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人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案


人教版高中数学选修 2-1《椭圆及其标准方程》教案
一、 课型
新授课

二、教学内容
1、椭圆的定义; 2、椭圆的两类标准方程; 3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。

三、教学目标
1、知识与技能:理解并掌握椭圆的定义;明确焦点、焦距的概念;掌握椭圆标 准方程的两种形式及其推导过程;掌握 a、b、c 三个量的几何意义及它们之 间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握运用待定系数法求椭圆的 标准方程; 2、过程与方法:通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力; 通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,并渗 透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的能力。让 学生感知数学知识与实际生活的普遍联系; 3、情感态度与价值观:通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程,激发学生学 习数学的积极性,培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进 取精神,提高学生的数学思维的情趣,给学生以成功的体验,形成学习数学知 识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感,同时培养团队协作 的能力。

四、教学重点、难点
重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程; 难点:椭圆标准方程的推导过程。

五、教学方法
教师引导为主、学生自主探究为辅。

六、教学媒体

幻灯片、黑板。

七、教学过程
(一)创设情境,导入新课 用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型, 它运行的轨迹又是什么图形呢? 可以看出, 它的运行轨迹是椭圆。 此时老师指出: 在实际生活中, 椭圆随处可见, 很多学科也涉及到椭圆的应用,所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是 我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 (二)问题探究 老师提问:我们从直观上认识了椭圆,那么椭圆它是如何形成的呢?椭圆满 足什么样的条件呢?它的定义又是如何? 1、椭圆的形成 下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具:一段固定长的细绳、两颗钉 子、一块长 3 分米,宽 3 分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头,将钉子固 定在图板上,使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度(请同学们考虑一下,为 什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度?) ,我们用笔尖将细绳拉紧,让笔尖 在图板上慢慢移动,请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢? 如果我们将两个钉子之间的距离变大,使得两个钉子之间的距离恰好等于 细绳的长度,同样用笔尖将细绳拉紧,让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖 只能在两个钉子之间来回运动,这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。 将两个钉子之间的距离再增大,此时就可以发现,细绳的长度比两个钉子 之间的距离小,笔尖没有轨迹。 再用课件给学生进行演示: 通过演示可以发现,绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示,思考:在作图过程中,有哪些 物体的位置没变化?有哪些量没有变化?如何来归纳椭圆的定义呢? 2、椭圆的定义 平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做

椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数

记作 2a,焦距记作 2c,则有 2a>2c。 注意:这里的常数必须大于|F1F2|。如果常数=|F1F2|,则是线段 F1F2;若常 数<|F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,必须得加上限制条件: “此常数大 于|F1F2|” 。 3、椭圆标准方程的推导 首先复习求曲线方程的一般步骤: ①建系设点; ②寻找动点满足的几何条件; ③把几何条件坐标化;④化简得方程。 (1)建系设点:设椭圆的焦距为 2c(c>0) ,M 与 F1、F2 的距离之和为 2a,以两定点 F1、F2 的直线 为 x 轴, 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐 标系,M(x,y)为椭圆上任意一点,则有 F1(-c,0) , F2(c,0) 。 (2)动点 M 满足的几何条件: 由椭圆的定义不难得出动点 M 满足的条件为:
MF1 ? MF2 ? 2a

y
M F1

o

F2

x

(3)动点 M 满足的代数方程: ∵ MF1 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ∴ ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a (4)化简方程: (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 由椭圆的定义可知,2a>2c,即 a>c,所以 a2-c2>0。 令 a2-c2=b2,其中 b>0,代入上式,得 b2x2+a2y2=a2b2, 两边同除以 a2b2,得
x2 y2 ? ? 1 (a>b>0),此即为椭圆的标准方程。 a2 b2

它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0) F2 (c,0) ,中心在坐标原 点的椭圆方程。其中 a 2 ? c 2 ? b 2 。 如果使点 F1、F2 在 y 轴上,点 F1、F2 的坐标分别为 F1(0,-c) 2 (0,c),a、 、F

b 的意义同上,那么所得方程变为 4、标准方程的观察、对比

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2

当焦点落在 x 轴上时,焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0); 当焦点落在 y 轴上时,焦点坐标为 F1(0,-c),F2(0,c)。 请同学们思考:焦点的位置和方程之间有什么关系呢? 那下面这个方程它的焦点位置又该如何来判断呢?
x2 y2 ? ?1 m n

?m ? 0 ,n ? 0且m ? n?

①当 m>n 时,焦点在 x 轴上,此时 m=a2,n=b2; ②当 m<n 时,焦点在 y 轴上,此时 m=b2,n=a2。 判断椭圆焦点位置的方法:观察含 x 的项和含 y 的项,哪个项的分母较大, 焦点就在相应的那个轴上 。 (三)例题讲解 例 1、 (1)已知椭圆的焦点坐标是 F1(-4,0),F2(4,0) ,椭圆上任一点 P 到 F1、F2 的距离之和为 10,求椭圆的标准方程; (2) 两个焦点的坐标分别是 (0, 、 -2) (0,2) 并且椭圆经过点 , (-3/2,5/2) , 求椭圆的标准方程。 解: 1) ( 因为椭圆的焦点在 x 轴上, 所以设它的标准方程为 ∵2a=10,2c=8, ∴a=5,c=4. ∴b2=a2-c2=52-42=9.
x2 y2 ? ?1 所以所求椭圆的标准方程为 25 9 . y2 x2 (2) 因为椭圆的焦点在 y 轴上, 所以设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) a b x2 y2 (a>b>0) ? ?1 a2 b2

由椭圆的定义知,
3 5 3 5 2a ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 2 2 2 2

?

3 1 10 ? 10 2 2

? 2 10

∴a= 10 又 c=2 ∴b2=a2-c2=10-4=6
y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为 ? ?1 10 6

例 2、已知 B,C 是两定点, BC ? 6 ,三角形 ABC 的周长为 16,求顶点 A 的轨迹 方程。 分析:由△ABC 的周长等于 16, BC ? 6 可知,点 A 到 B、C 两点的距离的和 是常数,即 AB ? AC ? 16 ? 6 ? 10 ,因此,点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆, 据此可建立如下的草图(图 8-1) 解:如图 8-1,建立坐标系,使 x 轴经过点 B、C, 原点 O 与 BC 的中点重合。 由已知 AB ? AC ? BC ? 16 , BC ? 6 , 有 AB ? AC ? 10 ,即点 A 的轨迹是椭圆,且 2c=6,2a=16-6=10, ∴c=3,a=5,b2=a2-c2=52-32=16. 图 8-1
B O
y A

C

x

但当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A、B、C 三点不能构成三角形,所 以点 A 的轨迹方程是
x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 25 16

注意: 求出曲线的方程后, 要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题 意,如果有不符合题意的点,应在所得方程后注明限制条件。 (四)巩固练习 1、平面内两定点的距离是 8,一动点 M 到这两定点的距离之和是 10,建立适当 的坐标系,写出动点 M 的轨迹方程。 2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=4,b=1,焦点在 x 轴上;

(2)a2=16,c2=15,焦点在 y 轴上; (3)a+b=10,c= 2 5 。 (五)课时小结 本节课学习了椭圆的定义及椭圆的标准方程,在实际解题过程中应注意: (1)一个重要关系式:a2=b2+c2 且 a>b>0; (2)椭圆的焦点位置由含 x,y 的分式的分母大小来确定; (3)当 2a=2c 时,轨迹为线段,当 2a<2c 时,轨迹不存在。 (六)课后作业 教材 P106—107,习题 8.1:3、4、5、6 思考题:若
x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是? 24 ? k 16 ? k

八、板书设计

8.1 椭圆及其标准方程

一、椭圆的定义

二、椭圆的标准方程

三、例题讲解 例1 例2 四、巩固练习 练习1 练习2

九、教学反思


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