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2.数学(理) 2017年宝鸡市高三教学质量检测(二)参考答案


2017 年宝鸡市高三教学质量检测(二) 数学(理)参考答案
一、选择题 题号 答案 B卷 1 A B 2 D B 3 A A 4 B C 5 A A 6 C C 7 B B 8 D A 9 D D 10 C C 11 B B 12 D A

二、填空题 13.15 三、解答题 17.解:(1) f ( x) ? sin( 2 x ? 14. ?2017 15 . ? ?

4 3

16.

4 11

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1

=

3 1 3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? cos2 x = sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 6
由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 得, ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z )

故 f ( x) 的单调递增区间是 [? (2) f ( A) ? sin( 2 A ? 于是 2 A ?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ]( k ? Z )

?
6

)?

1 ? ? ? , 0 ? A ? ? , ? 2 A ? ? 2? ? 2 6 6 6

?
6

?

5? ? ,故 A ? , 6 3
1 bc ? 9 , bc ? 18 , 2
2

由 b 、 a 、 c 成等差数列得: 2a ? b ? c , 由 AB ? AC ? 9 得: bc cos A ? 9 ,
2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc 于是, a ? 4a ? 54 , a ? 18 , a ? 3 2 .
2 2 2

18.解: (1)由已知一困难户选择贷款期限为 12 个月的概率是 0.4 , 所以小区 2017 年准备享受此项政策的 3 户恰有两户选择贷款期限为 12 个月的概率是
1 2 P 1 ? C3 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.288 ;

1

(2) P(? ? 200) ? 0.2 , P(? ? 300) ? 0.6 , P(? ? 400) ? 0.2 , 所以 ? 的分布列是:

?
P

200 0.2

300 0.6

400 0.2

E? ? 300 (元)
所以估计 2017 年该市共要补贴 1080 万元.

19.解: (1)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD . 因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,且四边形 BDEF 是矩形,所以 ED ? 平面 ABCD , 又因为 AC ? 平面 ABCD ,所以 ED ? AC . 因为 ED

BD ? D ,所以 AC ? 平面

BDEF .
(2) 解: 设 AC

BD ? O , 取 EF 的中点 N , 连接 ON ,

因为四边形 BDEF 是矩形, O, N 分别为 BD, EF 的中 点,所以 ON //ED ,又因为 ED ? 平面 ABCD ,所以

ON ? 平面 ABCD , C ?B D , 由A 得 OB, OC , ON 两两
垂直.所以以 O 为原点, OB, OC , ON 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间直角坐标系. 因为底面

ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 , BF ? 3 ,
所以 A(0, ? 3,0) , B(1,0,0) , D(?1,0,0) , E (?1,0,3) , F (1, 0,3) , C(0, 3,0) ,

1 3 3 H( , , ) 2 2 2 .
因为 AC ? 平面 BDEF , 所以平面 BDEF 的法向量 AC ? (0,2 3,0) . 设直线 DH 与平

3 3 3 DH ? ( , , ) 2 2 2 , 得 面 BDEF 所成角为 ? ,由
3 3 3 ?0? ?2 3 ? ?0 7 2 2 sin ? ?| cos ? DH , AC ?|? ? 2 ? 7 21 DH AC ?2 3 2 , DH ? AC
7
所以直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值为 7 .

1 3 3 BH ? (? , , ) 2 2 2 , DB ? (2,0,0) .设平面 BDH 的法向量为 (3)解:由(Ⅱ) ,得
2

? ?n ? BH ? 0, n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,所以 ? ? ?n ? DB ? 0,


? ?? x1 ? 3 y1 ? 3z1 ? 0, ? ?2 x ? 0, 即? 1

z1 ? 1,得 n ? (0, ? 3,1) . 由 ED ? 平面 ABCD ,得平面 BCD 的法向量为

cos ? n, ED ??
ED ? (0,0, ?3) ,则

n ? ED n ED

?

0 ? 0 ? (? 3) ? 0 ? 1? (?3) 1 ?? 2?3 2

.

由图可知二面角 H ? BD ? C 为锐角, 所以二面角 H ? BD ? C 的大小为 60 . 20.解: (1)设椭圆 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

2a ? 4 ,? a ? 2 , 由已知 PF 1 ? PF 2 ? 4得
又点 P ?1, ? 在椭圆上,? 椭圆 E 的标准方程为

? 3? ? 2?

1 9 ? 2 ?1 ? b ? 3 , 4 4b

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

(2)由题意可知,四边形 ABCD 为平行四边形 ? S ABCD ? 4S?OAB , 设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 ,且 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 ? 3m ? 4 ? y ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
? y1 ? y2 ? 6m 9 , y1 y2 ? ? , 2 2 3m ? 4 3m ? 4

S ?OAB ? S ?OF1 A ? S ?OF1B ?

1 1 OF1 ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 , 2 2

1 ? 2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ? 6

?3m

m2 ? 1
2

? 4?

2



2 令 m ? 1 ? t ,则 t ? 1 , S?OAB ? 6

t

? 3t ? 1?

2

?6

1 , 1 9t ? ? 6 t

又? g ? t ? ? 9t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,

1 t

3 ? ? g ?t ? ? g ?1? ? 10 ,? S?OAB 的最大值为 , 2
3

所以 S ABCD 的最大值为 6 .

21.解: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? , f ′ ? x? ?

a ?1 ? ln x ? , x2

因为 f ? x ? 的图象在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? x ? 1 ,

?

?

? f′ ?1? ? a ? 1, ln x ? 所以 ? ,解得 a ? 1 , b ? 0 .所以 f ? x ? ? . a ln1 x ? b ? 0, ? f ?1? ? ? 1
所以 f ′ ? x? ?

1 ? ln x .令 f ′ ? x? ? 0 ,得 x ? e , x2

当 0 ? x ? e 时, f ′ ? x? ? 0 , f ? x ? 单调递增; 当 x ? e 时, f ′ ? x? ? 0 , f ? x ? 单调递减. 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, e ? ,单调递减区间为 ? e, ??? . (2)当 f ? x1 ? ? f ? x2 ?? x1 ? x2 ? 时, x1 ? x2 ? 2e .证明如下: 因为 x ? e 时 f ? x ? 单调递减,且 f ? x ? ?

ln x ? 0, x

又 f ?1? ? 0 ,当 1 ? x ? e 时, f ? x ? 单调递增,且 f ? x ? ? 0 . 若 f ? x1 ? ? f ? x2 ?? x1 ? x2 ? ,则 x1 , x2 必都大于 1,且必有一个小于 e ,一个大于 e . 不防设 1 ? x1 ? e ? x2 ,当 x2 ? 2e 时,必有 x1 ? x2 ? 2e . 当 e ? x2 ? 2e 时, f ? x1 ? ? f ? 2e ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? 2e ? x2 ? ? 设 g ? x? ?

ln x2 ln ? 2e ? x2 ? , ? x2 2e ? x2

ln x ln ? 2e ? x ? ? , e ? x ? 2e , x 2e ? x

2 2 2 1 ? ln x ?1 ? ln ? 2e ? x ? 4e ? e ? x ??1 ? ln x ? ? x ln ? ? x ? 2ex ? ? 2 x ? 则 g′ ? x? ? 2 ? 2 2 x x 2 ? 2e ? x ? ? 2e ? x ?

4e ? e ? x ??1 ? ln x ? ? x 2 2 ? ln ? ? ? x ? e ? ? e 2 ? ? ? ? 2 2 x ? 2e ? x ?
2
2

?

?
.
2

2 2 2 因为 e ? x ? 2e ,所以 e ? ? x ? e ? ? 0, e .故 2 ? ln ?? ? x ? e ? ? e ? ? 0 .

?

?

?

?

又 4e ? e ? x ??1 ? ln x ? ? 0 ,所以 g′ ? x? ? 0 .所以 f ? x ? 在区间 ? e, 2e? 内单调递增.

4

所以 g ? x ? ? g ? e ? ?

1 1 ? ? 0 .所以 f ? x1 ? ? f ? 2e ? x2 ? . e e

因为 1 ? x1 ? e ,e ? x2 ? 2e , 所以 0 ? 2e ? x2 ? e , 又因为 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 内单调递增, 所以 x1 ? 2e ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 2e . 综上,当 f ? x1 ? ? f ? x2 ?? x1 ? x2 ? 时, x1 ? x2 ? 2e . 22.解: (1)由已知得曲线 C1 的直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? 1,所以曲线 C1 的极坐标方程是

? x ? cos ? 伸缩变换得到曲线 C2 的参数方程是 ? ? 1 ,根据已知曲线 C1 的参数方程 ? ? y ? sin ?
? ? x ? 2 cos ? ( ? 是参数) . ? y ? 2sin ? ? ?
(2)设 P( 2 cos ?,2sin ?) .由已知得直线 l 的直角坐标方程是 2 x ? y ? 4 ,即

2x ? y ? 4 ? 0 .所以点 P 到直线 l 的距离
2 2 cos ? ? 2sin ? ? 4 ( 2) 2 ? 1 2 2 sin(? ? ) ? 2 ? 4 .当 sin(? ? ) ? 1 即 ? 4 3

?

d?

? ? 2 k? ?

?
4

, k ? z 时. dmin ?

2(2 ? 2) 4 3 ? 2 6 .此时点 P 的坐标是 (1, 2) .所以 ? 3 3
4 3?2 6 . 3

曲线 C2 上的一点 P(1, 2) 到直线 l 的距离最小,最小值是 23. 解: (1)

2a ? b ? 2a ? b ? 2a ? b ? 2a ? b ? 4 a 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立,

当且仅当 (2a ? b)(2a ? b) ? 0 时取等号,

?

2a ? b ? 2a ? b a

的最小值等于 4.

(2)

2? x ? 2? x ?

2a ? b ? 2a ? b a 2a ? b ? 2a ? b a

恒成立,

故 2 ? x ? 2 ? x 不大于

的最小值,

由(I)可知

2a ? b ? 2a ? b a

的最小值等于 4,

实数 x 的取值范围即为不等式 2 ? x ? 2 ? x ? 4 的解, 解不等式得 ? 2 ? x ? 2. 即 x 的取值范围为 [?2, 2] .
5


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