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安徽省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何


部分: 第 8 部分:立体几何
一、选择题: 选择题: (7) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考理科)沿一个正方体三个面的对角线截得的 月高三联考理 安徽省“江南十校” 几何体如图所示,则该几何体的左 视图为()

解析】由三视图可知. (7) B 【解析 (9) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考文科) 已知定直线 l 与平面 a 成 60°角,点 月高三联考文科) 安徽省“江南十校” P 是平面 a 内的一动点,且点 p 到直线 l 的距离为 3,则动点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.椭圆
o

(9)解析:到直线 l 的距离为 3 的点的轨迹是以直线 l 为旋转轴,以 3 为半径的无限延伸的 圆柱面,此处只不过把这个圆柱面与平面 α 成 60 角摆放,用一个水平的平面去切它, 不难想象,它应该是一个椭圆,所以选 D 图为

1

1

?

?

正(主)视图

侧(左)视图

9、 安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理科)已知某几何体的三视 ( 届高三第二次联考理科) 图如右图所示,其中,正(主)视图, 侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三 角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为 A、

1

?
1
俯视图

2π 1 4π 1 2π 1 2π 1 + B、 + C、 + D、 + 3 2 3 6 6 6 3 2 9.C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥, 下部分是半球,所以根据三 视图中的数据可得 1 4π 2 1 1 2π 1 V= × × ( )3 + × ×1×1×1 = + 2 3 2 3 2 6 6

8.(安徽省合肥一中 2012 届高三下学期第二次质量检测文 ( 其中, (主) 正 视图, 科)已知某几何体的三视图如右图所示,
1

侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内 接三角形构成,根据图中的数据 可得此几何体的体积为 ( C ) A.

2π 1 + 3 2 2π 1 C. + 6 6

4π 1 + 3 6 2π 1 D. + 3 2
B.

7、 安徽省安庆市 2012 年 3 月高三第二次模拟文科)如 右图,是某几何体的三视图,其中 ( 月高三第二次模拟文科) 正视图是正方形.侧视图是矩形,俯视图是半径为 2 的半圆, 则该几何体的表面积是 A 、16+12 π B 、24 π D、12 π C、16+4 π 【答案】A

7 、 安徽省安庆市 2012 年 3 月高三第二次模拟理科) 月高三第二次模拟理科) 一空间几何体的三视图如图所 示 (正、 ( 侧视图是两全等图形,俯视图是圆及圆的内接正方形) ,则该几何体的表面积是 2 A、7 π cm B、 π +4 3 )cm (5
2

C、 π +2 3 )cm 7 (5
2

D、 π +2 7 -2)cm (6

2

【答案】D (7)(安徽省马鞍山市 2012 年 4 月高三第二次质量检测文科)如图是 一个几何体的三视, 月高三第二次质量检测文科) ( 则它的表面为 A、4 π 【答案】D B、

15 π 4

C、5 π

D、

17 π 4

(3) (安徽省马鞍山市 2012 年 4 月高三第二次质量检测理科)己知α、 月高三第二次质量检测理科) β为两个平面,l 为直线.若α⊥β,α∩β=l,则 A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α

2

B.垂直于直线 I 的直线一定垂直于平面α C.垂直于平面β的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 a,β都垂直

二、填空题: 填空题: (15) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考理科)如图是一副直角三角板.现将两三角 月高三联考理 安徽省“江南十校” 板拼成直二面角,得 到四面体 ABCD,则下列叙述正确 的是. _________ ①


②平面 BCD 的法向量与平面 ACD

的法向量垂直;③异面直线 BC 与 AD 所成的角为 60% ④四面体有外接球;⑤直线 DC 与平面 ABC 所成的角 为 30 0 (15) ①④⑤ (12) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考文科) 若某多面体的三视图(单位:cm)如 月高三联考文科) 安徽省“江南十校” 图所示,其中正视图与俯视图均为等腰三角形,则此多面体的表面积为________cm2.v

3

(12)解析:由三视图知:多面体为右图所示,其表面积为:

1 1 1 S = × 6 × 4 + × 5 × 4 × 2 + × 6 × 4 2 = (32 + 12 2)cm2 2 2 2
(15) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考文科)如图,正方体 月高三联考文科) 安徽省“江南十校” 长为 1,点 结论: ① ,② ;③. ;④MN 与 , ,且 ,有以下四个 棱

是异面直线、其中正确结论的序号是________ (注:把你认为正确命 题的序号都填上) (15)解析:过 N 作 NP ⊥ BB1 于点 P ,连接 MP ,可证 AA1 ⊥ 面

MNP ∴①对 过 M 、N 分别作 MR ⊥ A1 B1 、NS ⊥ B1C1 于点 R 、S , 则当 M 、N 不是 AB1 、BC1
的中点时,A1C1 与 RS 相交; M 、N 是 AB1 、BC1 的中点时,A1C1 ∥ RS ∴ A1C1 当 与 MN 可以异面,也可以平行,故②④错 由①正确知:面 MNP ∥面 A1 B1C1 D ,故③对 故选①③ 15、 安徽省安庆市 2012 年 3 月高三第二次模拟文科)如图是一个正方体的平面展开图, 月高三第二次模拟文科) ( 则在正方体中, ①CV 与 BE 是异面直线;②平面 DEM∥平 面 ACF; ③DE⊥BM; ④AF 与 BM 所成角为 60°⑤BN⊥平面 AFC 在以上的五个结论中,正确的是__ __○○○ 2 3 4

5 ○ (写出所有正确结论的序号) .

12、 安徽省蚌埠市 2012 年 3 月高三第二次质检文科) ( 月高三第二次质检文科) 平面α截球 O 所得截面的面积为 9 π , 已知球心 O 到平 面α的距离为 4,则球的表面积为_____ 100π 15、 安徽省安庆市 2012 年 3 月高三第二次模拟理科)如图正方形 BCDE 的边长为 a,已知 月高三第二次模拟理科) ( AB= 3 BC,将直角△ABE 沿 BE 边折起,A 点在面 BCDE 上的射影为 D 点,则翻折后的几何

4

体中有如下描述: (1)ADE 所成角的正切值是 2 ; (2) VB ? ACE 的体积是

1 2 a ; 6

(3)AB∥CD; (4)平面 EAB⊥平面 ADEB;

(5)直线 PA 与平面 ADE 所成角的正弦值为

3 。 3

(15) (安徽省马鞍山市 2012 年 4 月高三第二次质量检测文科)下面命题: 月高三第二次质量检测文科) ①函数 f(x)= lg

x 的定义域是(0,+∞) ; x +1
2

②在空间中,若四点不共面,则每三个点一定不共线; ③若数列{ an }为等比数列,则“ a3 a5 =16”是“ a4 =4”的充分不必要条件; ④直线 l1 经过点(3,a) ,B(a-2,3) ,直线 l2 经过点 C(2,3) ,D(-1,a-2) ,若

l1 ⊥l2,则 a=0:
其中真命题的序号为____(写出所有真命题的序号) . (15) 【答案】①②; 【命题意图】.本题考查基本概念理解的综合能力,难题. 解答题: 三、解答题: (19) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考理科) (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 ABG、平面 ADF、平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直,且ΔABG, ΔADF, ΔCDE 都是正三角形. (I) 求证 : AC// EF ; (II) 求多面体 ABCDEFG 的体积.

证明:方法一, (19) 解: (Ⅰ) 证明:方法一,如图,分别取 AD、CD 的中点 P、 Q,连接 FP,EQ. ∵△ ADF 和△ CDE 是为 2 的正三角形, ∴FP⊥AD,EQ⊥CD,且 FP=EQ= 3 . 又∵平面 ADF 、平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直, ∴FP⊥平面 ABCD , EQ⊥平面 ABCD ,∴FP∥QE 且 FP=EQ,

5

∴四边形 EQPF 是平行四边形,∴EF∥PQ . ∵ PQ 是 ?ACD 的中位线,∴PQ∥AC,

……………………….……..4分

∴ EF∥AC ………………………………………………………………..……..6 分 方法二,以 A 点作为坐标原点,以 AB 所在直线为 方法二 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, 以 过点 A 垂直于 xOy 平 面的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 如图所示. 根 据 题 意 可 得 ,

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2, 3 ), F(0,1, 3 ),G(1,0, 3 ). …………………………………………..………………..4 分 ∴ AC =(2,2,0) FE =(1,1,0),则 AC = 2 FE , , ∴ AC ∥ FE ,即有 AC ∥ FE ……………………………………………..……..6 分 ( Ⅱ )

V多面体ABCDEFG = V三棱柱ABG ?CDE + V四棱锥F ? ADEG = 2 3 +

2 3 8 3 = ..........12 分 3 3

(18) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考文科) (本小题满分 12 分) 如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 作 分别交 中,点 B、C 在线段 AD 上,且 AB = 3,BC = 4, 分别交 于点 ,

于点 B,P,作 折叠,使得 与

将该正方形沿

重合,构成如图 2 所示的三棱柱

(I )求证: (II)求多面体

平面

; 的体积.

6

(18) (Ⅰ)证明:由题知: AB = 3 , BC = 4 , CA = 5 ,∴ AB ⊥ BC .┄┄┄┄┄2 分 又∵ AB ⊥ BB1 , ∴ AB ⊥ 平面 BCC1 B1 ;┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5 分 (Ⅱ)解析:由题知:三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 =

∴多面体 A1 B1C1 ? APQ 的体积 = VABC ? A1B1C1

1 × 3 × 4 × 12 = 72 .┄┄┄┄┄6 分 2 ∵ ?ABP 和 ?ACQ 都是等腰直角三角形,∴ AB = BP = 3 , AC = CQ = 7 ,┄7 分 1 1 1 ∴ VA?CQPB = S 四边形 CQPB × AB = × × (3 + 7) × 4 × 3 = 20 .┄┄┄┄┄┄┄ 10 分 3 3 2

? VA ?CQPB = 72 ? 20 = 52 .┄12 分

17.(安徽省合肥一中 2012 届高三下学期第二次质量检测文科)(12 分)将边长为 2 的正方 ( 届高三下学期第二次质量检测文科) 形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使得平面 ABD⊥平面 CBD, AE⊥平面 ABD,且 AE= 2 . (1)求证:DE⊥AC; (2)直线 BE 上是否存在一点 M,使得 CM∥平面 ADE,若存在,求点 M 的位置,不存在请说 明理由.

解析:第一问 6 分,第二问 6 分,详解略 17.(安徽省合肥一中 2012 届高三下学期第二次质量检测理科)(12 分)将边长为 2 的正方 (安徽省合肥一中 届高三下学期第二次质量检测理科) 形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使得平面 ABD⊥平面 CBD, (Ⅰ)求证:DE⊥AC; (Ⅱ)求 DE 与平面 BEC 所成角的正弦值; AE⊥平面 ABD,且 AE= 2 . (Ⅲ)直线 BE 上是否存在一点 M,使得 CM∥平面 ADE,若存在,求点 M 的位置,不存在请 说明理由.

7

解法一: (坐标法) (Ⅰ)以 A 为坐标原点 AB,AD,AE 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系 则 E (0, 0, 2) , B(2, 0, 0) , D(0, 2, 0)

uuur ∴ DE = (0, -2,2)



uuur AC = (1,1,2)
故 DE ⊥

uuur uuur ∴ DE ? AC = (0, -2,2) ? (1,1, 2) = 0
AC ………4 分

(Ⅱ)设平面 BCE 的法向量为 n = ( x, y,z ) 则

r

?z = 2x ? ∴? ? ?x ? y ? 2z = 0 ? y = ?x ? uuur r 令 x=1 得 n = (1, -1,2) 又 DE = (0, -2,2) ,设平面 DE 与平面 BCE 所成角为 θ ,则 r uuur n ? DE uuur 6 r . ………8 分 sin θ = cos < n , DE > = r uuur = 3 n DE
即?

r r uuu ?n ? EB = 0 ? r ? r uuu ?n ? CB = 0 ?

?2 x ? 2 z = 0 ?

因为 CM∥面 ADE,则 CM ⊥ AB 即 CM ? AB = 0 得 2λ ? 1=0 ∴ λ =

uuuu r

uuu r

uuuu uuu r r

1 2

故 点 M 为 BE 的中点时 CM∥面 ADE. ………12 分 解法二:综合法(略) 18. 安徽省安庆市 2012 年 3 月高三第二次模拟文科) 月高三第二次模拟文科) (本小题满分 12 分) ( 如图,几何体 ABC 一 EFD 是由直三棱柱截得的,EF //AB,

8

∠ABC=90°,AC=2AB = 2.,CD=2AE= 6 (I)求三棱锥。D-BES 的体积; (B)求证:CE⊥DB

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解: BC = AC ? AB = 3 ? BC =
2 2 2

3

………2 分

可证 EF⊥平面 BCD,

1 1 1 2 VD ? BCE = VE ? BCD = ? S ?BCD ? EF = × × 3 × 6 × 1 = . ………5 分 3 3 2 2
(Ⅱ)证明:连接 CF ,

AB ⊥ BF ? ? ?? 依题意: AB ⊥ BC BF I BC = B ? ?
AB ⊥ 平面BFD ? AB ⊥ BD ? ?? ? ? EF ⊥ BD EF || AB ? BD ? 平面BFD ?
① ………8 分
第 18 题图

又在 Rt?BCF 和Rt?CDB 中,

6 BF 2 BC 3 2 BF BC = 2 = , = = ? = ? Rt?BCF ∽ Rt?CDB ……10 分 BC 2 CD 2 BC CD 3 6
∠BDC = ∠BCF ? ∠BDC + ∠DCF = ∠BCF + ∠DCF = 90 o ? CF ⊥ BD
①② ? BD ⊥ 平面 CEF , 又 CE ? 平面 CEF 所以BD ⊥ CE . ②

………12 分

19、 安徽省安庆市 2012 年 3 月高三第二次模拟理科) ( 月高三第二次模拟理科) (本题满分 12 分) 如图所示,多面体 FE-ABCD 中,ABCD 和 ACFE 都是直角梯形,DC∥AB,AE∥CF,平面 ACFE

9

⊥平面 ABCD,AD=DC=CF=2AE=

1 π AB ,∠ACF=∠ADC= 。 2 2

( I)求证:BC⊥平面 ACFE; (II)求二面角 B-FE-D 的平面角的余弦值。

解 : Ⅰ ) 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , ∵ ∠ADC = ( AD=DC=

π
,又

2

1 AB,可证 BC⊥AC, 2
………2 分 又∵平面 ACFE⊥平面 ABCD,且平面 ACF E∩平面 ABCD=AC, ∴BC⊥平面 ACFE;………4 分

10

(18)(安徽省马鞍山市 2012 年 4 月高三第 ( 二次质量检测文科) (本小题满分 12 分)如 二次质量检测文科) 图,平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的 平 面 互 相 垂 直 , AB = 1 , AD = 2 ,
∠ADC = 60° , AF = 3 . 2

(Ⅰ)求证: AC ⊥ BF ; (Ⅱ)求多面体 ABCDEF 的体积. 【证明】 (Ⅰ)∵ AB = 1 , AD = 2 , ∠ADC = 60° , 由余弦定理:
AC 2 = CD 2 + AD 2 ? 2CD ? AD ? cos 60° = 1 + 4 ? 2 × 1× 2 ×

1 =3 2

于是

AD 2 = CD 2 + AC 2 ,∴ ∠ACD = 90° ,

∵ AB / / CD ,∴ AC ⊥ AB ……………………………………………2 分 又∵四边形 ACEF 是矩形,所以 FA ⊥ AC
AC ⊥ AF 于是 AC ⊥ AB AF I AB = ? ? ? ? AC ⊥ 平面AFB ? ? ? AC ⊥ BF ……………… 6分 A? 又BF ? 平面AFB ? ?

(Ⅱ)令多面体 ABCDEF 的体积为 V ,
V = VD ? ACEF + VB ? ACEF = 2VD ? ACEF ………………………………………8 分

又∵平面 ABCD ⊥ 平面 ACEF , DC ⊥ AC , 根据两平面垂直的性质定理: DC ⊥ 平面AFEC , 所以 DC 为四棱锥 D ? AFEC 的高,…………………………………10 分
S矩形AFEC = 3 3 3 × 3= , 2 2

所以 VD ? AFEC = ×

1 3 3 3 ×1 = 3 2 2

∴ V = 2VD ? AFEC = 3 ,即多面体 ABCDEF 的体积为 3 .……………12 分 【命题意图】.本题考查空间几何体的线、面位置关系用相关量的运算, 中等题 . (18)(安徽省马鞍山市 2012 年 4 月高三第二次质量检测理科) ( 月高三第二次质量检测理科) (本小题 满分 13 分)如图,在正三棱柱 ABC ? DEF 中, AB = 2, AD = 1 , P 是
CF 的延长线上一点,过 A, B, P 三点的平面交 FD 于 M ,交 EF 于 N

11

(Ⅰ)求证: MN∥ 平面 CDE ; (Ⅱ)当平面 PAB ⊥ 平面 CDE 时,求三棱台 MNF ? ABC 的体积.

【证明】 (Ⅰ)因为 AB∥ DE , AB 在平面 FDE 外, 所以 AB∥ 平面 FDE ;………………………………………………2 分
MN 是平面 PAB 与平面 FDE 的交线,所以 AB∥ MN ,

故 MN ∥ DE ; ………………………………………………………4 分 而 MN 在平面 CDE 外,所以 MN ∥平面 CDE ………………………6 分 【解】 (Ⅱ)解法一:取 AB 中点 G 、 DE 中点 H 则由
GH ∥ PC 知 P, C , G , H 在同一平面上 ,并且由 PA = PB 知 PG ⊥ AB 而与(Ⅰ)同理可证 AB 平

行于平面 PAB 与平面 CDE 的交线, 因此, 也 PG 垂直于该交线,但平面 PAB ⊥ 平面 CDE ,所以
PG ⊥ 平面 CDE , PG ⊥ CH

于是, ?CGH ∽ ?PCG , 分 设 PF = t ,则
1+ t 3 =

PC CG = ……………8 CG GH

3 ? t = 2 …………………10 分 1 PF MF 4 = ? MF = PC AC 3

从而

VMNF ? ABC = VP ? ABC ? VP ? MNF

1 3 2 4 19 3 = × [2 × 3 ? ( )2 × 2] = ……………13 分 3 4 3 27

注: 几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直, 阅卷时应注意考生是否在运用相关 的定理. (Ⅱ)解法二:如图,取 AB 中点 G 、 DE 中点 H . 以 G 为原点, GB 为轴、 GC 为轴、
GH 为轴建立空间直角坐标系.

则在平面 PAB 中, B(1, 0, 0), P(0, 3,1 + t ) ,向量 GB = (1, 0, 0), GP = (0, 3,1 + t ). 设平面 PAB 的法向量 n, = ( x1 , y1 , z1 ) ,则由
ur

uuu r

uuu r

12

注:使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分. 【命题意图】 本题考查线面位置关系、 二面角等有关知识, 考查学生空间想象能力, 中等题. 17、 安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理科) 届高三第二次联考理科) (本题满分 12 分)已知轴对称平面五 ( D 边形 ADCEF(如图 1) ,BC 为对称轴,ADCD, A AD = AB =1,CD =BC = 3 ,将此图形沿 BC 折叠成直二面角, A 连接 AF、DE 得到几何体(如图 2) (1)证明:AF//平面 DEC; (2)求二面角 E—AD—B 的正切值。 B F E E (2) C B D

C

F (1)

17.解: (Ⅰ)Q 以 B 为坐标原点,分别以射线 BF、BC、BA 为 x 轴、 y 轴、z 轴的正方向建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 . 由 已 知 与 平 面 几 何 知 识 得 ,

A(0, 0,1), F (1, 0, 0), D(0,

3 3 3 3 , ), E ( , , 0) , 2 2 2 2 uuu r uuur 3 uuur 2 uuur 3 ∴ AF = (1, 0, ?1), DE = ( , 0, ? ) , AF = DE , ∴ ∴AF 2 2 3

∥DE, 又 DE ? 平面DCE , 且AF ? 平面DCE

∴ AF ∥ 平面DEC …………………………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 A、D、E、F 四点共面, AF = (1, 0, ?1), AD = (0,

uuu r

uuur

r 3 1 , ) ,设 n ⊥ 平 2 2
13

14


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