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辽宁省抚顺市重点高中协作校2016-2017学年高一数学下学期期末试卷

20162017学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一(下)期末数学 试卷
  一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共60分). 1.(5分)(2015春?抚顺期末)已知角α的终边过点P(﹣4m,3m)(m<0), 则2sinα+cosα的值是(  )   A. 1 B. C. ﹣ D. ﹣1

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据三角函数的定义先求出r,即可得到结论. 解答: 解:∵角α的终边过点P(﹣4m,3m)(m<0), ∴r=|OP|= 则2sinα+cosα=2× 故选:C. 点评: 本题主要考查三角函数求值,利用三角函数的定义是解决本题的关键.   2.(5分)(2015春?抚顺期末)如果点P(2cosθ,sin2θ)位于第三象限,那 么角θ所在的象限是(  )   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 + = =﹣5m, =﹣ ,

考点: 三角函数值的符号. -1-

专题: 计算题. 分析: 根据所给的点在第三象限,写出这个点的横标和纵标都小于0,根据这两个都小 于0,得到角的正弦值大于0,余弦值小于0,得到角是第二象限的角. 解答: 解:∵点P(2cosθ,sin2θ)位于第三象限, ∴2cosθ<0 sin2θ<0, ∴sinθ>0, cosθ<0 ∴θ是第二象限的角. 故选B 点评: 本题考查三角函数的符号,这是一个常用到的知识点,给出角的范围要求说出三 角函数的符号,反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围.   3.(5分)(2012?北京模拟)设有一个直线回归方程为 =2﹣1.5 ,则变量x增 加一个单位时(  )   A. y平均增加1.5个单位 B. y平均增加2个单位   C. y平均减少1.5个单位 D. y平均减少2个单位

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的回归直线方程,把自变量由x变化为x+1,表示出变化后的y的值,两 个式子相减,得到y的变化. 解答: 解:∵直线回归方程为 ∴y=2﹣1.5(x+1)② ∴②﹣①=﹣1.5 -2=2﹣1.5 ,①

即y平均减少1.5个单位, 故选:C. 点评: 本题考查线性回归方程的意义,本题解题的关键是在叙述y的变化时,要注意加 上平均变化的字样,本题是一个基础题.   4.(5分)(2009?韶关一模)如图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三 十年”演讲比赛大赛上,七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最 高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为(  )

  A. 5;1.6 B. 85;1.6 C. 85;0.4 D. 5;0.4

考点: 茎叶图. 专题: 计算题. 分析: 由题意知去掉一个最高分和一个最低分后,这组数据有五个数字,把这五个数字 代入求平均数的公式,求出平均数,再代入求方差的公式,得到方差. 解答: 解:由题意知去掉一个最高分和一个最低分后, 这组数据的平均数是 =85,

这组数据的方差是 故选B. 点评:

=1.6

对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数分别表示一组数 据的特征,这样的问题可以出现在选择题或填空题.考查最基本的知识点.   -3-

5.(5分)(2010?广东)若圆心在x轴上、半径为 线x+2y=0相切,则圆O的方程是(  )

的圆O位于y轴左侧,且与直

  A. (x﹣ (x+5)2+y2=5

)2+y2=5 B. (x+

)2+y2=5 C. (x﹣5)2+y2=5 D.

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 先看圆心,排除A、C,在B、D中选一个验证直线x+2y=0相切即可. 解答: 解:因为圆O位于y轴左侧,显然A、C不符,(﹣5,0)到直线x+2y=0的距离为 . 故选D. 点评: 本题采用回代验证方,法解答灵活.还可以数形结合估计法,直接推得结果.   6.(5分)(2010?揭阳校级模拟)有四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部 分,则可中奖,小明希望中奖,他应当选择的游戏盘为(  )

  A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. -4-

专题: 计算题. 分析: 先明确是几何概型中的面积类型,分别求三角形与扇形的面积,然后求比值即可 . 解答: 解:A、游戏盘的中奖概率为 ,

B、游戏盘的中奖概率为 ,

C、游戏盘的中奖概率为



D、游戏盘的中奖概率为 游戏盘的中奖概率最大.故选A 点评:



本题主要考查几何概型中的面积类型,基本方法是:分别求得构成事件A的区域 面积和试验的全部结果所构成的区域面积,两者求比值,即为概率.   7.(5分)(2015春?抚顺期末)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4 ,其中a,b,α,β均为非零的常数,若f(1988)=3,则f(2015)的值为(   )   A. 1 B. 3 C. 5 D. 不确定

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣7,再利用诱导公式化简 f(2008)=asinα+bcosβ+4,运算求得结果.

-5-

解答: 解:∵f(1998)=asin(1998π+α)+bcos(1998π+β)+4=asinα+bcosβ+4= 3, ∴asinα+bcosβ=﹣1, 故f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)+4=﹣asinα﹣bcosβ+4=1 +4=5, 故选:C. 点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于中档题.   8.(5分)(2015春?抚顺期末)已知 ,若 , = ,D为BC的中点,则 ,| |=3, |为(  ) = ,如图

  A.

B.

C. 7 D. 18

考点: 向量的线性运算性质及几何意义;向量的模. 专题: 计算题. 分析: 由D为BD的中点,知 |= ( )=3 ﹣ .由 ,| |=3,

=

,能求出



解答: 解:∵D为BD的中点, ∴ |= ( )

-6-

=

+

=3 ﹣





,| |=3,

=





=



=



∴ 故选A.



点评: 本题考查向量的加减运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.   9.(5分)(2010?江西)直线y=kx+3与圆(x﹣3)2+(y﹣2)2=4相交于M,N两 点,若|MN|≥2 ,则k的取值范围是(  ) C. [﹣ ] D.

  A. [﹣ ,0] B.

[﹣ ,0]

考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式;直线和圆的方程的应用. 专题: 压轴题. 分析: 先求圆心坐标和半径,求出最大弦心距,利用圆心到直线的距离不大于最大弦心 距,求出k的范围. 解答: 解:解法1:圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切. 当 ,弦心距最大,

-7-

由点到直线距离公式得

解得k∈ 故选A.



解法2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,不取+∞,排除B, 考虑区间不对称,排除C,利用斜率估值, 故选A.

点评: 考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考查数形结合的运用.解法 2是一种间接解法,选择题中常用.   10.(5分)(2015?漳州一模)为得到函数 y=sin2x的图象(  )   A. 向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位 的图象,只需将函数

  C. 向左平移

个长度单位 D. 向右平移

个长度单位

考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题.

-8-

分析: 先根据诱导公式将函数 进行平移即可得到答案. 解答: 解:∵ , 化为正弦的形式,再根据左加右减的原则

只需将函数y=sin2x的图象向左平移 . 故选A.

个单位得到函数

的图象

点评: 本题主要考查诱导公式和三角函数的平移.属基础题.   11.(5分)(2015春?抚顺期末)函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ∈R)的部分图象如图所示,则函数表达式(  ) ,x

  A. y=﹣4sin(

x﹣

) B. y=4sin(

x﹣



  C. y=﹣4sin(

x+

) D. y=4sin(

x+



考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值, 可得函数的解析式. -9-

解答: 解:由函数的解析式可得A=4, =

=6+2,可得ω=



再根据sin[(﹣2)×

+φ]=0,可得(﹣2)×

+φ=kπ,k∈z,再结合|φ|



,∴φ=



∴y=﹣4sin( 故选:C. 点评:

x+

),

本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶 点坐标求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,属于基础题.   12.(5分)(2015春?抚顺期末)平面向量的集合A到A的映射 ,其中 为常向量.若映射f满足 对任意的   A. ( , ) B. ( ,﹣ 恒成立,则 的坐标可能是(  ) ) C. ( , ) D. ( ,﹣ )

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据已知,将 解之. 解答: 解:∵ ∴ 整理得,2 ∴ =2, - 10 =[ , ,其中 为常向量. ]?[ ], 利用映射关系式代替,得到关于 的等式

从四个选项中选择 的模平方为2的选项, 对于A,向量的模的平方为 ;对于B,向量的模的平方为2;对于C,对于向量的

模的平方 ;

对于D,向量的模的平方为 故选B.



点评: 本题考查了向量的数量积的运算.   二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题5分,共20分). 13.(5分)(2015春?抚顺期末)tan25°+tan35°+ . tan25°tan35°=   

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用两角和差的正切公式即可得出. 解答: 解:原式=tan(25°+35°)(1﹣tan25°tan35°)+ °= . . tan25°tan35°=tan60

故答案为:

点评: 本题考查了两角和差的正切公式,属于基础题.   14.(5分)(2015春?抚顺期末)某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动, 按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40, 45),第5组[45,50),得到的频率分布直方图如图所示.现在要从年龄较小的 第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,年龄在第3组的人数是 4 .

- 11 -

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图,得出前3个小组的频率之比,从而求出用分层抽样方法抽 取的人数. 解答: 解:根据频率分布直方图,得; 前3个小组的频率之比为0.02:0.02:0.08=1:1:4, 所以,用分层抽样的方法抽取6人,年龄在第3组的人数是 6× =4.

故答案为:4. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了分层抽样方法的应用问题,是 基础题目.   15.(5分)(2015春?抚顺期末)某地区打的士收费办法如下:不超过2公里收7 元,超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2.6元,( 其他因素不考虑)计算收费标准的框图如图所示,则①处应填 y=2.6x+2.8 .

- 12 -

考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得:当满足条件x>2时,即里程超过2公里,应按超过2公里的里程每公 里收2.6元,另每车次超过2公里收燃油附加费1元收费,进而可得函数的解析式 . 解答: 解:当满足条件x>2时,即里程超过2公里, 超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2.6元 ∴y=2.6(x﹣2)+7+1=8+2.6(x﹣2),即整理可得:y=2.6x+2.8. 故答案为y=2.6x+2.8. 点评: 程序填空是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件 ③变量的赋值④变量的输出.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含 义而导致错误.   16.(5分)(2015春?抚顺期末)下面有五个命题: ①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π; ②终边在y轴上的角的集合是{α|α= ,k∈Z};

- 13 -

③函数f(x)=|sin(x+

)|(x∈R),在区间[



]上是增函数;

④若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M,N两点,则| MN|的最大值为1. 其中真命题的序号是 ①③ .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用平方差公式和倍角公式化简函数解析式,并求出周期,可判断①;写出终边 在y轴上的角的集合,可判断②;分析函数在区间[ , ]上的单调性,可判

断③;求出|MN|的表达式,进而求出|MN|的最大值,可判断④. 解答: 解:函数y=sin4x﹣cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x﹣cos2x)=sin2x﹣cos2x=﹣cos 2x,故函数的最小正周期是π,故①为真命题; 终边在y轴上的角的集合是{α|α= +kπ,k∈Z},故②为假命题;

当x∈[



]时,x+

∈[π,

],此时sin(x+

)<0,故函数f(x)=

|sin(x+

)|=﹣sin(x+

),

由y=sin(x+

)在[



]为减函数,可得函数f(x)=在[



]为增

函数,故③为真命题; 若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M,N两点,则|MN |=|sinx﹣cosx|=| sin(x﹣ )|,其最大值为 - 14 ,故④为假命题;

故真命题的序号是:①③, 故答案为:①③. 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了三角函数的化简,求值,周期,单调性, 最值等知识点,是三角函数的综合应用,难度中档.   三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(10分)(2015春?抚顺期末)设 =(﹣1,1), =(4,3), =(5,﹣2 ) (Ⅰ)若( +t )∥ ,求实数t的值; (Ⅱ)求 在 方向上的正射影的数量.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)通过( +t )∥ ,列出方程,即可求实数t的值; (Ⅱ)利用向量的数量积,直接求 在 方向上的正射影的数量. 解答: 解:(Ⅰ) 故5(1+3t)=﹣2(﹣1+4t) 所以 …(5分)

(Ⅱ)

…(10分)

点评: 本题考查向量的基本运算,基本知识的考查.  

- 15 -

18.(12分)(2015春?抚顺期末)已知向量 =(sinθ,﹣2)与 (1,cosθ) 互相垂直,其中θ∈(0, (1)求sinθ和cosθ的值; (2)若sin(θ﹣φ)= ,0<φ< ,求sinφ的值. ).

考点: 平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数 . 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: (1)利用向量垂直数量积为0,得到sinθ=2cosθ,结合基本工关系式求sinθ 和cosθ; (2)利用角的等价变换φ=θ﹣(θ﹣φ),结合(1)求sinφ. 解答: 解:(1)(1)∵ 又∵sin2θ+cos2θ=1, ∴4cos2θ+cos2θ=1,即cos2θ= ,∴sin2θ= , ,∴ =sinθ﹣2cosθ=0,即sinθ=2cosθ,

又∴sinθ=

,cosθ=

.…(6分)

(2)∵sin(θ﹣φ)=

,0<φ<



∴cos(θ﹣φ)=



∴sinφ=sin[θ﹣(θ﹣φ)]=sinθcos(θ﹣φ)﹣cosθsin(θ﹣φ)=﹣ .…(12分) - 16 -

点评: 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及利用三角函数的基本关系式化简三 角函数式;求值.   19.(12分)(2015春?抚顺期末)已知向量 =( osx),函数f(x)=2 ? ﹣1 (1)求f(x)的单调递增区间; (2)当x∈[ , ]时,若f(x)=1,求x的值. sinx,cosx), (cosx,c

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x+ )

,由2kπ

≤2x+

≤2k

,k∈Z可解得f(x)的单调递增区间.

(2)由f(x)=1得sin(2x+

)= ,由x∈[



],可得2x+

∈[



]

,利用正弦函数的图象即可求得x的值. 解答: (本题满分为12分) 解:(1)f(x)=2 (4分) sinxcosx+2cos2x﹣1= sin2x+cos2x=2sin(2x+ ).…

- 17 -

所以由2kπ

≤2x+

≤2k

,k∈Z可解得f(x)的单调递增区间为:[﹣

+kπ,

+kπ],k∈Z.…(6分)

(2)由f(x)=1得sin(2x+

)= ,

∵x∈[



],

∴2x+

∈[



],

∴2x+

=



∴x= 点评:

.…(12分)

本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数 的图象和性质,属于基本知识的考查.   20.(12分)(2010?河东区一模)袋中有质地、大小完全相同的5个小球,编号 分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏.甲先摸出一个球.记下编号, 放回后再摸出一个球,记下编号,如果两个编号之和为偶数.则算甲赢,否则算 乙赢. (1)求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率: (2)试问:这种游戏规则公平吗.请说明理由.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计.

- 18 -

分析: (1)本题是一个古典概型,试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5种 等可能的结果,满足条件的事件可以通过列举法得到,根据古典概型的概率公式 得到结果. (2)要判断这种游戏是否公平,只要做出甲胜和乙胜的概率,先根据古典概型 做出甲胜的概率,再由1减去甲胜的概率,得到乙胜的概率,得到两个人胜的概 率相等,得到结论. 解答: 解:(1)由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5=25(个)等可能的结果, 设“两个编号和为6”为事件A, 则事件A包含的基本事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1 )共5个, 根据古典概型概率公式得到P(A)= (2)这种游戏规则是不公平的. 设甲胜为事件B,乙胜为事件C, 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4), (3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (5,1),(5,3),(5,5) ∴甲胜的概率P(B)= =

乙胜的概率P(C)=1﹣P(B)= ∴这种游戏规则是不公平的. 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,考查利用列举法得到试验包含的所有事件,考 查利用概率知识解决实际问题,本题好似一个典型的概率题目. - 19 -

  21.(12分)(2015春?抚顺期末)已知函数f(x)=2sin2( +x)﹣ cos2x

(1)求函数f(x)的最大值,以及取到最大值时所对应的x的集合; (2)|f(x)﹣m|<2在x∈[ , ]上恒成立,求实数m的取值范围.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质;不等式的解法及应用. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=1+2sin(2x﹣ ),利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f(x)的最大值,以及取到最大值 时所对应的x的集合; (2)由x∈[ , ],可求f(x)max=3,f(x)min=2.由题意可得m>f(x)max

﹣2且m<f(x)min+2,即可解得实数m的取值范围. 解答: (本题满分为12分) 解:(1)∵f(x)=[1﹣cos( =1+sin2x﹣ cos2x ), +2x)]﹣ cos2x

=1+2sin(2x﹣

∴f(x)max=3,…(4分) 此时,∵2x﹣ =2k ,k∈Z,

∴解得x=

…(6分) - 20 -

(2)∵x∈[



],



≤2x﹣





即2≤1+2sin(2x﹣

)≤3,

∴f(x)max=3,f(x)min=2. ∵|f(x)﹣m|<2?f(x)﹣2<m<f(x)+2,x∈[ ∴m>f(x)max﹣2且m<f(x)min+2, ∴1<m<4,即m的取值范围是(1,4).…(12分) 点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,由题意得 :m>f(x)max﹣2且m<f(x)min+2是解题的关键,属于中档题.   22.(12分)(2004?黄冈校级模拟)已知定点A(0,1),B(0,﹣1),C(1 ,0).动点P满足: . , ],

(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (2)当 的最大值和最小值.

考点: 轨迹方程. 分析: (1)设动点的坐标为P(x,y),得到 .可得答案. (2)当k=2时确定方程,然后求出向量2 的参数方程求最值. + 的模的表达式,最后根据所求方程 , , 的坐标表示,然后根据

- 21 -

解答: 解:(1)设动点的坐标为P(x,y),则 (1﹣x,﹣y) ∵ ? =k| |2,∴x2+y2﹣1=k[(x﹣1)2+y2]即(1﹣k)x2+(1﹣k)y2+2kx﹣k =(x,y﹣1), =(x,y+1), =

﹣1=0. 若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)是平行于y轴的直线. 若k≠1,则方程化为: ,

表示以(﹣

,0)为圆心,以

为半径的圆.

(2)当k=2时,方程化为(x﹣2)2+y2=1. ∵2 ∴|2 ∴|2 + + + =2(x,y﹣1)+(x,y+1)=(3x,3y﹣1), |= |= .又x2+y2=4x﹣3, ∵(x﹣2)2+y2=1,∴令x=2+cosθ,y=sinθ. cos(θ+φ)+46∈[46﹣6 ,46+6

则36x﹣6y﹣26=36cosθ﹣6sinθ+46=6 ], ∴|2 点评: + |max= =3+ ,|2 +

|min=

=

﹣3.

本题主要考查通过向量的有关运算求轨迹方程的问题.对向量的有关题型比如: 求模、求夹角、求垂直以及平行等的问题一定要强化练习,是高考的热点问题.  

- 22 -


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