中的三个,可求另外两个。

②如果不能用公式直接求出某个量,就要建立方程组来求解。

1 1 1 例1:求等比数列 , , , ? 的前8项的和。 2 4 8

典型例题讲解:

例2 已知等比数列 ?an ? , a1 ? 27, a9 ? 求前8项的和.

1 243

.

已知等比数列?an ?中,

练习1.
2或-3

?1? a1 ? 2 , S3 ? 14.则q ?

a3 ? 8或18 ? 2? a1 ? ?1, a4 ? 216 则 q ? -6 , S4 ? 185

a1、q、n、a n、sn
归纳要熟记公式: an ? a1q n ?1
Sn ? a1 ?1 ? q n ? 1? q



a1 ? an q Sn ? ? q ? 1? 1? q

知三求二

练习2.
已知{an }中,an?1 ? 2an , a2 ? 3, 求S6 .
解: ? an ?1 ? 2an an ?1 ? ? 2,?{an }为等比数列 an

3 ? q ? 2 且a1 ? 2 3 6
(1 ? 2 ) 1? 2

? s6 ? 2

189 ? 2

例3.某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今 起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)? 分析:第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台 第3年产量为 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第n年产量为 5000?1.1 则n年内的总产量为:
2

……

? 5000 ?1.1 台
2

n?1


n ?1

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1

例4、如图,为了估计函数y=9-x2在第一象限 的图象与x轴、y轴围成的区域面积X,把x轴 上的区间[0,3]分成n等份,从各点作y轴的 平行线与函数图象相交,再从各交点向左作 x轴的平行线,构成(n-1)个矩形。下面的 用来计算这(n-1)个矩形的面积的和S.

y

2 y =9x 9

SUM=0 阅读程序,回答下列问 K=1 题: INPUT N WHILE k<=N-1 (1)程序中的AN,SUM AN=(9-(k*3/N)^2)*3/N 分别表示什么,为什么? SUM=SUM+AN PRINT k,AN,SUM (2)请根据程序分别计算当n=6, k=k+1 11,16时,各个矩形的面积的和 WEND (不必在计算机上运行程序). END

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 23 x

已知Sn是等比数列 ?an ? 的前n项和,

思考题:

a2 , a8 , a5 S3,S9,S6成等差数列,求证:
成等差数列.

分析:由题意可得S3+S6=2S9
要证 a2 , a8 , a5 成等差数列,只要证

a2 ? a5 ? 2a8 即可

证明:∵S3,S9,S6成等差数列, ∴S3+S6=2S9

若q=1,则 S3=3 a1 , S 6 ? 6a1 , S 9 ? 9a1 由 a1 ? 0可得S3 ? S 6 ? 2S 9,与题设矛盾

?q ? 1 a1 (1 ? q ) a1 (1 ? q ) 2a1 (1 ? q ) ? ? ? 1? q 1? q 1? q
3 6 9

整理,得q3+q6=2q9
由q ? 0得1 ? q ? 2q
3 6 4 3 6

? a 2 ? a5 ? a1 q ? a1 q ? a1 q(1 ? q ) ? a1 q(2q ) ? 2a1 q ? 2a8
7

? a 2 , a8 , a5 成等差数列 .

小结:
等比数列求和公式:

na1 (q ? 1) ? ? n a1 ? an q S n ? ? a1 ? a1q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
推导方法: 错位相减法


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