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湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-1:3.1空间向量及其运算第3课时


§3.1.3

空间向量的数量积运算
王新敞
奎屯 新疆

【学情分析】 : 本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算 学生已有了空间的线、面 平行和面、面平行概念,这种推广对学生学习已无困难 但仍要一步步地进行,学生要时刻牢 记,现在研究的范围已由平面扩大到空间 一个向量已是空间的一个平移,要让学生在空间上 一步步地验证向量的数量积运算 这样做,一方面复习了平面向量、学习了空间向量,另一方 面可加深学生的空间观念 【教学目标】 : (1)知识与技能:掌握掌握空间向量的夹角的概念,空间向量数量积的定义和运算律 (2)过程与方法:类比学习,注重类比、推广等思想方法的学习和使用,掌握立体几何中的 三垂线定理及其逆定理的证明 (3)情感态度与价值观:进一步学习向量法在证明立体几何中的应用,培养学生的开拓创新 能力和举一反三的能力。 【教学重点】 :空间向量的数量积运算 【教学难点】 :空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用 【课前准备】 :课件 【教学过程设计】 :
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教学环节 1、平面向量的数量积

教学活动

设计意图

(1)设 a, b 是空间两个非零向量,我们把数量

| a ||b | cos ? a, b ? 叫作向量 a, b 的数量积,记作 a ? b ,
即 a ? b = | a ||b | cos ? a, b ? 一.温故知 新 (2)夹角: cos ? a,b ?? (3)运算律 复习旧知识,为新知识 做铺垫,让学生可以非 常容易的接收空间向 量的数量积概念。

a ?b | a || b |



a ? b ? b ? a ; (? a) ? b ? ? (b ? a) ;

a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c

1、夹角 定义:a, b 是空间两个非零向量, 过空间任意一点 二.新课讲 授 O, 作 OA ? a, OB ? b , 则 ?AOB 叫做向量 a 与向量 b 的 夹角,记作 ? a, b ? 规定: 0 ?? a, b ?? ?

注意夹角的表示方法 和意义,垂直的表示。 注意向量运算和代数 运算的差别。

-1-

特别地,如果 ? a, b ?? 0 ,那么 a 与 b 同向;如果

? a, b ?? ? ,那么 a 与 b 反向;如果 ? a, b ?? 900 ,那
么 a 与 b 垂直,记作 a ? b 。 2、数量积 (1)设 a, b 是空间两个非零向量,我们把数量

| a ||b | cos ? a, b ? 叫作向量 a, b 的数量积,记作 a ? b ,
即 a ? b = | a ||b | cos ? a, b ? (2)夹角: cos ? a,b ?? (3)运算律

a ?b | a || b |



a?b ?b?a ;

(? a) ? b ? ? (b ? a) ; a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c
思考: 1、若 a ? b ? a ? c ,是否有 b ? c 成立? 2、若 a ? b ? k ,是否有 a ?

k k ,或 b ? 成立? b a

3、向量数量积是否有结合律 (a ? b)c ? a(b ? c) 成立? 例1. 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 已知:PO,PA 分别是平面 ? 的垂线,斜线,AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? 且 l ? OA , 求证: l ? PA 三.典例讲 练

注重向量在垂直、共面 证明:取直线 l 的方向向量 a ,同时取向量 PO , PA 。 中的使用的意识的培 养。 因为 l ? OA ,所以 a ? OA ? 0 。 因为 PO ? ? ,且 l ? ? ,所以 l ? PO 因此 a ? PO ? 0 。

-2-

又因为

a ? PA ? a ? (PO ? OA) ? a ? PO ? a ? OA ? 0 ,
所以 l ? OA 这个命题叫做三垂线定理,思考其逆定理如何证明 三垂线定理的逆定理:在平面内德一条直线,如果和 这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平 面内的射影垂直。 例 2.m ,n 是平面 ? 内的两条相交直线, 如果 l ? m , l ? n ,求证: l ? ? 证明:在内作任一直线 g 个,分别在 l , m , n , g , 上取非零向量 l , m , n , g 。 因为 m 与 n 相交,所以向量 m , n 不平行,由向量共 面的充要条件知,存在惟一的有序实数对 ( x , y) , 使 g ? xm ? yn 将上式两边与向量作数量积, 得 l ? g ? xl ? m ? yl ? n 因为 l ? m ? 0 , l ? n ? 0 , 所以 l ? g ? 0 所以 l ? g ,即 l ? g 这就证明了直线垂直于平面 ? 内的任意一条直线, 所以 l ? ? 1.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( ) (A) 60 (B) 90 四.练习巩 固
0 0 0

A1

C1

B1

AD'
0

C C'

(C) 105 (D) 75

注意 | a |?
A'

a 的使用

2

B
B'

2、如图,在平行六面体 ABCD-A’B’C’D’中, AB=4,AD=3,AA’=5,
A

D

C

B

-3-

? BAD= 900 , ? BAA’= ? DAA’= 600 ,求 A’C 的长。

3、如图,线段 AB, BD 在平面 ? 内, BD ? AB,线段 AC ? ? ,且 AB=a, BD=b,AC=c,求 C, D 间的距离。

1、如图在正方体 AC1 中,M、N 分别是 AA1、BB1 的 中点,求直线 CM 与 D1N 所成的角。 D1 五.拓展与 提高
A1 B1 C1

M D

N C

A

B

六.小结 七.作业

(1)夹角、空间向量数量积、运算律 (2)三垂线定理及其逆定理 (3)夹角、距离的求法 课本 P106,习题 3.1 A 组,第 3 题、第 4 题、第 5 题

回顾方法

练习与测试:
(基础题) 1. 已知空间四边形 OABC 中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且 OA=OB=OC,M、N 分别是 OA、BC 的中点,G 是 MN 的中点。求证 OG⊥BC 分析:要证 OG⊥BC,只需证明 OG ? BC ? 0 。 把 OG、BC 用基向量 OA、OB、OC 表示
???? 1 ???? ? ???? 1 ? 1 ??? ? 1 ??? ? ???? ? 1 ??? ? ??? ? ???? 略解: OG ? (OM ? ON ) ? ? OA ? (OB ? OC)? ? (OA ? OB ? OC) 2 2 ?2 2 ? 4
??? ? ???? ??? ? B C? O C ? OB ???? ??? ?

(中等题) 2. 已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60?

-4-

(1)证明 CC1⊥BD
C1

A1 D1

B1

CD (2)当 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?并证明 CC1

分析:取 CD, CB, CC1 为运算的基向量,则 BD ? CD ? CB 。
A

??? ? ??? ? ???? ?

??? ?

??? ? ??? ?

注意向量间的方向对夹角的影响
??? ? ???? ? CD ? ? (? ? 0) ,菱形边长为 a,则 CD ? ?CC1 略证(2)设 CC1
C D

B

???? ? ???? ? ??? ? ??? ? ????? ? ??? ? ???? ? 3? 2 ? ? ? 2 2 AC ? C1 D ? ?(CD ? CB ? CC1 ) ? (CD ? CC1 ) ? ? a ? 0 ,解得 ? ? 1 1 2

?

当 ? ? 1时, AC ? BD ? ?(CD ? CB ? CC1 ) ? (CD ? CB) ? 0 1

???? ? ??? ?

??? ? ??? ? ????? ? ??? ? ??? ?

-5-


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