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算术平均数与几何平均数第二课时


知识回顾: 知识回顾: 1.重要定理:如果 ∈R, 重要定理:如果a,b∈ 重要定理 那么a 那么 +b 2ab(当且仅当 当且仅当 a=b时取“=”号) 时取“ 号 时取
更多资源xiti123.taobao.com 更多资源2 2

2.均值定理: 均值定理: 均值定理 如果a,b是正数, 如果 是正数,那么 是正数

a +b ≥ ab 2
(当且仅当 当且仅当a=b时取“=”号) 时取“ 号 当且仅当 时取

1.公式的等价变形: 公式的等价变形: 公式的等价变形
a +b ab≤ 2
2 2

a +b 2 ) ab≤ ( 2

b a 2. + ≥2(ab>0),当且仅 ( > ) 当且仅 a b

时取“ 当a=b时取“=”号 = 时取

那么 3.定理:如果 a, b, c ∈R ,那么 .定理:

+

a + b + c ≥ 3abc
3 3 3

(当且仅当 当且仅当a=b=c时取“=”号) 时取“ 号 当且仅当 时取

4.推论:如果 a, b, c ∈R ,那么 .推论: 那么

+

a +b +c 3 ≥ abc 3
(当且仅当 当且仅当a=b=c时取“=”号) 时取“ 号 当且仅当 时取

5.关于“平均数”的概念 .关于“平均数” 如果 a1 , a2 ,L, an ∈ R , n > 1且n ∈ N
+ +

a1 + a2 +L+ an 叫做这n个正 则: 叫做这 个正 n

数的算术平均数; 数的算术平均数; n a1a2 Lan 叫做这n个正数的几何平均数 叫做这 个正数的几何平均数

已知a,b,c为两两不相等的 例1 已知 为两两不相等的 实数,求证: 实数,求证:

a + b + c > ab + bc + ca
2 2 2

已知a,b,c,d都是正数 求证: 都是正数,求证 例2 已知 都是正数 求证:

(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd

例3 某工厂要建造一个长方体无
3,深 盖贮水池,其容积为4800m 深 盖贮水池,其容积为 2的造价为 为3m,如果池底每 ,如果池底每1m

150元,池壁每1m2的造价为 元 池壁每 的造价为120 元,问怎样设计水池能使总造价 最低,最低总造价是多少元 最低,最低总造价是多少元?

课堂练习: 课堂练习: 1.已知 取什么值时, .已知x≠0,当x取什么值时,x2 , 取什么值时 +
81 的值最小?最小值是多少 最小值是多少? 的值最小 最小值是多少 2 x

2.一段长为L m的篱笆围成一个 .一段长为 的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形菜园, 一边靠墙的矩形菜园,问这个矩 形的长、宽各为多少时, 形的长、宽各为多少时,菜园的 面积最大,最大面积是多少? 面积最大,最大面积是多少

3.设0<x<2,求函数 设 < < 求函数

f ( x) = 3x(8 3x)
的最大值,并求出相应的 值 的最大值 并求出相应的x值. 并求出相应的

课后作业: 课后作业:
3 1.求函数 =2x2+ (x>0)的 求函数y= 求函数 > ) x 最小值. 最小值.

1 2+ 2.求函数 =x 求函数y= 求函数 (x>0)的 > ) 4 x
最小值. 最小值.

3.求函数 =3x2-2x3 求函数y= 求函数

3 的最大值. (0<x< < < )的最大值. 2
2) 4.求函数 =x(1-x 求函数y= ( - 求函数

的最大值. (0<x<1)的最大值. < < 的最大值

更多资源xiti123.taobao.com 更多资源 2 2+ b =1, 5.设a>0,b>0,且a 设 > , > ,
2

求 a 1 + b2 的最大值. 的最大值. 共5个题目 个题目


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