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高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值预习导学案

最新中小学教案、试题、试卷 3.3.2 利用导数研究函数的极值 预习导航 课程目标 1.理解函数极值与最值的概念. 2.了解极值与最值的区别与联系. 3.会用函数的导数求函数的极值和最值. 学习脉络 1.极值点与极值的概念 名称 定义 已知函数 y=f(x)及其定义域内一点 x0, 对于存 极大值 在一个包含 x0 的开区间内的所有点 x,如果都 有 f(x)<f(x0),则称函数 f(x)在点 x0 处取极 大值 极值 已知函数 y=f(x)及其定义域内一点 x0, 对于存 极小值 在一个包含 x0 的开区间内的所有点 x,如果都 有 f(x)>f(x0),则称函数 f(x)在点 x0 处取极 小值 若函数 f(x)在 x0 处取得极大值,则把 x0 称为函数 f(x)的一个极大值点; 极值点 若函数 f(x)在 x0 处取得极小值,则把 x0 称为函数 f(x)的一个极小值点; 极大值点与极小值点统称为极值点 思考 1 极值点是不是一个点? 提示:极值点不是点,是函数 f′(x)的变号零点,是函数取得极值的点的横坐标,是 一个实数. 思考 2 同一函数的极大值一定大于它的极小值吗? 提示:不一定.极值是一个局部概念,在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小 值点,极大值不一定比极小值大. 2.求可导函数 y=f(x)极值的步骤 (1)求导数 f′(x). (2)求方程 f′(x)=0 的所有实数根. (3)对每个实数根进行检验, 判断在每个根的左右侧, 导函数 f′(x)的符号如何变化. 如 果 f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值;如果 f′(x)的符号由负变正,则 f(x0)是极 小值;如果在 f′(x)=0 的根 x=x0 的左右侧符号不变,则 f(x0)不是极值. 记作:y 极小值=f(x0) 记作:y 极大值=f(x0) 表示法 最新中小学教案、试题、试卷 1 最新中小学教案、试题、试卷 思考 3 若 f′(x0)=0,则 x0 一定是函数 f(x)的极值点吗? 提示:不一定.例如函数 y=x 在 x=0 处的导数为 0,但它不是极值点.因为 f′(x) 在 x=0 的左右两侧的符号相同.对可导函数来说,导数为 0 是函数在这一点取得极值的必 要不充分条件. 3.函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值 3 思考 4 函数的极大值一定是最大值吗? 提示:不一定.首先函数的极大值可能不唯一,有多个,其次,极大值还要与端点的函数值 比较大小,才能确定哪个是最大值. 最新中小学教案、试题、试卷 2

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