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圆锥曲线里弦长公式与点差法


知识点 1:直线与圆锥曲线的位置关系

注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的 必要条件,但不是充分条件.
例 1:P228,例 4

练习:已知直线 L : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x 2 ? y 2 =4。 ⑴若直线 L 与双曲线 C 无公共点,求 k 的范围; ⑵若直线 L 与双曲线 C 有两个公共点,求 k 的范围; ⑶若直线 L 与双曲线 C 有一个公共点,求 k 的范围;

1

知识点 2:圆锥曲线上的点到直线的距离问题:
例 1:在抛物线 y 2 ? 64x 上求一点,使它到直线 L: 4 x ? 3 y ? 46 ? 0 的距离最短,并求这 个最短距离。

练习:椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 16 4
B. 11 C. 2 2 D. 10



A.3

知识点 3:弦长问题:
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化解这个难点的方法是:设而不求, 根据根与系数的关系,进行整体代入。即当直线 斜率为k 与圆锥曲线交于点 A?x1 , y1 ? ,

?

?

B?x 2 , y 2 ? 时,则 AB = 1? k 2 x1 ? x2 = 1? k 2
= 1?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

1 1 y1 ? y2 = 1 ? 2 2 k k

? y1 ? y 2 ?2 ? 4 y1 y 2

可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程, 利用根与系数的关系 得到两根之和,两根之积的代数式,然后再进行整体带入求解。 例 1:过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F2 ,倾斜角为 300 的直线交双曲线于 A、B 两点,求 3 6

AB 。

2

练习:1、已知椭圆:

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、 6 9

B 两点,求弦 AB 的长

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原 2、过椭圆 5 4
点,则△OAB 的面积为

知识点 4:中点弦问题:求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法:
⑴.点差法:将弦的两个端点坐标代入曲线方程,两式相减,即可确定弦的斜率,然后由点 斜式得出弦的方程; ⑵.设弦的点斜式方程,将弦的方程与曲线方程联立,消元后得到关于 x(或 y)的一元二次 方程,用根与系数的关系求出中点坐标,从而确定弦的斜率 k,然后写出弦的方程; ⑶ . 设 弦 的 两 个 端 点 分 别 为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ? , 则 这 两 点 坐 标 分 别 满 足 曲 线 方 程 , 又

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ? ? 为弦的中点,从而得到四个方程,由这四个方程可以解出两个端点,从 2 ? ? 2
而求出弦的方程。 例 1:已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ? 2

,长轴长为 6, 2 ,0)和 F2(2 2 ,0)

设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

已知双曲线方程 2 x ? y =2。⑴求以 A ?2,1? 为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
2 2

⑵过点 ?1,1? 能否作直线 L, L 与双曲线交于 Q1 ,Q2 两点, Q1 ,Q2 两点的中点为 ?1,1? ? 使 且 如果存在,求出直线 L 的方程;如果不存在,说明理由。
3

练习:1、直线 y=x-1 被抛物线 y =4x 截得线段的中点坐标是_____. 2、如果椭圆

2

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 (4,2) 平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9
B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0



A. x ? 2 y ? 0

D. x ? 2 y ? 8 ? 0

x2 ? 1? ? y 2 ? 1,内有一条以点 P ?1, ? 为中点的弦 AB ,求 AB 所在的直 3、已知椭圆方程为 2 ? 2?
线 l 的方程及 AB 的弦长。

4、中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中 点横坐标为
1 ,求椭圆的方程 2

5、求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x 2 ?

y2 ? 1截得的弦中点轨迹方程 4

4


1.(09 上海)过点 A(1,0) 作倾斜角为





? 的直线,与抛物线 y 2 ? 2 x 交于 M 、N 两点,则 4

MN =



2. (09 海南) 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点, 焦点在 x 轴上, 直线 y=x 与抛物线 C 交于 A, B 两点,若 P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 。

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两 3.(08 宁夏海南)过椭圆 5 4
点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 4.(11 全国)已知直线 L 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,L 与 C 交于 A,B 两点,

| AB |? 12 ,P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为(
A.18 B.24 C. 36

) D. 48

5.(09 山东)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ? 4 x B. y 2 ? ? 8x C. y 2 ? 4 x ) D. y 2 ? 8x

6.(09 山东)设双曲线 双曲线的离心率为( A.

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则 2 a b
). C.

5 4

B. 5

5 2
2

D. 5

7.(10 全国)设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x +

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直 b2

线 L 与 E 相交于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。⑴求 AB ⑵若直线 L 的斜率为 1,求 b 的值。

5

8.(11 江西)已知过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点,斜率为 2 2 的直线交抛物线于

A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )两点,且 AB ? 9 .⑴求该抛物线的方程;⑵ O 为坐标原
点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值.

6


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