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高一数学(必修一)第一章集合教案

高一数学(必修一)教案
预备知识------不等式及其解法 一.不等式的性质: 1.不等式两边同加或同减同一个数(式)不等号方向不变 即 若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c 2.不等式两边同乘或同除同一个正数(式)不等号方向不变 即 若 a ? b ,c>0,则 ac>bc;或若 a ? b ,c>0,则

a b ? c c a b ? c c

3.不等式两边同乘或同除同一个负数(式)不等号方向改变 即 若 a ? b ,c<0, 则 ac<bc;或若 a ? b ,c<0,则 问题:对于实数 a , b, c 中,给出下列命题: ① 若a ? b, 则ac ? bc ;
2 2

② 若ac ? bc , 则a ? b ;
2 2

③ 若a ? b ? 0, 则a ? ab ? b ;
2 2

④ 若a ? b ? 0, 则

b a ? ; a b



其中正确的命题是______ 二、不等式的解法 1.一元一次不等式(组)的解法 例 1.解不等式(组) : (1) 3x-

2-x x ? ?1 3 2

(2) ?

?2 x ? 3 ? 0 ?2 ? 3 x ? 6

(3)-2<4-3x<1

例 2.解关于 x 的不等式

ax+2<x-a

1

2.绝对值不等式的解法 知识要点: ①绝对值的性质 x ? ?

? x( x ? 0) ?? x( x ? 0)

②绝对值的几何意义: x 表示实数 x 在数轴上对应的点到原点的距离。 问题:1)若 x =3,则 x= 2)若 x <3,则 x 为 3)若 x -1 >2,则 x 的取值范围是 例 3。解不等式: (1) | 2 ? 。

3 1 x |? 2? | x ? | 4 2

(2) | x | ? | x ? 1|? 3

练习: 1.解不等式: (1) x ? 4 ? x ?1 ? 2 (2) 2x ? 1 ? (1 ? 2x) ? 3

2.不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围

2

3.一元二次不等式及其解法 1)一元二次不等式的一般式:ax +bx+c>0(a≠0)或 ax +bx+c<0(a≠0) 2)一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与相应的函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 、 相应的 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间的关系:
2 2

判别式
? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

4.一元二次不等式恒成立情况小结:

?a ? 0 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0 ?a ? 0 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? . ?? ? 0
例 4.解下列不等式: (1) x ? 7 x ? 12 ? 0 ;
2

(2) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

3

(3) x ? 2 x ? 1 ? 0 ;
2

(4) x ? 2 x ? 2 ? 0 .
2

练习:解不等式 ? 4 ? ?

1 2 3 x ? x ? ? ?2 2 2

2 例 5.已知关于 x 的不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 ? 5 ? x ? 1 ,求实数 m, n 之值.

练习: 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 2<x<3,求不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集.
2 2

4

例 6.1)若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对任意的实数恒成立,则实数 a 的取值范围。

2 2)若不等式 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围.

5.简单的一元高次不等式的解法: 数轴窜根法。其步骤是: (1)将不等式左边(右边为 0)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项 的系数为正; (2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最小根的左上(>)或左下方(<)依次通过 每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现不等式左边的符号变化规律,写出不等式的解集。
5

例 7.解不等式: (1) (x+1)(x-2)(x-4)<0 (2) (x2-1)(x-2)2>0。

5.分式不等式的解法: 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式,并使每 一个因式中最高次项的系数为正,再将商化为积(注意:分母≠0) ,最后用数轴窜根法求解。解 分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 例 8 解不等式

5? x ? ?1 x ? 2x ? 3
2

练习: (1)解不等式

x?3 2x ? 3 x?3 ? 0 呢?) ? 1; ?0; (若改为 (2)解不等式 x?7 x?7 x?7 ax ? b ? 0 的解集为 x?2

例 9. 关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 x>1 ,则关于 x 的不等式 ____________

练习: 关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 x<1, 则不等式

x?2 ? 0 的解集为__________ ax ? b

6

课后作业 1.不等式

1 1 ? 的解集是( ) x 2
B.X>2 C.0<x<2 D.X<0 或 x>2

A.X<2

2.二次方程 x2 ? (a2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 ,有一个根比 1 大,另一个根比 ?1小,则 a 的取值范围是 ( ) A. ?3 ? a ? 1 B. ?2 ? a ? 0 C. ?1 ? a ? 0 D. 0 ? a ? 2 )

2 2 3.已知不等式 ax ? 5x ? b ? 0 的解集为-3<x<2,则不等式 bx ? 5x ? a ? 0 的解集为 (

A、-

1 1 ?x? 3 2

B、 x ? ? 或x ? D、 x ? ?3或x ? 2

1 3

1 2

C、 ? 3 ? x ? 2
2

4. 已知函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过点 (?1,3) 和 (1,1) 两点,若 0 ? c ? 1 ,则 a 的取 值范围是( A.1<a<3 5. 不等式 ) B.1<a<2 C. 2 ? x ? 3 D.2 ? a ? 3

1? 2x ? 0 的解集是_________ . x ?1
1 ? 2x ? 0 的解集是 x ?1

6.不等式

2 7.对于任意实数 x,不等式 2kx ? kx ?

3 ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围。 8

7

第一章

集 合

1、1、1 集合的含义 集合的概念 【预习】教材第 3-5 页 1、初步掌握:①集合、元素的概念;集合如何按元素个数分类? ②集合、元素的记法 ③元素与集合的关系 ④集合的性质。 【探索新知】 在小学、初中我们就接触过“集合”一词。 例子: (1)自然数集合、正整数集合、实数集合等。 (2)不等式 2 x ? x ? 7 ? 0 解的集合(简称解集) 。
2

(3)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 解的集合。
2

(4)到角两边距离相等的点的集合。 (5)二次函数 y ? x 2 图像上点的集合。 (6)锐角三角形的集合 (7)二元一次方程 2 x ? y ? 1 解的集合。 (8)某班所有桌子的集合。 现在,我们要进一步明确集合的概念。 问题 1、从字面上看,怎样解释“集合”一词? 2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象” ,那么集合又是 什么呢?

知识点一:1、集合、元素的概念 再看例子 (9)质数的集合。 (10)反比例函数 y ?

1 图像上所有点。 x
8

(11) x 、 xy ? y 、 ? 2 y 2
2

2

(12)所有周长为 20 厘米的三角形。 问题 3、从集合中元素个数看,上面例子(1) (2) (4) (5) (6) (7) (9) (10) (12)与例 子(3) (8) (11)有什么不同? 知识点一 2、有限集和无限集

指出:集合论是德国数学家 Cantor(1845~1918)在十九世纪创立的,集合知识是现代数学 的基本语言,为进一步研究数学提供了极大的便利。 知识点二 集合、元素的记法 问题 4、 (1)集合、元素各用什么样的字母表示? (2) N 、 N ? ( N ? ) 、 Z 、 Q 、 R 等各表示什么集合?

知识点三 元素与集合的关系 阅读教材填空: 如果 a 是集合 A 的元素 , 就记作_________,读作“____________” ; 如果 a 不是集合 A 的元素,就记作__ 再用 ? 或 ? 填空: 1、6______N , ? ____,读作“______ _____”.

3 1 _______Z , 3.14 _______Q ______Q , 2 3

?

_______Q,

2、设不等式 2 x ? 1 ? 0 的解集为 A,则 5_______A , ? 3 _______A 3、2 x ? y ? 1 ? 0 的解集为 B,则 (?1,4) _______B , (1,3) _______B , ? 2 _______B 问题 5、元素 a 与集合 A 有几种可能的关系? 知识点四 集合的性质 ① 确定性:

9

例子 1、下列整体是集合吗? ①个子高的人的全体。②某本数学资料中难题的全体。③中国境内的海拔高的山峰的全体。

2、集合 A 中的元素由 x=a+b 2 (a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合 A 的关系? (1)0 (2)

1 2 ?1

(3)

1 3? 2

②互异性: 例子、集合 M 中的元素为 1,x,x -x,求 x 的范围?
2

③无序性:

【拓展提升】--活动与探究 数集 A 满足条件:若 a∈A,则

1 ∈A(a≠1). 1? a

(1)若 2∈A,试求出 A 中其他所有元素. (2)设 a∈A,写出 A 中所有元素.

10

1、1、2 集合的表示法 【预习】教材第 5-7 页 回答下列问题: 1、什么是列举法?举例说明如何用列举法表示集合? 2、什么是描述法?举例说明如何用描述法表示集合?

【复习检测】 一、集合、元素的概念;集合如何按元素个数分类? 二、集合、元素的记法 三、元素与集合的关系 四、集合元素的性质: 问题: 1、 在初中我们曾用 实数集等又怎样表示呢? 2、在初中人们常说不等式 ? 3 x ? 1 ? 0 的解集为 x ? 当的,究竟应该这样表示这些集合呢? 【探索新知】集合的表示法 1,2,3,4? 表示 N ? , 但是象抛物线 y ? x 2 上的点的集合、

1 ,但在高中这样的说法就是不恰 3

知识点一

列举法

1、从字面上看“列举法”的含义。

2、从教材中获取列举法的定义。

例 1、用列举法表示下列集合 (1)方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 解的集合: (2)24 与 18 的公约数的集合: (3)大于 5 且小于 30 的质数的集合: (4)二元一次方程 2 x ? y ? 10 的正整数解的集合:

又如:下列集合也可以用列举法表示 (1)自然数集:
11

(2)正整数的倒数集合

(3)小于 50 的且被 3 除余 1 的正整数的集合。

问题 1、下列集合可以用列举法表示吗? (1)直角三角形的集合。 (2)不等式

x ?1 x ? ? ?2 的解集。 2 3

(3)某农场的拖拉机的集合。 知识点二 描述法

1、从字面上看“描述法”的含义。

2、从教材中获取描述法的定义。

3、用描述法表示集合的具体操作方法。

例 2、用描述法表示下列集合 (1)直角三角形的集合。 (2)不等式 (3)不等式

x ?1 x ? ? ?2 的解集。 2 3
x?4 x ? ? 1 ? x 2 的解集。 2 3
2

(4)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 解的集合。 问题 2、设方程 x 2 ? 1 ? 0 解的集合为 ? , ? 中有元素吗? 你能再举一些这方面的例子吗?

(5)二元一次方程 2 x ? y ? 1 的解的集合。

12

?2 x ? y ? 2 的解集。 (6)二元一次方程组 ? ?x ? y ? 4
(7)抛物线 y ? x 2 ? 1 上点的集合。新课 标第 一网 二次函数 y ? x 2 ? 1 的函数值

y 的集合。

二次函数 y ? x 2 ? 1 的自变量 x 的取值范围。 (8)被 3 除余 1 的整数的集合。 指出:有些集合还可以用 Venn 图表示。 例如、下列集合可以用 Venn 图表示 ① ? 1,4,7,9? 【课堂检测】 1、下列集合中哪些具有相同的元素? ② ? 1,4,7,9 ??

A ? x | y ? x 2 ?1 D ? y ? x 2 ?1

?

?

B ? ( x, y) | y ? x 2 ? 1
E ? ?x | x ? ?1?

?

?

C ? y | y ? x 2 ?1

?

?

?

?

F ? y | y ? t 2 ? 1, t ? R ,

?

?

G ? x | x ? y 2 ? 1, y ? R ;
2.关于方程组 ?

?

?

?x ? y ? 1 的解集,下面表达正确的是________. ?x ? y ? 3
③{(x,y)| (2,-1)}; ④{2,?1}

?x=2 ①{(x,y)|? } ; ②{(2,-1)} ; ?y=-1

【拓展提升】 :试用列举法表示下列集合 (1)A={ x ? N |

12 ?N } 6? x

(2)已知 B={

12 ? N | x? N } 6? x

13

【课后作业】 1.用列举法表示下列集合 (1) A={x|x=2n n∈Z }; B={x|x=2n-4 n∈Z };

C={x|x=4n n∈N };

Z

D={x|x=4n+2 n∈N };

Z

(2) A={x|x=2n-1 n∈Z };

B={x|x=2n+1 n∈Z};

C={x|x=4n±1 n∈Z};

D={x|x=2n+1 n∈N };

2.用列举法表示下列集合 (1)由

|a| |b| ? (a, b ? R) 所确定的实数集合. a b

(2) {(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N }.

3.设 A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R} ①若 A=?,求 a 的值; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值集合.

14

1、2 集合之间的关系

1、2、1 子集与真子集

预 习 】阅读教材第 10-14 页,试回答下列问题 1、子集的概念及记法

2、集合相等的定义 3、真子集的概念及记法

4、子集、真子集的图形表示

5.子集、真子集的性质 ①空集 ? 与集合 A 的关系

②子集、真子集的传递性

1、2、1 子集与真子集 【复习检测】

?集合、元素的概念 ? ?集合、元素的记法 1、 集合的含义? ?元素与集合的关系 ?集合的性质 ?
?列举法 ? 2、 集合的表示法?描述法 ?Venn图法 ?
问题:1、实数之间存在着相等或不等关系,那么集合间又有怎样的相等或不等关系呢? 2、元素与集合间是“属于”或“不属于”的关系,那么集合间还是这样的关系吗? 【探索新知】 知识点一子集的定义 阅读下列一段话:

1,2,3?, B ? ? 1,2,3,4,5? 已知 A ? ?

15

A 中任意一个元素都在 B 中,就说 A 包含于 B,记作 A ? B (或 B 也说 A 是 B 的子集。 在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的子集: 1、 N , N (或 N ? ), Z , Q , R 2、① A ? ?x | x ? ?1? , B ? ?x | x ? 2? ② A ? ?x | x ? ?3? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ③ A ? ?x | ?3 ? x ? 5? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ④ A ? x | x ? ?1或x ? 3 , B ? x | x ? 1或x ? 2
?

包含 A) ;

?

?

?

?

3、 U ? x | x是三角形 , A ? x | x是锐角三角形 , B ? x | x是钝角三角形

?

?

?

?

?

?

?, D ? ?x | x是斜三角形? C ? ?x | x是直角三角形
问题:集合 A 是集合 A 的子集吗? 指出:对任意的 n ? N , 0 ? n ,类比可以规定: ? 是任何集合 A 的子集,即 ? ? A 。 知识点二 集合相等的定义 例子、 A ? x | x ? 1 ? 0 , B ? ?? 1,1?
2

?

?

问题:集合 A 是集合 B 的子集吗? 集合 B 又是集合 A 的子集吗? 结论:集合 A 是集合 B 的子集,同时集合 B 又是集合 A 的子集,即集合 A 和集合 B 有相同 的元素,就说集合 A 与集合 B 相等。

A ? B? ?? A? B B ? A?
下列两个集合相等吗? 1、 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x ? Z | 0 ? x ? 3?
2

?

?

2、 A ? ?x | 0 ? x ? 3?, B ? ?x ? Z | 0 ? x ? 3? 3、 A ? ?x | 3x - 1 ? 5? , B ? ?x | x ? 2?

知识点 三真子集的定义 阅读下列一段话:
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1,2,3?, B ? ? 已知 A ? ? 1,2,3,4,5?
A ? B 且 A ? B(或者说 A ? B 且 B 中至少有一个元素不在 A 中) , 则说 A 是 B 的真
子集,记作 A ? B 。 在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的真子集: 1、 N , N (或 N ? ), Z , Q , R 2、① A ? ?x | x ? ?1? , B ? ?x | x ? 2? ② A ? ?x | x ? ?3? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ③ A ? ?x | ?3 ? x ? 5? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ④ A ? x | x ? ?1或x ? 3 , B ? x | x ? 1或x ? 2
?

?

?

?

?

3、 U ? x | x是三角形 , A ? x | x是锐角三角形 , B ? x | x是钝角三角形

?

?

?

?

?

?

?, D ? ?x | x是斜三角形? C ? ?x | x是直角三角形
应该指出: 1、子集、集合相等和真子集可以用 Venn 图表示。 2、显然:

A ? B? ?? A?C B ? C?



A ? B? A ? B? ? ,或 ? ,那么 A 是 C 的真子集吗? B ? C? B ? C?

问题:集合 ?a, b?有哪些子集,其中又有哪些真子集?有哪些非空真子集? 对于 ?a, b, c?, ?a, b, c, d ?呢?从中你能得出什么结论呢?

【例题剖析】

17

例 1、已知集合 A ? ?( x, y ) | ?

? ? ? ?

? y ? x3 ? ? ? ,那么 A 中的非空子集有多少个? ?y ? x ? ?

例 2、求满足 ?0,1? ? A ? ?0,1,2,3,4?的集合 A 的个数。

【课堂检测】 1、指出下列各组中集合 A 与 B 之间的关系: (1) (2) A={-1,1},B=Z; A={1,3,5,15},B={x|x 是 15 的正约数};

(3) A ? N ? ,B=N; (4) A ={x|x=1+a ,a∈ N ? }
2

,

B={x|x=a -4a+5,a∈ N ? };
2

2、已知{1,2 } ? M ? {1,2,3,4,5},则这样的集合 M 有多少个?分别写出来.

【拓展提升】——活动与探究 设集合 A={x|x +4x=0,x∈R},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0,x∈R},若 B ? A,求实数 a
2 2 2

的取值范围. 【课后作业】 1.已知 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 P 满足:P ? M,且若 ? ? P , 则 10- ? ∈P 则这样的集合 P 有多少个?

2.已知集合 S = {1,3x +3x ,-3x},集合 A={1,|2x-1|},如果{x|x∈S,x ? A}={0},则这样
3 2

的实数 x 是否存在?若存在,求出 x,若不存在,请说明理由.

1、2、2 集合间关系的逆向思维问题
18

【 复 习 】判断下列两集合间的关系 1、 A ? ?x | x ? 3?, B ? ?x | x ? ?1? 2、 A ? ?x | ?3 ≤

x ≤ 2?, B ? ?x | ?1 ≤ x ≤ 3 ? ?
2?

3、 A ? ?x | x ? ?3或x ? 2?, B ? ?x | x ? ?4或x ? 2? 4、 A ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x | x ? 1 ? 0?

?

?

走进课堂 1、2、2 集合间关系的逆向思维问题 【探索新知】集合间关系的逆向思维问题 指出:将上面四个例子中的结论变为条件,而将条件中的某些常数变为参数 a,这就得到了 集合间关系的逆向思维问题。 【例题剖析】 例 1、已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x | x ? a? , A ? B ,求实数 a 的取值范围。

例 2、 已知 A ? ?x | ?3 ≤ x ≤ 2? ,B ? ?x | m ? 1 ≤ 的取值范围。

x ≤ 3 ? 2m? ,

求实数 B ? A,

m

例 3、已知 A ? ?x | x ? ?3或x ? 2?, B ? ?x | x ? 2a ? 1或x ? 5a ? 12?, B ? A ,求实

19

数 a 的取值范围。

反思总结:

我们再来看有关方程的问题 例 4、已知 A ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x | ax ? 1 ? 0? , B ? A ,求实数 a 的值。

?

?

例 5、已知 A ? ?x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0? , B ? ?x | ax2 ? x ? b ? 0?, B ? ? , B ? A ,求实数

a 、 b 的值。

【课后作业】
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1、已知 A ? ? ? x | ?1 ? x ? ? 围。

3 ? , B ? ?x | x ? a或x ? a ? 1 ?, ? 2?

A ? B ,求实数 a 的取值范

2、已知

A ? x | x 2 ? 8x ? 0 , B ? ?x | x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? 4 ? 0?
B ? A ,求实数 a 的取值范围。

?

?

3、已知 A ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? ax2 ? x ? 2, x ? R

?

?

?

?

A ? B ,求实数 a 的取值范围

§1.3。1 集合的基本运算
21

一. 教学目标: 1. 知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确. 二.教学重点.难点 重点:交集与并集,全集与补集的概念. 难点:理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系. 三. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 问题 1:我们知道,实数有加法运算。类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加” 呢? 请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A.B 之间的关系吗? (1) A ? {1,3,5}, B ? {2, 4,6}, C ? {1, 2,3, 4,5,6}; (2) A ? {x | x是理数}, B ? {x | x是无理数}, C ? {x | x是实数} 引导学生通过观察,类比.思考和交流,得出结论。教师强调集合也有运算,这就是我 们本节课所要学习的内容。 (二)研探新知 l.并集 —般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集. 记作:A∪B. 读作:A 并 B. 其含义用符号表示为:
22

A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B}
用 Venn 图表示如下:

A

B

请同学们用并集运算符号表示问题 1 中 A,B,C 三者之间的关系. 练习.检查和反馈 (1)设 A={4,5,6,8),B={3,5,7,8),求 A∪B. (2)设集合 A A ? {x | ?1 ? x ? 2}, 集合B ? { x |1 ? x ? 3}, 求A ? B. 让学生独立完成后,教师通过检查,进行反馈,并强调: (1)在求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次. (2)对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题. 2.交集 (1)思考:求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗? 请同学们考察下面的问题,集合 A.B 与集合 C 之间有什么关系? ① A ? {2, 4,6,8,10}, B ? {3,5,8,12}, C ? {8}; ② A ? {x | x是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}. B={ x | x 是国兴中学 2004 年 9 月入学的高一年级同学},C={ x | x 是国兴中学 2004 年 9 月入学的高一年级女同 学}. 教师组织学生思考.讨论和交流,得出结论,从而得出交集的定义; 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集. 记作:A∩B. 读作:A 交 B 其含义用符号表示为:

A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}.
接着教师要求学生用 Venn 图表示交集运算.
23

A

B

(2)练习.检查和反馈 ①设平面内直线 l1 上点的集合为 L1 , 直线 l1 上点的集合为 L2 , 试用集合的运算表示 l1 的 位置关系. ②学校里开运动会,设 A={ x | x 是参加一百米跑的同学},B={ x | x 是参加二百米跑的 同学},C={ x | x 是参加四百米跑的同学},学校规定,在上述比赛中,每个同学最多只能参 加两项比赛,请你用集合的运算说明这项规定,并解释集合运算 A∩B 与 A∩C 的含义. (学生独立练习,教师检查,作个别指导.并对学生中存在的问题进行反馈和纠正) (三)学生自主学习,阅读理解 1.教师引导学生阅读教材第 11~12 页中有关补集的内容,并思考回答下例问题: (1)什么叫全集? (2)补集的含义是什么?用符号如何表示它的含义?用 Venn 图又表示? (3)已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 8}, 求?R A . (4)设 S={ x | x 是至少有一组对边平行的四边形},A={ x | x 是平行四边形}, B={ x | x 是菱形},C={ x | x 是矩形},求 A ? B, CS B, CS A .

(四)归纳整理,整体认识 1.通过对集合的学习,同学对集合这种语言有什么感受? 2.并集.交集和补集这三种集合运算有什么区别? (五)作业 1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律? 2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集.交集和补集的现实含义. 3.书面作业:教材第 14 页习题 1.1A 组第 7 题和 B 组第 4 题. 同步巩固:
24

1、已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x |

x?

?1? ,求 A ? B , A ? B 。

2、已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 4? , B ? ?x | 1 ≤

x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

3、已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 3? , B ? ?x | x ? 2 ,求 A ? B , A ? B 。

?

4、已知 A ? ?x | x ? ?1 或

x ? 4? , B ? ?x | 2 ? x ? 5 ,求 A ? B , A ? B 。

?

5、已知 A ? ?x | x ? ?1 或 x ? 4? , B ? ?x | x ? 1或x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

提高训练题:
2 2 1、已知 A ? ( x, y) | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? ( x, y ) | y ? x ? x ? 3, x ? R ,求 A ? B 。

?

?

?

?

2 2 2、已知 A ? y | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? x ? x ? 3, x ? R ,求 A ? B 、 A ? B 。

?

?

?

?

3、已知

A ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? R , B ? ?y | y ? ax 2 ? x ? 3, a ? 0, x ? R?

?

?

求 A? B 、 A? B 。

2、1、 集合运算与二次不等式
25

复 习】在集合一节中我们研究了求集合间关系和集合并交补的逆向思维问题:
2 2 1、已知 A ? ?x | x ? 3x ? 2 ? 0? , B ? x | x ? (a ? 1) x ? a ? 0? ,

?

(1)

A ? B (2) B ? A (3) A ? B 只有一个元素

分别求

a 的取值范围。

2、已知 A ? ?x | x ? a或x ? 5 ? a?, B ? x | x ? ?3或x ? 5 , (1) A ? B ?

?

?

?x | x ? ?3或x ? 5 ? a?, (2) A ? B ? ?x | x ? a或 ? 5? ,

分别求 a 的取值范围。

3、已知 U=R, A ?

?x | ?3 ? x ? 4?, B ? ?x | x ? a或x ? a ? 3?,

CU ( A ? B) ? ?x | 4 ? x ? a ? 3? , 求 a 的取值范围。

问题:若二次三项式不能分解,这类问题又如何解决呢?
26

【探索新知】 不等式中二次三项式不能分解 例 1、已知 A ? x |x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x |
2

?

?

x 2 ? ax ? 1 ? 0?,

(1)

A? B

(2) B ?

A

(3) A ? B 只有一个元素

分别求

a 的取值范围。

例 2、已知 A ? ?x |x ? ax ? b ? 0?,
2

B ? x | x2 ? 2x ? 15 ? 0

?

?

(1) A ? B ? ? , (2) A ? B ? R ,分别求 a、 b 满足的条件。

例 3、已知 A ? ?x |x

2

? x ? 12 ? 0?, B ? x | x 2 ? ax ? 1 ? 0

?

?

CU ( A ? B) ? ? ,求

a 的取值范围。

同步巩固:

27

1、已知 A ?

?x |x 2 ? 5x ? 5a ? a 2 ? 0?,

B ? ?x |x 2 ? 2x ? 15 ? 0?,

(1) A ? B ?

?x | x

2

? (a ? 2) x ? 3a ? 15 ? 0 ,
2

?

(2) A ? B ?

?x | x

? (a ? 5) x ? 5a ? 0

?,

分别求 a 的取值范围。

2、已知 A ?

?x |x 2 ?12x ?12 ? 0?,

B ? ?x |x 2 ? (2a ? 3) x ? a 2 ? 3a ? 0?,

CU ( A ? B) ? x | x 2 ? (a ? 7) x ? 4a ? 12 ? 0
求 a 的取值范围。

?

?,且 a ? 1

【课后作业】
2 1、 已知集合 | A ? ?x | x ? 2 x ? 8 ? 0? , B= ?x | x ? ax ? a ? 12 ? 0? , B ? A , 求实数 a

2

2

的取值范围。

2、已知 A=

?x | x

2

? 2x ? 3 ≤ 0?,B=

?x | x

2

? px ? q ≥ 0?,A∩ B = ?x | x 2 ? x ? 2 ≤ 0?
28

求 p 、 q 满足的条件。

3、已知 A=

?x | 2x

2

? 7 x ? 15 < 0? ,B= ?x | x 2 ? ax ? b ≤ 0? ,且A∩B=φ ,A∪B=

?x | ?5 < x ≤ 2?,求 a 、 b 的值。

4.要使满足关于 x 的不等式 2 x ? 9 x ? a ? 0 (解集非空)的每一个 x 的值至少满足不等式
2

x 2 ? 4 x ? 3 ? 0和x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 中的一个,则实数 a 的取值范围是______.(答 [7,

81 ) 8

29


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