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轨迹方程的常见求法

轨迹方程的常见求法
1、直译解析法;该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、 设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例 1 设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 x 2 点 P 的轨迹方程。
? 2y
2

? 4 交于 A 、 B

两点,P 是 l 上满足 PA ? PB ? 1 的点,求

2、定义法;若动点轨迹直接符合已知圆锥曲线定义,则可直接利用定义写出其方程。 例 2、已知定点 A(0,7) 、B(0,-7) 、C(12,2) ,以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆,求另一焦点 F 的轨迹方程.

例 3、已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 6 及点 A(2, 0),求过 A 且与圆 O 相切的诸圆圆心 P 的轨迹方程。

3、相关点法;若动点 P(x, y)依赖于某已知曲线上的另一个动点 P 1 (x 1 ,y 1 )而运动,且 x 1 , y 1 可用 x, y 表示,则将 P 1 (x 1 ,y 1 )代入已知曲线,求出 P 点的轨迹方程。此法也称代入法或转移法。 例 4、定点 A(3,0)为圆 x 2 ? y 2 ? 1 外一定点,P 为圆上任一点, (除出圆与 x 轴的交点), ∠POA 的平 分线交 PA 于点 Q, 求出 Q 点的轨迹方程。

例 5.如图所示,过椭圆 E: x

2

?

y

2

? 1 上任一点

P,作右准线 l 的垂线 PH,垂足为 H。延长 PH 到 Q,

3

2

使 H Q = ? P H ,( ? > 0 ) (1)当 P 点在 E 上运动时,求点 Q 的轨迹 G 的方程; (2)当 ? 取何值时,轨迹 G 是 ' 焦点在平行于 y 轴的直线上的椭圆?证明这些焦点都在同一个椭圆 E 上, 并写出椭圆的方程; (3) ? 当 取何值时,轨迹 G 是一个圆?判断这个圆与椭圆 E ' 的右准线 l ' 的位置关系。

4、引参消参法; 若题目出现当动点运动所受限制条件较多,不易直接建立 x、y 的某种联系,但且发 现 x、y 同时受到另外一个变量 t(如角度、斜率、截距等)的制约而将它们用 t 表示,然后通过消去 变量 t 而得到所要求的动点的轨迹方程 f(x, y)=0。 例 6、过点 M(-2, 0)作直线 L 交双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 于 A、B 两点,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB。 求动点 P 的轨迹方程。

5、交轨法;它常常适用于出现需求两曲线交点的轨迹方程问题 ,解此类问题往往需借助解方程组得 出含有某参数的交点坐标,再消去参数而得到所求动点的轨迹方程。 例 7、抛物线 y ? 4 px ( p ? 0 ) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB,求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射
2

影 M 的轨迹。

6、向量法: 例 8 、设 x , y ? R , i , j 为直角坐标平面内 x , y 轴正方向上的单位向量,若向量 a
? ? ? b ? xi ? ( y ? 2) j
? ?

?

? ? ? xi ? ( y ? 2) j

,

,且 | a | ? | b |? 8 . (1)求点 M ( x , y ) 的轨迹 C 的方程;
??? ? ??? ? ??? ?

?

?

(2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,设 O P ? O A ? O B ,是否存在这样的直线 l ,使得四边形
OAPB

是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由。

例 9、设点 A 和 B 为抛物线 y 2

? 4 px

(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB,OM⊥AB,求点 M 的

轨迹方程,并说明它表示什么曲线。

沙城中学补习班数学第一轮复习学案

编录:刘世亮

轨迹方程作业
1、方程 y ? ?
x ? 2x ?1
2

表示的曲线是:





A、双曲线 B、半圆 C、两条射线 D、抛物线 2 2 2 2 2、方程[(x-1) +(y+2) ](x -y )=0 表示的图形是: ( ) A、两条相交直线 B、两条直线与点(1,-2) C、两条平行线 D、四条直线 3、动点 p 与定点 A(-1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则 p 点的轨迹方程是: ( ) A、x +y =1
2 2

B、x +y =1(x≠±1)

2

2

C、x +y =1(x≠1)

2

2

D、y= 1 ? x 2

4、 一动点到两坐标轴的距离之和的 2 倍, 等于该点到原点距离的平方, 则动点的轨迹方程是: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A、x +y =2(x+y) B、x +y =2|x+y| C、x +y =2(|x|+|y|) D、x +y =2(x-y) 5、动点 P 到直线 x=1 的距离与它到点 A(4,0)的距离之比为 2,则 P 点的轨迹是: ( ) A.中心在原点的椭圆 B.中心在(5,0)的椭圆 C.中点在原点的双曲线 D.中心在(5,0)的双曲线 2 2 6、已知圆 x +y =4,过 A(4,0)作圆的割线 ABC,则弦 BC 中点的轨迹方程是 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A、(x-2) +y =4 B、(x-2) +y =4(0≤x<1)C、(x-1) +y =4 D、(x-1) +y =4(0≤x<1) 7、已知 M(-2,0) ,N(2,0) ,|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是: ( ) A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支 2 2 2 2 8、若一动圆与两圆 x +y =1, x +y -8x+12=0 都外切,则动圆圆心的轨迹为: ( ) A、抛物线 B、圆 C、双曲线的一支 D、椭圆 9、点 M 到 F(3,0)的距离比它到直线 x+4=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是: ( ) 2 2 2 2 A、y =12x B、y =12x(x>0) C、y =6x D、y =6x(x>0) 2 2 10、已知圆 x +y =1,点 A(1,0) ,△ABC 内接于圆,且∠BAC=60°,当 B、C 在圆上运动时,BC 中点 的轨迹方程是( ) A、x +y = 1 2
2 2

B、x +y = 1 4

2

2

C、x +y = 1 (x< 1 ) 2 2

2

2

D、x +y = 1 (x< 1 ) 4 4 ( )

2

2

11、抛物线过点 M(2,-4) ,且以 x 轴为准线,此抛物线顶点的轨迹方程是 A、(x-2) +(y+4) =16
2 2 2 2

( y ? 0)

B、(x-2) +4(y+2) =16 ( y ? 0)
2 2

2

2

C、(x-2) -(y+4) =16 D、(x-2) +4(y+4) =16 2 2 2 12、已知⊙O:x +y =a , A(-a, 0), B(a, 0), P1, P2 为⊙O 上关于 x 轴对称的两点,则直线 AP1 与直 线 BP2 的交点 P 的轨迹方程为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A、x +y =2a B、x +y =4a C、x -y =4a D、x -y =a 13、设 A1、A2 是椭圆 x
2

?

y

2

=1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点,则直线 A1P1 与 A2P2 ( )

9

4

交点的轨迹方程为 A. x
2

?

y

2

?1

B.

y

2

?

x

2

?1

C. x

2

?

y

2

?1

D.

y

2

?

x

2

?1

9

4

9

4

9

4

9

4

14、中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为 1 , 2 则椭圆方程为
A. 2x
2

?

2y

2

?1

B.

2x

2

?

2y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

(

)

25

75

75

25

25

75

75

25

15、两条直线 ax+y+1=0 和 x-ay-1=0(a≠±1)的交点的轨迹方程是 16、动圆与 x 轴相切,且被直线 y=x 所截得的弦长为 2,则动圆圆心的轨迹方程为 17、过原点的动椭圆的一个焦点为 F(1,0) ,长轴长为 4,则动椭圆中心的轨迹方程为 18、经过抛物线 y =4x 的焦点的弦中点轨迹方程是
2

。 。 。



19、矩形 A B C D 的两条对角线相交于点 M (2, , A B 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T ( ?11) 在 , 0)
N ( ? 2, ,且与矩形 A B C D 0)

A D 边所在直线上.(1)求 A D 边所在直线的方程;(2)求矩形 A B C D 外接圆的方程;(3)若动圆 P 过点 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方程.

20、设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左、右焦点分别为 F1, F2, A 是椭圆上的一点, A F2

? F1 F 2 ,原点 O



直线 A F1 的距离为 1 O F1 . (Ⅰ)证明 a ? 3

2b ; (Ⅱ)设 Q 1, Q 2 为椭圆上的两个动点, O Q 1 ? O Q 2 ,

过原点 O 作直线 Q1Q 2 的垂线 O D ,垂足为 D ,求点 D 的轨迹方程.


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