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函数的基本性质知识总结大全

《函数的基本性质》知识总结大全

沛县第二中学数学组 张驰

1.单调性 函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势,是研 究函数图象在定义域内的局部变化性质。 ⑴函数单调性的定义
一般地,设函数 y ? f (x) 的定义域为 A ,区间 I ? A.如果对于区间 I 内的______两

个值 x1 , x2 ,当 x1 < x2 时,都有 f (x1) _____ f (x2 ) ,那么 y ? f (x) 在区间 I 上是单调增函
数, I 称为 y ? f ? x? 的单调_____区间. 如果对于区间 I 内的______两个值 x1 , x2 ,当

x1 < x2 时,都有 f (x1) _____ f (x2 ) ,那么 y ? f (x) 在区间 I 上是单调减函数, I 称为 y ? f (x) 的单调_____区间.如果函数 y ? f (x) 在区间 I 上是单调增函数或单调减函数,那

么函数 y ? f (x) 在区间 I 上具有________.

点评 单调性的等价定义:

① f (x) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1, x2 ? M , 当 x1 ? x2 时,有 f (x1) ? f (x2 ) ? 0

? (x1 ? x2 ) ?[ f (x1) ? f (x2 )] ? 0

?

f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 ? x1 ? x2

?y ? 0 ; ?x

② f (x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1, x2 ? M , 当 x1 ? x2 时,有 f (x1) ? f (x2 ) ? 0

? (x1 ? x2 ) ?[ f (x1) ? f (x2 )] ? 0 ?

f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 ? ?y ? 0 ;

x1 ? x2

?x

⑵函数单调性的判定方法

①定义法;②图像法;③复合函数法;④导数法;⑤特值法(用于小题),⑥结论法等.

注意:

①定义法(取值——作差——变形——定号——结论):设 x1,x2 ?[a,b]且 x1 ? x2 ,那

么 (x1 ? x2 ) ?[ f (x1 ) ? f (x2 )] ? 0 ?

f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 ? x1 ? x2

f (x) 在区间[a,b] 上是增函

数; (x1 ? x2 ) ?[ f (x1 ) ? f (x2 )] ? 0 ?

f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 ? x1 ? x2

f (x) 在区间[a,b] 上是减函

数。

②导数法(选修):在 f (x) 区间 (a,b) 内处处可导,若总有 f ' (x) ? 0( f ' (x) ? 0 ),则 f (x) 在区间 (a,b) 内为增(减)函数;反之, f (x) 在区间 (a,b) 内为增(减)函数,且

处处可导,则 f ' (x) ? 0 ( f ' (x) ? 0 )。请注意两者之间的区别,可以“数形结合法”研究。

点评 判定函数的单调性一般要将式子 f (x1 ) ? f (x2 ) 进行因式分解、配方、通分、分子
(分母)有理化处理,以利于判断符号;证明函数的单调性主要用定义法和导数法。
提醒 求单调区间时,不忘定义域;多个单调性相同的区间不一定能用符号“ ”连接;

单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时,可举反例。 ⑶与函数单调性有关的一些结论
①若 f (x) 与 g(x) 同增(减),则 f (x) + g(x) 为增(减)函数, f (g(x)) 为增函数;

②若 f (x) 增,g(x) 为减,则 f (x) - g(x) 为增函数,g(x) - f (x) 为减函数, f (g(x))

为减函数;

③若函数 y ? f (x) 在某一范围内恒为正值或恒为负值,则 y ? f (x) 与 y ? 1 在相同 f (x)

的单调区间上的单调性相反;

④函数 y ? f (x) 与函数 y ? f (x) ? k(k ? 0) 具有相同的单调性和单调区间; ⑤函数 y ? f (x) 与函数 y ? kf (x)(k ? 0) 具有相同的单调性和单调区间,函数 y ? f (x) 与函数 y ? kf (x)(k ? 0) 具有相同单调区间上的单调性相反。
2.奇偶性
函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称,还是关于 y 轴成轴
对称,是研究函数图象的结构特点; ⑴函数奇偶性的定义
一般地,设函数 y ? f (x) 的定义域为 A .如果对于_____的 x ? A,都有 f (?x) ? _____, 那么函数 y ? f (x) 是偶函数. 一般地,设函数 y ? f (x) 的定义域为 A .如果对于_____的 x ? A,都有 f (?x) ? _____,那么函数 y ? f (x) 是奇函数. 如果函数 y ? f (x) 是奇函数 或偶函数,那么函数 y ? f (x) 具有________.
注意 具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称,因此,确定函数奇偶性时,务必先 判定函数定义域是否关于原点对称。
⑵图象特征
函数 y ? f (x) 为奇(偶)函数 ? 函数 y ? f (x) 的图象关于原点( y 轴)成中心(轴)
对称图形。
注意 定义域含 0 的偶函数图象不一定过原点;定义域含 0 的奇函数图象一定过原点;利
用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上,简化问题。 点评 ①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必.要.条.件..
② f (x) 是奇函数 ? f (?x) ? ? f (x) ? f (?x) ? f (x) ? 0 ? f (?x) ? ?1 . f (x)
③ f (x) 是偶函数 ? f (?x) ? f (x) ? f (?x) ? f (x) ? 0 ? f (?x) ? 1 . f (x)
④奇函数 f (x) 在原点有定义,则 f (0) ? 0 .
⑤在关于原点对称的单调区间内: (ⅰ)奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; (ⅱ)奇函数有相反的最值(极值),偶函数有相同的最值(极值)。
⑥ f (x) 是偶函数 ? f (| x |) ? f (x) .
⑶奇偶性的判定方法 若所给函数的解析式较为复杂,应先考虑其定义域并等价变形化简后,再判断其奇偶性.
如判断函数 f (x) ? 1? x2 的奇偶性。判定函数奇偶性方法如下:①定义(等价定义) | x ? 2 | ?2
法;②图像法;③结论法等. 点评 定义法判定函数的奇偶性先求定义域,看其是否关于原点对称,若对称,再求
f (?x) ,接着考察 f (?x) 与 f (x) 的关系,最后得结论.判断函数不具有奇偶性时,可用反
例。 ⑷与函数的奇偶性有关的一些结论
①若 f (x) 与 g(x) 同奇(偶),则 f (x) ± g(x) 为奇(偶)函数, f (x) g(x) 和 f (x) 为 g(x)
偶函数, f (g(x)) 为奇(偶)函数;
②若 f (x) 与 g(x) 一奇一偶,则 f (x) g(x) 和 f (x) 为奇函数, f (g(x)) 为偶函数; g(x)
③定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。 ⑸函数按奇偶性分类 ①奇函数非偶函数,②偶函数非奇函数,③既是奇函数又是偶函数,④非奇非偶函数。

点评既奇又偶的函数有无数个。如 f (x) ? 0 定义域关于原点对称即可。如函数 f (x) =

1? x2 ? x2 ?1 。
3.周期性 函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有某种一定的周期变化规律; ⑴函数周期性的定义
一般地,对于函数 f (x) ,如果存在一个________的常数T ,使得定义域内的________ x 值,都满足 f (x ? T ) ? ________ ,那么函数 f (x) 称为周期函数,________常数T 叫做 这个函数的周期。如果一个周期函数 f (x) 的所有的周期中存在一个________的____数,那 么这个数叫做函数 f (x) 的最小周期正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。

点评 ①非零常数T 是周期函数本身固有的性质,与自变量 x 的取值无关;②若非零常 数T 是函数 f (x) 的周期,则非零常数T 的非零整数倍( nT,n? Z ,且 n ? 0) 也是函数
f (x) 的周期;③若函数 f (x) 的周期为T ,则函数 y ? Af (?x ??) (其中 A ,? ,? 为常

数,且 A ? 0 ,? ? 0 )的周期为 T ;④定义中的等式 f (x ? T ) ? f (x) 是恒等式;⑤函 |? |
数 f (x) 的周期是T ? f (x ? T ) ? f (x) 。
⑵三角函数的周期
① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cosx : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ;

④ y ? Asin(?x ? ?), y ? Acos(?x ? ?) : T ? 2? ;⑤ y ? tan ?x : T ? ? ;

|? |

|? |

⑶函数周期的判定

①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论)④结论法。

⑷与周期有关的一些结论

① f (x ? a) ? f (x ? a) 或 f (x ? 2a) ? f (x)(a ? 0) ? f (x) 的周期为 2a ;

② f (x) 是偶函数,其图像又关于直线 x ? a 对称 ? f (x) 的周期为 2 | a | ;

③ f (x) 奇函数,其图像又关于直线 x ? a 对称 ? f (x) 的周期为 4 | a | ; ④ f (x) 关于点 (a,0) , (b,0) (a ? b) 对称 ? f (x) 的周期为 2 | a ? b | ; ⑤ f (x) 的图象关于直线 x ? a , x ? b(a ? b) 对称 ?函数 f (x) 的周期为 2 | a ? b | ;

⑥ f (x) 的图象关于点 (a,0) 中心对称,直线 x ? b轴对称 ? f (x) 周期为 4 a ? b ;

⑦ f (x) 对 x?R 时, f (x ? a) ? ? f (x) 或 f (x ? a) ? ? 1 ? f (x) 的周期为 2 | a | ;
f (x)
⑧函数 f (x) 满足 f (x ? a) ? 1? f (x) ,且 a 为非零常数 ? f (x) 的周期为 4| a | ;
1? f (x)
⑨函数 f (x) 满足 f ? x ? 2a? ? f ? x ? a? ? f ? x?( a 为非零常数)? f (x) 的周期 6| a | 。
点评 注意对称性与周期性的关系。 4.对称性 函数的对称性是研究函数图象的结构特点(即函数图象关于某一点成中心对称图形或关 于某一条直线成轴对称图形); ⑴函数对称性的定义
如果函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a 成____对称或点 (a,b) 成______对称,那么 y ? f (x) 具有对称性。
注意 利用函数的对称性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上,简化问题。 ⑵函数图象对称性的证明
证明函数 y ? f (x) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对
称点仍在图像上; ⑶与对称性性有关的一些结论

①函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a 成轴对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) 。特别地,当 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 为偶函数。
②函数 y ? f (x) 的图象关于点 (a,b) 成中心对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 。特别 地,当 a ? 0 且 b ? 0 时,函数 y ? f (x) 为奇函数。
点评 函数奇偶性是函数对称性的特殊情况。
③若 y ? f (x) 对 x ? R 时, f (a ? x) ? f (b ? x) 恒成立,则 y ? f (x) 图像关于直线
x ? a ? b 对称;
2
④函数 y ? b ? k ?k ? 0? 的图象关于点 ?a,b? 中心对称。
x?a
5.有界性 函数的有界性是研究函数图象在平面直角坐标系中的上下界情况,重点是通过研究函数 的最大(小)值(值域)来研究有界性问题。 ⑴函数最大(小)值的定义
一般地,设函数 y ? f (x) 的定义域为 A .如果存在 x0 ? A ,使得对于____的 x ? A,
都有 f (x) ____ f (x0 ) ,那么称 f (x0 ) 为 y ? f (x) 的最大值,记为__________;如果存在
x0 ? A ,使得对于____的 x ? A,都有 f (x) ____ f (x0 ) ,那么称 f (x0 ) 为 y ? f (x) 的最小
值,记为__________. 注意 ①函数最大(小)值应该是某一个函数值;②函数最大(小)值应该是所有函数值
中最大(小)的,最大(小)值不同于极大(小)值。 ⑵值域与最值 注意函数的最值与函数的值域的区别和联系,理解值域和最值是考察函数的有界性问题。 ⑶与函数最值有关的几个结论
①若函数 y ? f (x) 在区间[a,b] 上为单调增函数,则 ymin ? f (a) , ymax ? f (b) ; ②若函数 y ? f (x) 在区间[a,b] 上为单调减函数,则 ymin ? f (b) , ymax ? f (a) ; ③若函数 y ? f (x) 在区间[a,c] 上为单调增函数,在区间[c,b] 上为单调减函数,则
ymax ? f (c) ; ④若函数 y ? f (x) 在区间[a,c] 上为单调减函数,在区间[c,b] 上为单调增函数,则
ymin ? f (c) 。
⑷恒成立问题的处理方法 恒成立问题的处理方法:⑴分离参数法(最值法); ⑵转化为一元二次方程根的分布问题。 如:①方程 k ? f (x) 有解 ? k ? D ( D 为 f (x) 的值域);②不等式 a ? f (x) 恒成立 ? a ? [ f (x)]最大值 ,不等式 a ? f (x) 恒成立 ? a ? [ f (x)]最小值 。 6.极值 函数的极值是研究函数在其定义域内的某一局部上的性质。这与函数的最值所研究的问 题角度有所不同。 ⑴极值的定义
设函数 y ? f (x) 在 x ? x0 及其附近有定义,如果 f (x0 ) 的值比 x0 附近的所有各点的函数
值都大(小),则称 f (x0 ) 是函数 y ? f (x) 的一个极大(小)值。极大值和极小值统称为极
值。取得极值的点称为函数的极值点,极值点是自变量的取值,极值是指函数值。 ⑵极值的求法 ①图像法;②导数法。 7.零点与不动点 7.1 函数的零点
⑴定义 一般地,我们把使函数 y ? f (x) 的值为_____的实数 x 称为函数 y ? f (x) 的零
点.

点评
函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f (x) ? 0 的实数根。从图象上看,函数 y ? f (x) 的零点, 就是它的图象与 x 轴交点的横坐标。利用函数的零点、方程的根、函数的图象与 x 轴交点的
横坐标这三者之间的联系,可以解决很多函数与方程的问题。这就是高考的热点内容——函 数与方程的思想运用。
⑵函数零点的存在性
一般地,若函数 y ? f (x) 在区间[a,b] 上的图象是一条连续不间断的曲线,且 f (a) ? f (b) ﹤______,则至少存在一个实数 c ? (a,b) ,使得 f (c) ? 0 ,此时实数 c 为函数
y ? f (x) 的零点. 点评 若函数 y ? f (x) 在区间[a,b] 上的图象是一条连续不间断的单调曲线,且 f (a) f (b)
﹤0,则有惟一的实数 c ? (a,b) ,使得 f (c) ? 0 。
7.2 不动点
方程 f (x) ? x 的根叫做函数 y ? f (x) 的不动点,也是函数 y ? f (x) ? x 的零点。
7.3 函数、方程与不等式三者之间的关系
一般地,不等式 f (x) ? 0 的解集为函数 y ? f (x) 的图象在 x 轴上方部分的点的横坐标 组成的集合;不等式 f (x) ? 0 的解集为函数 y ? f (x) 的图象在 x 轴下方部分的点的横坐标
组成的集合; 点评
利用函数图象并结合函数的零点,可求不等式 f (x) ? 0 或 f (x) ? 0 的解集;利用函数图 象并结合相应方程的解,可求不等式 f (x) ? g(x) 或 f (x) ? g(x) 的解集等;
7.4 基本方法 求函数零点和不动点的方法 ⑴直接法(通过解方程(组));⑵图像法;⑶二分法。
点评 注意函数上述几大性质相互之间的联系。


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