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寒假第三讲+圆锥曲线的综合问题(学生版)

第三讲 圆锥曲线的综合问题
一.知识要点: 二.典例剖析: 例 1 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x2 上异于坐标原点 O 的两个不同动点 A,B 满 足 AO ? BO (如图所示). (Ⅰ)求 ? AOB 重心 G 的轨迹方程; ( y ? 3x ?
2

y

2 ) 3

A O

B

(Ⅱ) ? AOB 的面积是否存在最小值?若存在, 请求出最小值,若不存在,请说明理由.(存在, (S? AOB )min ? 1 )

x

例 2. (2012 福建理)(本小题满分 13 分)

x2 y2 如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心率 a b
1 。过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8。 2 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 e?

(Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线
x ? 4 相交于点 Q 。试探究:

在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出 点 M 的坐标;若不存在,说明理由。
PQ

1

例 3. (2012 湖南理) (本小题满分 13 分)

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在圆 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上 任意一点 M,M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)( y0 ? ?3 )为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分 别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动 时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

例 4. (2012 江苏卷) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的左、右焦点分别为 F1 (?c,0),F2 (c,0) ,已知点 (1, e) 和 (e,

3 ) 都在椭圆上,其中 2

e 为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P, (i)若 AF 1 ? BF 2 ?
6 ,求直线 AF 1 的斜率; 2
y A P F1 O F2 B x

(ii)求证: PF 1 ? PF 2 是定值

2

例 5. (2012 湖南文) (本小题满分 13 分)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原

点,离心率为

1 2

的椭圆 E 的一个焦点为 圆 C: x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求 P 的坐标.
1 的直线 l1,l2. 2

例 6( 浙江)如图,椭圆中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,长轴 A1 A2 的长为 4 ,左 准线 l 与 x 轴的交点为 M , | MA 1 |:| A 1F 1 |? 2 :1.

l1 l
M A F1 O 1

y

F2 A2

x

x2 y 2 ? 1) (Ⅰ)求椭圆方程; ( ? 4 3
(Ⅱ)若直线 l1 : x ? m(| m |? 1), P 为 l1 上的动点,使 ?F 1PF 2 最大的点 P 记为 Q,求点 Q 的
2 坐标(用 m 表示). (Q ( m, ? m ? 1) | m |? 1)

3

三.练习题:
1.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形, a 2 b2

MF1F2 ,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

2.抛物线 y 2 ? 2 x 上有 24 个点 M1 , M 2 ,?M 24 ,如果已知 | M1F |,| M 2 F |,? | M 24 F | (其 中 F 为抛物线的焦点) 构成以 1 为首项, 以 A.横坐标之和为 150 C.纵坐标之和为 150 3. 已知双曲线

1 为公差的等差数列, 则 M1 , M 2 ,?M 24 的 ( 2 B.横坐标之和为 159 D.纵坐标之和为 159



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点是 F ,右准线与一条渐近线交于点 A , a 2 b2

a2 ? OAF 的面积为 ( O 为坐标原点) ,则两条渐近线的夹角为( ) 2
A. 30
?

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

4. ( 04 湖 南 ) 设 F 是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 的 右 焦 点 , 且 椭 圆 上 至 少 有 21 个 不 同 的 点 7 6

P ) ,使 | FP i (i ? 1, 2,? 2 |,| FP 3 | ? 组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围是 1 | , | FP
_____________. 5.(05 重庆)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是_____________(填写所有正确选 项的序号) ①菱形 ②有三条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四 边形. 6.过原点的直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于 A, B 两点,F1 , F2 为椭圆的焦点,则四边形 AF1BF2 8 4

面积的最大值是______________. 7. (05 湖北) 设 A, B 是椭圆 3x ? y ? ? 上两点, 点 N (1, 2) 是线段 AB 的中点, 线段 AB 的
2 2

垂直平分线与椭圆相交于 C , D 两点. (Ⅰ)求 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 ? ,使得 A, B, C , D 四点在同一个圆上,并说明理由.

4

8.(05 天津)抛物线 C 的方程为 y ? ax2 (a ? 0) 过抛物线上一点 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) 作斜率 为 k1 , k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点(P,A,B 三点互不相同) 且满足 k2 ? ?k1 ? 0(? ? 0, 且 ? ? ?1). (Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标及准线方程; (Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; (Ⅲ)当 ? ? 1 时,若点 P 的坐标为 (1, ?1) ,求 ?PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值范 围. 四.参考答案: 1. D 2.A 3.D 4. [ ?

???? ?

????

2 2 , 0) ? (0, ] 5.②③⑤ 6. 4 23 23

7.(Ⅰ) (12, ??) AB : x ? y ? 4 ? 0 ;(Ⅱ)存在

1 1 ) ;准线方程为 y ? ? ; (Ⅱ)略 4a 4a 1 (Ⅲ) ( ??, ?1) ? ( ?1, ? ) 4
8.(Ⅰ)焦点为 (0,

5


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