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2018高考数学一轮复习不等式选讲第1节绝对值不等式课时分层训练文北师大版


课时分层训练(五十七) 1.已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. 绝对值不等式 [解] (1)由不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1, 得 1≤x≤2,3 分 ∴m=1,n=2,m+n=3. 5分 10 分 (2)证明:若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1. 2.若函数 f (x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,求实数 a 的值. [解] 当 a=-1 时,f (x)=3|x+1|≥0,不满足题意; -3x-1+2a,x≤a, ? ? 当 a<-1 时,f (x)=?x-1-2a,a<x≤-1, ? ?3x+1-2a,x>-1, 3分 f (x)min=f (a)=-3a-1+2a=5, 解得 a=-6;5 分 -3x-1+2a,x≤-1, ? ? 当 a>-1 时,f (x)=?-x+1+2a,-1<x≤a, ? ?3x+1-2a,x>a, 7分 f (x)min=f (a)=-a+1+2a=5, 解得 a=4. 9分 10 分 综上所述,实数 a 的值为-6 或 4. 3.(2017·衡水中学调研)已知函数 f (x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f (x)≥3 的解集; (2)若 f (x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. [解] (1)当 a=-3 时, 不等式 f (x)≥3 化为|x-3|+|x-2|≥3.(*) 若 x≤2 时,由(*)式,得 5-2x≥3,∴x≤1. 若 2<x<3 时,由(*)式知,解集为?. 若 x≥3 时,由(*)式,得 2x-5≥3,∴x≥4. 综上可知,f (x)≥3 的解集是{x|x≥4 或 x≤1}. (2)原不等式等价于|x-4|-|x-2|≥|x+a|,(**) 4分 1 当 1≤x≤2 时,(**)式化为 4-x-(2-x)≥|x+a|, 解得-2-a≤x≤2-a. 8分 由条件,[1,2]是 f (x)≤|x-4|的解集的子集, ∴-2-a≤1 且 2≤2-a,则-3≤a≤0, 故满足条件的实数 a 的取值范围是[-3,0]. 10 分 ? 1? ? 1? 4.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数 f (x)=?x- ?+?x+ ?,M 为不等式 f (x)<2 的解集. ? 2? ? 2? (1)求 M; (2)证明:当 a,b∈M 时,|a+b|<|1+ab|. [解] ? ? 1 1 (1)f (x)=?1,- <x< , 2 2 1 ? ?2x,x≥2. 1 -2x,x≤- , 2 1 当 x≤- 时,由 f (x)<2 得-2x<2,解得 x>-1; 2 1 1 当- <x< 时,f (x)<2; 2 2 1 当 x≥ 时,由 f (x)<2 得 2x<2,解得 x<1. 2 所以 f (x)<2 的解集 M={x|-1<x<1}. 5分 2 2 (2)证明:由(1)知,当 a,b∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b) -(1+ab) =a +b -a b -1=(a -1)(1-b )<0. 因此|a+b|<|1+ab|. 10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 5.(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数 a,b 满足:a +b =2 ab. 1 1 (1)求 + 的最小值 m; a b ? 1? (2)设函数 f (x)=|x-t|+

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