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江苏省启东中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学(理) 试题

江苏省启东中学 2013-2014 学年高二下学期期中考试 数学 (理) 试题 (考试时间 120 分钟,满分 160 分) 一:填空题(本大题共 14 大题,每小题 5 分,共 70 分) ?1 ?1+i? i2? + ? 1.已知集合 A=? ,i2,|5i2|, ,- ?,则集合 A∩R (R 表示大于 0 的实数)的 2i i 2 ? ? 2 子集个数为____________. 2.高二某班共有 48 人,学号依次为 1,2,3,?,48,现用系统抽样的方法抽取一个容量 为 4 的样本,已知学号 5,29,41 在样本中,那么还有一个同学的学号应为__________. 3.已知复数 z=1+ai(a∈R,i 是虚数单位), z 3 4 =- + i,则 a=________________. 5 5 z 4.已知命题:在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 的顶点 A(-p,0)和 C(p,0),顶点 B 在椭圆 x y sinA+sinC 1 2 2 m -n )上,椭圆的离心率是 e,则 = .试将该命题类 2+ 2=1(m>n>0,p= m n sinB e 比到双曲线中,给出一个真命题_________________. 5.已知 z1 , z 2 是复数,定义复数的一种运算“ ? ”为:z 1 ? z 2 = ? 若 z1 ? 2 ? i 且 z1 ? z 2 ? 3 ? 4i ,则复数 z 2 ? 1? ?1? ?1? ?1? ?2? 2 ? 6. 已知二阶矩阵 M 满足 M ? ?=? ?,M ? ?=? ?,则 M ? ?=________. ?0? ?0? ?1? ?2? ?-1? 7.设复数 z 满足:(2- 3+i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,且 |z-1|是|z|和|z-2|的等比中项,求|z|= . 2 2 ? ? z1 z 2 ( z1 ? z 2 ) , ? ? z1 ? z 2 ( z1 ? z 2 ) 8. 命题 p:已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上的一个动点, 过 F2 作∠F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 M,则 OM 的长为定值.类比此命题,在双曲 线中也有命题 q:已知双曲线 2- 2=1(a>b>0),F1、F2 是双曲线的两个焦点,P 为双曲 线上的一个动点, 过 F2 作∠F1PF2 的________的垂线, 垂足为 M, 则 OM 的长定值为________. 9.阅读第 9 题的程序框图,输出结果 s 的值为 #。Com] 10.阅读第 10 题的程序框图,设[x]表示取 x 的整数部分,如[5]=5,[2.7]=2,经过程序 框图运行后输出结果为 S, T, 设 z1=S-Ti, z2=1+i, z=z1·z2, 则|z|= . . x a 2 y b 2 x2 y2 a b 第 1 页 共 8 页 11.已知 (1 ? i) 2 n (1 ? i) 2 n ? ? 2 n ,则最小正整数 n= 1? i 1? i . 12.正方形 ABCD 的边长是 a,依次连接正方形 ABCD 各边中点得到一个新的正方形, 再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形,依次得到一系列的正方 形,如右图所示.现有一只小虫从 A 点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每 遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了 10 条线段.则这 10 条线段的长度的平方和是__________. 13. 如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为 1 ,由下往上的六个点: 1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N )的前 12 项,如下表所 示. * a1 x1 a2 y1 a3 x2 a4 y2 a5 x3 a6 y3 a7 x4 a8 y4 a9 x5 a10 y5 a11 x6 a12 y6 . 按如此规律下去,请归纳,则 a 2013 +a 2014 +a 2015 等于 14.五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为 1,第二位同学 首次报出的数也为 1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若 报出的是 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次,当第 30 个数被报出时,五位同学拍 手的总次数为________. 二:解答题(本大题共 6 大题,共 90 分) 15:.已知复数 z 满足 | z |? 2 , z 2 的虚部为2. (1)求 z ; (2)设 z , z 2 , z ? z 2 在复平面对应的点分别为 A, B, C ,求 ?ABC 的面积. ?1? 16:已知二阶矩阵 M 有特征值 λ =8 及对应的一个特征向量 e1=? ?,并且矩阵 M 对应的变 ?1? 换将点(-1,2)变换成(-2,4). (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值,及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间的关系; 第 2 页 共 8 页 (3)求直线 l:2x-4y+1=0 在矩阵 M 的作用下的直线 l′的方程. 17:已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0. 求证:a>0,b>0,c>0. 18:先阅读下列框图,再解答有关问题: (1)当输入的 n 分别为 1,2,3 时,a 各是多少? (2)当输入已知量 n 时,①输出 a 的结果是什么?试证明之; ②输出 S 的结果是什么?写出求 S 的过程. 19:对于任意的复数 z=x+yi(x、y∈R),定义运算 P(z)=x [cos(yπ )+isin(yπ )]. (1)集合 A={ω |ω =P(z),|z|≤1,x、y 均为整数},试用列举法写出集合 A; (2)若 z=2+yi(y∈R),P(z)为纯虚数,求|z|的最小值; (3)直线 l:y=x-

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