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高二数学《圆的一般方程》教学设计 (2)


高二数学《圆的一般方程》教学设计

教材版本:人教版(必修) 学科:数学 年级:高二年级 课题:第七章第二节圆的方程第二课时教学设计 一、教材分析

册别:第二册(上)

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础,由于圆的方程应用及其广泛,所以对圆的一般方程的要求层次是 “掌握”,又由于圆的一般方程中含有三个参变数 D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的难点是对圆 的一般方程的认识,掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。 二、学情分析 圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后,又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究 的。 但由于学生基础差、学习程度较浅,且对圆的标准方程运用还不够熟练,在学习过程中难免会出现困难。 另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。 三、教法分析 为了充分调动学生学习的积极性,本节课采用“合作探究与启发式教学法” ,用环环相扣的问题将探究活动层 层深入,教师组织学生分析讨论、合作探究。 四、学法分析 通过展开圆的标准方程,归纳总结得出圆的一般方程,通过求圆的方程,加深对数形结合思想和待定系数法 的理解,通过应用圆的一般方程,熟悉用待定系数法求解的过程。 五、设计思想 本节课的设计思想是:以多媒体网络教学平台为依托,为学生营造一个探究学习的环境,让他们参与到多媒 体教学中来,探究新知,发现规律,解决问题。 六、教学策略 结合本节内容的特点,可以向学生渗透多种数学思想方法::配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化 的思想、 分类讨论的思想、方程的思想,同时对学生的观察类比,创新等多种能力的培养有利,通过求圆的一 般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。 七、教学目标 (一)知识与技能 使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能用待 定系数法,由已知条件导出圆的方程。 (二)过程与方法 通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探讨,让学生经历知识形成的过程,培养学生探索发现及 分析解决问题的实际能力,并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆 的方程的方法。 (三)情感态度价值观 渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。 八、教学重点、难点

1.重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用待定系数法,由已知条件导出圆 的方程。 (解决办法:(1)要求学生不要死记配方结果,而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法;(2)加强这方面 题型训练。) 2.难点:圆的一般方程的探讨过程。 (解决办法:通过对方程配方分三种讨论得限制条件。) 九、教具:多媒体、黑板、圆规、三角板 十、 【教学过程与设计】(课堂实录) 教学内容 教师活动 学生活动

一、复习引入:

回答问题, 并填写 复习 师:同学们!上节课我们研究了圆的标准方 学生活动: 学案: 圆的 问题 1:圆的标准方程的形式是怎样的? 程,请同学们回忆 一下圆的标准方程,并 方程 填写学案, 其中圆心的坐标和半径各是什么? 步明 结构 为新 作铺 提出问题, 并对学生的回答加以肯定。 若圆心在坐标原点, 半径为 r 的圆的方程 教师: 怎么表示? 学

疑问 教师活动:让学生先独立思考,自主探究, 引导学生得出方程形式: 学生活动:动笔展开方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,提出课题 (x-a)2+(y-b)2=r2. 发

动笔

问题 2:若把标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开后,会得出怎样的形式?

题,

题。

二、新课讲解 师:这就是我们今天要学习的内容:圆的一 般方程. 教师板书:圆的一般方程

使学

确本

的学

容。

课题:圆的一般方程

问题 3: 是不是每个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 教师活动:提出问题. 引导学生思考圆的方 学生活动: 先独立思考, 自主 的方程表示的曲线都是圆呢? 探究后, 再与前后同学合作交 程的要求,想到利用配方法将展开式化成圆 流。 的标准方程的形式,并引导学生总结在什么 生生互动: 在教师引导下, 合 情况下,它的轨迹是圆、点或无轨迹。 作交流,共同探讨方程 组织学生分析讨论,给学生充足的时间 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的图 讨论,并作适当的引导。 形。 【师生互动】:教师巡视指导,参与学生的 共同探讨后, 达成共识: 先将

让学 历知 成的 体会 结合 加深 识的

讨论。

方程配方, 再与圆的标准方程 比较。

、探讨形成:将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 左 教师预设:先将方程配方,再与圆的标准方 学生活动: 在教师的引导下通 让学 边配方 程比较。教师板书: 过观察、分析后发现: 极主
D E D ? E ? 4F (x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 4 ①
2 2

参与 当 D2+E2-4F>0 时

论中

为学

主人 (1)当 D +E -4F>0 时, 方程①表示 一个 方 程 ① 表 示 一 个 以 圆; 师:请同学们观察方程①,可以看出什么? 让学 教师提示学生:先把方程①与标准方程比 较,再分类讨论。 当 D2+E2-4F>0 时,方程①表示什么?
D E ( ? ,? ) 2 2

2

2

历知

为 圆 心 , 成的

体会

的来 1 D 2 ? E 2 ? 4F 为 半 径 的 2 脉, 圆;

知识 教师继续引导:当 D +E -4F = 0 时,又表示 什么? 教师预设:当学生回答不明确时,教师作适 当的提示:当 D2+E2-4F = 0 时,方程①
D E 只有实数解 x ? ? , y ? ? 2 2
2 2

解。

(2)当 D2+E2-4F = 0 时,方程①表示一

学生回答:当 D2+E2-4F = 0 时,方程①表示一个点
(? D E ,? ) 2 2

个点;

教师设问:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 有没有 实数解?.

使学 学生回答: 没有, 因而它不表 会归 示任何图形 结 3)当 D2+E2-4F<0 时, 方程①不表示任何 教师活动:教师在学生基础上梳理思路,板 书:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的图形分 图形。 学生活动:归纳总结:方程 2 2 别是圆、点或不表示任何图形。 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的图形 点或不表示任何图 师:根据以上结论,请同学们给出圆的一般 分别是圆、 .归纳总结: 使学 形。 方程的定义。 【教师活动】板书: 圆的一般方程的定义 当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程。 3.提出概念: (圆的一般方程的定义)
D E 圆心坐标为: (? ,? ) ,半径为: 2 2

方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的图形分别是 圆、点或不表示任何图形.

确圆 学生口答: 当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一 般方程.圆心坐标为: D E (? ,? ) ,半径为: 2 2 1 2 2 D ? E ? 4F 2

般方

定义

1 2 2 D ? E ? 4F 2

教师强调:不要死记结果,要熟记通过配方 求圆心和半径的方法。

加强

会通

方法 教师活动:巡视学生完成情况,对学生的回 答作点评,给出正确答案,同时强调:方程 方程 学生活动: 独立完成, 并回答 中隐含条件以及分类讨论的情况。 示的 问题。 和求

半径

.巩固练习:

心坐

、下列方程各表示什么图形?
2 2

1) x ? y ? 0

) x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0
教师设问:圆的一般方程有什么特点? 教师活动:引导学生比较二元二次方程的一 学生活动:归纳结论: 般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, 与圆的一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)。 (1)x2 和 y2 的系数相同,不等 于零,即 A=C≠0; 教师强调:1.条件(1)、(2)是二元二次方程 (2)表示圆的必要条件,但不是充分条件; (2)没有 xy 项,即 B=0; 2.只要确定了 D、E、F 即可写出圆的一般方 程。

3) x 2 ? y 2 ? 2ax ? b 2 ? 0

、求下列各圆的圆心和半径
2 2

1) x 2 ? y 2 ? 6 x ? 0

2) x ? y ? 2by ? 0

3) x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2 3 y ? 3a 2 ? 0

让学 过归 出圆 般方 形式 体会 标准 和圆 般方 自的

问题 4:圆的一般方程有什么特点?

进一 固学 够利 教师活动:巡视学生完成情况,并请一位学 的标 生上黑板展示,教师点评学生的回答。 程求 的方 教师预设: 加强 【学生活动】: 标准 独立完成, 认真作答, 学生自 与一 解:(利用待定系数法) 愿到黑板上展示各自解法: 程的 设圆的方程为:

( x ? 8) 2 ? ( y ? 3) 2 ? r 2
∵圆经过点 A(5,-1) ∴ (5 ? 8) 2 ? (?1 ? 3) 2 ? r 2

通过 圆的 r 2 ? 13 三、例题精讲 的两 2 2 ∴ ( x ? 8 ) ? ( y ? 3 ) ? 13 题型一: 利用圆的标准方程求圆的方 式求 的方 程,并化为一般方程。 一步 各自 教师活动:引导学生尝试利用圆的方程的两 例 1 求过点 A(5,-1),圆心在点 C(8, 种形式求解圆的方程, 点, 并引导学生小结例 1、 待定 3)的圆的一般方程,并化为一般方程 例 2:一般说来,如果由已知条件容易求圆 学生活动:在老师的引导下, 法求 心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径 认真完成, 并体会如何根据题 的方 列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果

已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系, 目条件,恰当选择圆方程形 往往设圆的一般方程。 式。 教师预设: 解:(利用待定系数法)

方法

题型二 : 求利用圆的一般方程求圆的方 设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0, 程: 由题意得, F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解之得,D=-8,E=6 ∴圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0,

例2 求过三点 O(0, 0)、 M1(1, 1)、 M2(4, )的圆的方程。

教师活动:让学生先独立思考,自主完成, 教师纠错,并给予适当的点评,出示正确答 案.

让学 一步 如何 题目 恰当 圆方 式, 待定 法求 的方 方法

学生活动:独立完成.

四、反馈练习:求过三点 A(-1,5)、B(-2,

2)、C(5,5)的圆的方程。

教师活动:引导学生回顾本节课所学知识要 学生活动: 回顾本节课的知识 通过 的小 点,点评学生小结,并加以归纳补充: 要点与方法, 认真总结, 并认 深对 问题 5:通过这节课的学习你获得了 真听取老师的补充。 识的 哪些知识? 1.本节课的主要知识点: 通过 的补 (1)圆的一般方程及其形式特点; 华本

(1)知识性小结:

(2)圆的一般方程与圆的标准方程的转化; (3)用待定系数法求圆的方程。 2.本节课用的数学方法和数学思想: ⑴数学方法: 配方法、待定系数法。

的课

简洁

概括

(2)方法性小结:

课的

问题 6:通过这节课的学习你掌握了 ⑵数学思想: 哪些数学思想和方法? ① 数形结合的思想; ② 转化的思想; ③ 分类讨论的思想; ④ 方程的思想。

知识

易于

记忆

、分层作业

○ 1 巩固型作业:(必做题) 习题 7.6 5,6

90

○ 2 思维拓展型作业:(选作题) 十一、板书设计

针对学生实际,对课后书面作业实施分层设 分两个层次留作业, 第一层次 巩固 新知 置。 要求所有学生都要完成, 第二 深对 层次要求学有余力的同学完 识的 能在 成。 中发 弥补 中的

一、复习引入:把圆的标准方程(x-a)2+ (y-b)2=r2 展开: 二、新课讲解 课题:圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 左边配方:
D E D2 ? E 2 ? 4F ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 4

提出概念:圆的一般方程的定义 三、例题精讲 例 1、 例 2 四、反馈练习 五、课堂小结 (1)知识性小结 (2)方法性小结 六、课后作业

归纳总结:当 D2+E2-4F>0 时, 当 D +E -4F = 0 时, 当 D2+E2-4F<0 时,
2 2


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