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2016年高考复习之解三角形经典练习题


学科教师辅导教案
学员姓名 授课老师 授课日期及时段 年 级
高三 2h

辅导科目 第 : — :

数 学

课时数 2016 年 月

次课



解三角形
π π b sin2C 1、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, <C< 且 = 。 3 2 a-b sinA-sin2C (1)判断△ABC 的性状;

BC 的取值范围. (2)若| BA + BC |=2,求 BA ·

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

b sin2C 解:(1)由 = 及正弦定理得 sinB=sin2C,∴B=2C,且 B+2C=π, a-b sinA-sin2C π π 2 若 B=2C, <C< ,∴ π<B<π,B+C>π(舍);∴B+2C=π,则 A=C,∴△ABC 为等腰三角形. 3 2 3

??? ? ??? ? 2-a2 π π 1 (2)∵| BA + BC |=2,∴a2+c2+2ac· cosB=4,∴cosB= 2 (∵a=c),而 cosB=-cos2C, <C< ,∴ a 3 2 2
??? ? ??? ??? ? ??? ? ? 2 4 BC BC <cosB<1,∴1<a2< ,又 BA · =accosB=2-a2,∴ BA · ∈( ,1). 3 3
B a+c 2、在△ABC 中,cos2 = ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 )

D.等腰直角三角形

cosB+1 a+c B a+c a 解析:∵cos2 = ,∴ = ,∴cosB= , 2 2c 2 2c c ∴ a2+c2-b2 a = , 2ac c ∴a2+c2-b2=2a2,即 a2+b2=c2, ∴△ABC 为直角三角形. 答案:B

3、在 ? ABC 中,sin(C-A)=1, sinB= (I)求 sinA 的值;

1 。 3

(II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积。

解: (I)由 sin(C ? A) ? 1, ?? ? C ? A ? ? , 知 C ? A ? 又 A ? B ? C ? ? , 所以 2 A ? B ? 故 cos 2 A ? sin B,1 ? 2sin A ?
2

?
2



?
2

,即 2A ?

?
2

? B, 0 ? A ?

?
4

.

1 3 ,sin A ? . 3 3

(II)由(I)得: cos A ?

6 . 3
第 1 页(共 6 页)

又由正弦定理,得:

BC AC sin A ? , BC ? ? AC ? 3 2, sin A sin B sin B

所以 S ?ABC ?

1 1 AC ? BC ? sin C ? AC ? BC ? cos A ? 3 2. 2 2 A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

4. 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,且 4sin 2 (Ⅰ)求角 C 的大小;

? 3

(Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值. 3 5. 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C
2? (Ⅰ)求 A 的大小; 3
.

(Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

等腰三角形
2 2 2

6. (2012 陕西)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为 ( C A. ) B.

3 2

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

7.(2014 新标 1) 已知 a , b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

【解析】由 a ? 2 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,即 (a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,由及 正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ∴ b ? c ? a ? bc ,故 cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,∴ ?A ? 600 , 2bc 2

∴ b ? c ? 4 ? bc
2 2

1 4 ? b2 ? c 2 ? bc ? bc ,∴ S ?ABC ? bc sin A ? 3 , 2
8. (2012 安徽文) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a , b, c , 且有 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C (Ⅰ)求角 A 的大小;学(II) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。 【答案】 (Ⅰ)

7 ? (II) ; 2 3

9.(2014 新标 2 文) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1, BC ? 3, CD ? DA ? 2 .

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(1)求 C 和 BD ; (2)求四边形 ABCD 的面积. 【答案】 (I) C ? 60 , BD ?
0

7。

(Ⅱ) 2 3

10.(2013 湖北)在△ ABC 中,角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 【简解】 (Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 ,得 2cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ? 因为 0 ? A ? π ,所以 A ?
π . 3

1 或 cos A ? ?2 (舍去). 2

1 1 3 3 ? bc ? 5 3, 得 bc ? 20 . 又 b ? 5 ,知 c ? 4 . (Ⅱ)由 S ? bc sin A ? bc ? 2 2 2 4

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ? 21 .

b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? . a a a 21 4 7
11.(2013 江西) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B =0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.

π 【简解】(1)由已知 sin Asin B- 3sin Acos B=0,sin B- 3cos B=0,tan B= 3, B= . 3 (2) b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3? 1 ∴b≥ . 2 1 又 a+c>b,∴b<1,∴ ≤b<1. 2 a+c?2 1 2 1 ? 2 ? =4(a+c) =4,等号可以成立

A-B 12. (2013 四川) 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2cos2 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A 2 3 +C)=- . 5 → → (1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.

A-B 3 【简解】(1)由 2cos2 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=- ,得 2 5 3 3 [cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=- ,即 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- . 5 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 3 4 a b bsin A 2 (2)由 cos A=- ,0<A<π,得 sin A= ,由正弦定理,有 = ,所以,sin B= = . 5 5 sin A sin B a 2 3 π - ?, 由题知 a>b,则 A>B,故 B= ,根据余弦定理,有(4 2)2=52+c2-2×5c×? ? 5? 4 2 → → → 解得 c=1 或 c=-7(舍去).故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B= 2

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13.(2013 新标 2) △ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 【简解】(1) sin A=sin Bcos C+sin Csin B=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 1 2 π (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac.由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos . 2 4 4 4 2 2 又 a +c ≥2ac,故 ac≤ ,当且仅当 a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 2- 2 14、 (2015 年新课标 2 文)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC,BD=2DC. (I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60? ,求 ?B .

1 、 已 知 ?ABC 中 , 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 若 ?ABC 的 面 积 为 S, 且

2 S ? ? a ? b ? ? c 2 , 则 tan C 等于
2

( C. ?



A.

3 4

B.
2

4 3

4 3

D. ?

3 4

【答案】 C

2 2 2 2 由 2 S ? ? a ? b ? ? c 得 2S ? a ? b ? 2ab ? c , 即 2 ?

1 ab sin C ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? c 2 , 所以 2
, 所 以

ab sin C ? 2ab ? a 2 ? b2 ? c 2

,



cos C ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ab sin C ? 2ab sin C ? ? ?1 2ab 2ab 2

第 4 页(共 6 页)

sin C C C C 2 C cos C ? 1 ? ? sin cos ,所以 tan ? 2 ,即 tan C ? ,即 2 cos 2 2 2 2 2

C 2 ? 2 ? 2 ? ? 4 ,选 C . C 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2 2 tan


2、若三角形 ABC 的内角满足 sinA ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是

a 2 ? b2 ? c2 ? 【解析】 cos C ? 2ab
2 ?

a2 ? b2 ? (

a ? 2b 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 ) a ? b ? ab a ? b 2 4 2 2 4 2 ? 2 ? ? 2ab 2ab 2ab 4

3 21 2 a b 4 2 ? 2 ? 6? 2 2ab 4 4

3、在△ ABC 中, D 为 BC 边上一点, ?BAD ? ? ,   ?CAD ? ? , cos? (1)求 ?BAC 的大小; (2)当 D为BC中点 时,求

?

2 5 3 10 , cos? ? . 5 10

AC 的值. AD

解: (1) 由已知, sin ? ? 1 ? cos

2

??

5 10 2 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

cos?BAC ? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? ?
∵ ?BAC ? (0, ? ) ∴ ?BAC ? (2) ?ABD 中,

?
4



BD AD BC AC ? ? (1) ?ABC中, (2) sin ? sin B sin(? ? ? ) sin B

1 BC 2 (2) AC BC sin ? 2 sin ? 2 5 2 10 ? ? ? ? ? ? ? 2? (1) AD sin(? ? ? ) BD sin(? ? ? ) 5 5 ? BD ?
4、已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x(m ? 0) 的最大值为 2.
(1)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间; (2)△ABC 中, f ( A ?

?

) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B , 4 4

?

角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 C=60?,c=3,求△ABC 的面积.

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5、在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? 3bc .
2 2 2

(Ⅰ)求 A ; 值.

(Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积 , 求 S ? 3cos B cos C 的最大值 , 并指出此时 B 的

5 答案: (1) A ? ? 6

(2) B ? C ?

?
12

,最大值 3

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