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2018高考数学一轮复习不等式选讲第1节绝对值不等式课时分层训练文北师大版

课时分层训练(五十七) 1.已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. 绝对值不等式 [解] (1)由不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1, 得 1≤x≤2,3 分 ∴m=1,n=2,m+n=3. 5分 10 分 (2)证明:若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1. 2.若函数 f (x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,求实数 a 的值. [解] 当 a=-1 时,f (x)=3|x+1|≥0,不满足题意; -3x-1+2a,x≤a, ? ? 当 a<-1 时,f (x)=?x-1-2a,a<x≤-1, ? ?3x+1-2a,x>-1, 3分 f (x)min=f (a)=-3a-1+2a=5, 解得 a=-6;5 分 -3x-1+2a,x≤-1, ? ? 当 a>-1 时,f (x)=?-x+1+2a,-1<x≤a, ? ?3x+1-2a,x>a, 7分 f (x)min=f (a)=-a+1+2a=5, 解得 a=4. 9分 10 分 综上所述,实数 a 的值为-6 或 4. 3.(2017·衡水中学调研)已知函数 f (x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f (x)≥3 的解集; (2)若 f (x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. [解] (1)当 a=-3 时, 不等式 f (x)≥3 化为|x-3|+|x-2|≥3.(*) 若 x≤2 时,由(*)式,得 5-2x≥3,∴x≤1. 若 2<x<3 时,由(*)式知,解集为?. 若 x≥3 时,由(*)式,得 2x-5≥3,∴x≥4. 综上可知,f (x)≥3 的解集是{x|x≥4 或 x≤1}. (2)原不等式等价于|x-4|-|x-2|≥|x+a|,(**) 4分 1 当 1≤x≤2 时,(**)式化为 4-x-(2-x)≥|x+a|, 解得-2-a≤x≤2-a. 8分 由条件,[1,2]是 f (x)≤|x-4|的解集的子集, ∴-2-a≤1 且 2≤2-a,则-3≤a≤0, 故满足条件的实数 a 的取值范围是[-3,0]. 10 分 ? 1? ? 1? 4.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数 f (x)=?x- ?+?x+ ?,M 为不等式 f (x)<2 的解集. ? 2? ? 2? (1)求 M; (2)证明:当 a,b∈M 时,|a+b|<|1+ab|. [解] ? ? 1 1 (1)f (x)=?1,- <x< , 2 2 1 ? ?2x,x≥2. 1 -2x,x≤- , 2 1 当 x≤- 时,由 f (x)<2 得-2x<2,解得 x>-1; 2 1 1 当- <x< 时,f (x)<2; 2 2 1 当 x≥ 时,由 f (x)<2 得 2x<2,解得 x<1. 2 所以 f (x)<2 的解集 M={x|-1<x<1}. 5分 2 2 (2)证明:由(1)知,当 a,b∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b) -(1+ab) =a +b -a b -1=(a -1)(1-b )<0. 因此|a+b|<|1+ab|. 10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 5.(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数 a,b 满足:a +b =2 ab. 1 1 (1)求 + 的最小值 m; a b ? 1? (2)设函数 f (x)=|x-t|+?x+ ?(t≠0),对于(1)中求得的 m 是否存在实数 x,使得 ? t? m f (x)= 成立,说明理由. 2 【导学号:66482489】 [解] (1)∵2 ab=a +b ≥2ab, ∴ ab≥ab(a>0,b>0),则 ab≤1. 2 2 2 1 1 2 又 + ≥ ≥2, a b ab 当且仅当 a=b 时取等号, 1 1 ∴ + 的最小值 m=2. a b 5分 ? 1? ?? 1? (2)函数 f (x)=|x-t|+?x+ ?≥??x+ ?- ? t? ?? t? 对于(1)中的 m=2, =1<2. 2 ∴满足条件的实数 x 不存在. 10 分 x-t ?=? +t?=|t|+? ?≥2. t t ? ?1 ? ? ? ? ?1? ? ? m 6.(2017·郑州质检)已知函数 f (x)=|3x+2|. (1)解不等式|x-1|<f (x); 1 1 (2)已知 m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f (x)≤ + (a>0)恒成立,求实数 a 的取值 m n 范围. [解] (1)依题设,得|x-1|<|3x+2|, 1 3 2 2 所以(x-1) <(3x+2) ,则 x>- 或 x<- , 4 2 ? ? 1 3 ? 故原不等式的解集为?x?x>- 或x<- 4 2 ? ? ? ? ? ?. ? ? 4分 (2)因为 m+n=1(m>0,n>0), 1 1 m n ?1 1? 所以 + =(m+n)? + ?=2+ + ≥4, m n ?m n? n m 1 当且仅当 m=n= 时,等号成立. 2 令 g(x)=|x-a|-f (x)=|x-a|-|3x+2| 2x+2+a,x<- , 3 ? ? 2 =? -4x-2+a,- ≤x≤a, 3 ?-2x-2-a,x>a, ? 2 2 2 则 x=- 时,g(x)取得最大值 +a, 3 3 2 要使不等式恒成立,只需 g(x)max= +a≤4. 3 10 解得 a≤ . 3 8分 3 10 又 a>0,因此 0<a≤ . 3 10 分 4

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