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高三专题圆的方程知识梳理例题及答案


专题:圆的方程
知识梳理
圆的标准方程与一般方程 1.圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) . 特殊地,当 a ? b ? 0 时,圆心在原点的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? r 2 . 2.圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆心为点 ( ? 其中 D ? E ? 4 F ? 0 .
2 2

D E ,? ) ,半径 r ? 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F , 2

3.二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的方程的充要条件是:
2 2 ①、 x 项 y 项的系数相同且不为 0,即 A ? C ? 0 ;

②、没有 xy 项,即 B ? 0 ; ③、 D ? E ? 4 AF ? 0 .
2 2

直线和圆位置关系的判定方法 方法 一:方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成一元二次方程组,利用判别式 ? 来讨论位置关 系. ① ? ? 0 ,直线和圆相交; ② ? ? 0 ,直线和圆相切; ③ ? ? 0 ,直线和圆相离. 方法 二:几何的观点,即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较. ① d ? R ,直线和圆相交; ② d ? R ,直线和圆相切; ③ d ? R ,直线和圆相离. 当直线与圆相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦 长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同 时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.

1

典例精讲
例 1.根据下列条件求圆的方程: (1)以点 C (1, 2) 为圆心,与直线 l : x ? 2 y ? 0 相切的圆的方程; (2)求过三点 A(3, 2) 、 B(1,1) 、 C (2, ?1) 的圆的方程。 【答案】 : (1)? 圆 C 与直线 l : x ? 2 y ? 0 相切,

? 点 C (1, 2) 到 l : x ? 2 y ? 0 的距离等于圆的半径 r ,即 r ? ? 所求圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 。
(2)设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 。

|1 ? 2 ? 2 | 12 ? 22

? 5。

? 点 A(3, 2) 、 B(1,1) 、 C (2, ?1) 在圆上,
?9 ? 4 ? 3 D ? 2 E ? F ? 0 ? ? ?1 ? 1 ? D ? E ? F ? 0 ,解这个方程组,得 ?4 ? 1 ? 2 D ? E ? F ? 0 ?
? D ? ?5 ? 2 2 ? E ? ?1 ,又 D ? E ? 4F ? 25 ? 1 ? 16 ? 10 ? 0 , ?F ? 4 ?

? 所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5x ? y ? 4 ? 0 。

点评:
①圆的标准方程有: x ? y ? R , ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 。
2 2 2 2 2 2

2 2 圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F ? 0 ) ,
2 2

圆心坐标 (?

D E , ? ) ,半径 r ? 2 2

D2 ? E 2 ? 4F 。 2

②求圆方程: 若已知圆心坐标时,一般用圆的标准方程求解;若已知圆过三点时,一般用圆的一般方程求解,并检验所 求出的 D 、 E 、 F 是否满足 D ? E ? 4F ? 0 这一条件。
2 2

例 2.已知点 P 是圆 x ? y ? 4 上的动点,点 A(4, 0) , M 是 AP 的中点。
2 2

(1)求动点 M 的轨迹方程;

2

(2)记动点 M 的轨迹为曲线 C ,求过点 B(1, ?3) 与曲线 C 相切的直线方程; (3)求直线 l : y ? x ? 1 被曲线 C 所截得的线段长。 【答案】 : (1)设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,根据题意,有

x ?4 ? x? 0 ? ? x0 ? 2 x ? 4 ? 2 ,即 ? 。 ? ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? 0 ? ? 2
又 P( x0 , y0 ) 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上,

? (2 x ? 4)2 ? (2 y)2 ? 4 即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1。 ? 动点 M 的轨迹方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1。
(2)设所求的切线方程为: a( x ? 1) ? b( y ? 3) ? 0 (a 2 ? b2 ? 0) , 即 ax ? by ? 3b ? a ? 0 ,又曲线 C 是圆心为 (2, 0) ,半径为 1 的圆,于是,有

| 2a ? 3b ? a | a 2 ? b2

? 1 ,化简得 b(3a ? 4b) ? 0 。
4 b。 3

解得 b ? 0 或 a ? ?

若 b ? 0 ,则所求的切线为 x ? 1 ? 0 。 若a ? ?

4 b ,则所求的切线为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 。 3

因此,所求切线方程为 x ? 1 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 。 (3)由(2)知,曲线 C 的圆心为 (2, 0) ,半径为 1, 且圆心 (2, 0) 到直线 l : y ? x ? 1 的距离为 d ?

| 2 ? 1| 12 (?1)2

?

1 2

所以,曲线 C 截直线 l 所得的线段的长为 2 r 2 ? d 2 ? 2 。

【解题策略】
①若一个问题中有两个动点时,一般设所求轨迹的动点坐标为 ( x, y ) ,另一个动点坐标设为 ( x0 , y0 ) ,并 通过条件求出 x0 , y0 (用 x, y 表示) ,利用 ( x0 , y0 ) 在已知轨迹曲线上求解; ②过一点求圆的切线方程时,若这点在圆上,则只有一条切线;若这点在圆外,则有两条切线。因此,用 直线的点法向式方程设切线方程,可避免讨论;
3

③求直线与圆相截所得弦长的步骤:先求圆心到直线的距离 d ,再代入弦长公式 l ? 2 r 2 ? d 2 ( r 是圆 的半径)求值。

课后习题
1.已知 P(3, 4) 、 Q(?5, 6) 两点,求以 PQ 为直径的圆的方程。 【答案】 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 5)2 ? 17 2.求过点 A(2, ?1) 、 B(0, ?1) 、 C (1, ?2) 三点的圆的方程。 【答案】 : ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 3.已知 a 是实数,讨论方程 x ? y ? ax ? y ? 3 ? 0 所表示的曲线。
2 2

【答案】 : a ? 11 时为圆; a ? 11 为一个点; a ? 11 不存在 4.当 m 为何值时,直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 分别有下列位置关系: ①相交;②相切;③相离。 【答案】 : (1) m ? 2 (2) m ? 2 (3) m ? 2 5.当 a 为何值时,直线 l : x ? y ? a ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? a ? 0 分别具有下列位置关系: ①过圆心 ②相交 ③相离 ④相切

【答案】 : (1) ?1 (2) (?2 ? 13, ?2 ? 13) (3) (??, ?2 ? 13) ? (?2 ? 13, ??) (4) ?2 ? 13 6.求过圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上点 (?1, 2) 且与圆相切的直线方程。
2 2

【答案】 :y?2 7.若圆 x ? y ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0 上有四个点到直线 2 x ? y ? b ? 0 的距离都是 3 ,求实数 b 的值;
2 2

【答案】 : (?13 ? 2 5, ?13 ? 2 5) 8.当 m 为何值时,圆 C1 : x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? 6 x ? 2 y ? m ? 0 具有关系:①外
2 2 2 2

切;②内切。 【答案】 : ?11 ? 4 5

4


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