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2017_2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换3.2.1三角恒等变换课件新人教A版必修4_图文

第1课时 三角恒等变换 1.了解半角公式(不要求记忆)的推导过程及其应用. 2.能利用两角和与差公式、二倍角公式进行简单的三角函数式 的求值、化简与证明. 1 2 1.半角公式(不要求记忆) sin 2 =± 1-cos , cos 2 2 =± 1+cos , tan 2 2 =± 1-cos = 1+cos 1-cos sin = . 符号由 所在的象限决定. sin 1+cos 2 1 2 知识拓展 1.积化和差公式 (不要求记忆和应用 ) 1 2 1 cos αsin β= [sin( + ) ? sin( ? )], 2 1 cos αcos β= [cos( + ) + cos( ? )], 2 1 sin αsin β= ? [cos( + ) ? cos( ? )]. 2 sin αcos β= [sin( + ) + sin( ? )], 2.和差化积公式 (不要求记忆和应用 ) + - cos , 2 2 + - sin x-sin y= 2cos sin , 2 2 + - cos x+ cos y=2cos cos , 2 2 + - cos x- cos y=-2si n sin . 2 2 sin x+sin y=2si n 1 2 【做一做 1-1】 已知 cos α= , 且 ∈(0,π),则 cos 的值为 ( ) 6 6 6 3 A. B. ? C. ± D. ± 3 3 3 3 π 解析 :∵α∈(0,π),∴ ∈ 0, 2 2 ∴cos 2 1 3 2 , 6 . 3 = 1+cos 2 = 2 3 = 答案 :A 1 2 【做一做 1-2】 已知 sin α= ( ) A.2? 5B. 2 + 5 C. 5 ? 2D. ±( 5 ? 2) 解析 :tan 2 1- 5 1-cos = 5 sin 5 2 5 5 , cos 5 = 2 5 , 则 tan 等于 5 2 = = 5 ? 2. 答案 :C 1 2 【做一做 1-3】 已知 cos α= , ∈ ( ) 10 10 3 3 3 A.? B. C. D. ? 10 10 10 5 3π 3π 解析 :∵α∈ ,2π , ∴ ∈ ,π 2 2 4 ∴si n 2 4 5 3π ,2π 2 , 则 sin 等于 2 , = 1-cos 10 = . 2 10 答案 :B 1 2 2.常见的三角恒等变换 (1)asin x+bcos x = 2 + 2 sin( + )( ≠0),其中 tan φ = , 所在象限由和的符号确定. 仅仅讨论 = ± 1, ± 3, ± 1 sin 2 3 3 的情况. (2)sin x = 2 1-cos2 , cos2 2 = 1+cos2 , sin cos 2 = 2. 1 2 【做一做 2-1】 3sin x ? 3cos = ( A.si n π 6 ) B. 3sin π + 6 π 6 C. 3sin D. 2 3sin π 6 解析 :3sin x ? 3cos x =2 =2 =2 3 1 3 sin- cos 2 2 π π 3 sincos -cossin 6 6 π 3sin - . 6 答案 :D 1 2 【做一做 2-2】 sin2x-sin x cos x+ 2cos2x=( 2 sin 2 ) 3π 3 2 3π A. 2 + + B. sin 2 + 4 2 2 4 3π π 3 C.si n 2 + D. 2sin 2- + 4 4 2 1-cos2 1 解析 :原式 = ? sin 2x+(1+cos 2x) 2 2 1 1 3 2 2 2 = cos 2x ? sin 2x+ = - sin2 + cos2 2 2 2 2 2 2 + 3 2 = 2 3π 3 sin 2 + + . 2 4 2 答案 :A 求半角的正切值常用的方法 剖析 :根据经验 ,处理半角的正切问题有三种途径:第一种方法 1-cos 1-cos 是用 =± 来处理;第二种方法是用 tan = 1+cos 2 sin sin 来处理;第三种方法是用 tan = 来处理. 2 1+cos 3 例如 ,已知 cos α= , 为第四象限角,求 tan 的值. 3 2 tan 2 解法一 : 用 tan = ± 2 1-cos 来处理 1+cos 2 ∵α 为第四象限角 , ∴ 是第二或第四象限角.∴tan < 0. ∴tan 2 1 =? 2 2 3 =? 1-cos 1+cos 1 ? 2 =? 1- 3 3 1+ 3 2 = ? 2- 3 2- 6 . 2 8-4 3 = ( 6- 2) = 解法二: 用 tan 2 = 1-cos 来处理 sin 1 13 2- 6 . 2 6 . 3 ∵α 为第四象限角,∴sin α<0. ∴sin α=? ∴tan 2 = 1-cos2 =? = =? 1-cos = 6 sin -3 3 1- 3 解法三 : 用 tan = 2 sin 来处理 1+cos ∵α 为第四象限角 , ∴sin α<0. ∴sin α=? ∴tan 2 1-cos2 = =? 6 -3 1 13 =? = 6 . 3 2- 6 . 2 = sin 1+cos 1+ 3 = 3 - 6 3+ 3 比较上述三种解法 ,可知在求半角的正切 tan 时,用 tan = ± α 所在的象限确定 所在的象限,再用三角 2 1-cos 函数值的符号确定根号前的符号;而用 tan = 或tan = 2 sin 2 s

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