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【高考数学】2018版人教A版高中数学必修二同步学习课件:1.3空间几何体的表面积与体积 第2课时(PPT课件)_图文

第一章 §1.3 空间几何体的表面积与体积 第2课时 柱体、 锥体、 台体、 球的体积与球的表面积 学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式,会利用它们求有关几 何体的体积. 2.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积 及体积. 3.会求简单组合体的体积及表面积. 内容索引 知识梳理 题型探究 当堂训练 知识梳理 知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式 1.柱体的体积公式 V=Sh (S为底面面积,h为高); 1 V=3Sh (S为底面面积,h为高); 2.锥体的体积公式_______ 1 V= (S′+ S′S+S)h (S′、S为上、下底面面积,h 3.台体的体积公式_____________________ 3 为高); 4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V=Sh 1 V=3(S′+ S′S+S)h 1 V=3Sh. 知识点二 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式 S=4πR2 (R为球的半径); 4 3 3πR . 2.球的体积公式V=______ 题型探究 类型一 柱体、锥体、台体的体积 例1 (1) 如图所示,已知三棱柱 ABC - A1B1C1 的所有棱长均为 1 ,且 AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为 3 A. 12 6 C. 12 解析 3 B. 4 6 D. 4 三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1 的体积,三棱锥 A 3 1 1 1 3 3 -B1BC1 的高为 ,底面积为 ,故其体积为 × × = . 2 2 3 2 2 12 解析 答案 (2)现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放 着一个底面直径为6 cm,高为20 cm的圆锥形铅锤,铅锤完全浸没在水 中.当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降 A.0.6 cm B.0.15 cm C.1.2 cm D.0.3 cm 解析 设杯里的水下降h cm, 20 2 1 由题意知 π( 2 ) h=3×20×π×32, 解得h=0.6 cm. 解析 答案 反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法:直接代入公式求解. ②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和 高都易求的形式即可. ③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用 截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算. 跟踪训练1 体积之比. 解 (1)如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面 截下一个棱锥 C - A′DD′ ,求棱锥 C - A′DD′ 的体积与剩余部分的 设AB=a,AD=b,AA′=c, 1 1 1 1 ∴VC-A′D′D= CD· S△A′D′D= a· bc= abc, 3 3 2 6 ∴剩余部分的体积为 VABCD-A′B′C′D′-VC-A′D′D 1 5 =abc-6abc=6abc, ∴棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. 解答 (2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形, 侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台 的高和体积. 解答 类型二 球的表面积与体积 命题角度1 与球有关的切、接问题 例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥) 的体积之比. 解 如图等边△ABC为圆锥的轴截面,截球面得圆O. OE 设球的半径OE=R, OA=sin 30° =2OE=2R, BD=AD· tan 30° = 3R, ∴AD=OA+OD=2R+R=3R, 4 3 1 1 2 2 3 ∴V 球= πR , V = π· BD × AD = π( 3 R ) × 3 R = 3π R , 圆锥 3 3 3 则V球∶V圆锥=4∶9. 解答 (2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则 该球的表面积为 A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 解析 长方体的体对角线是其外接球的直径,由长方体的体对角线为 ?2a?2+a2+a2= 6a, 6 6 2 2 得球的半径为 a,则球的表面积为 4π( a) =6πa . 2 2 解析 答案 (1)正方体的内切球 反思与感悟 球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时球的半径为 a r 1= , 过在一个平面上的四个切点作截面如图①. 2 (2)球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点,过球心作正方体的对角面有r2 2 = a,如图②. 2 (3)长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义 可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长 1 2 为a,b,c,则过球心作长方体的对角面有球的半径为 r3= a +b2+c2, 2 如图③. (4)正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R= 3a. (5)正四面体的外接球 6 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为 2R= a. 2 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A.1∶ 3 B.1∶3 C.1∶3 3 D.1∶9 3 ∴外接球的半径为 2 , 4 13 4 33 ∴其体积比为3π×(2) ∶3π×( 2 ) =1∶3 3. 解析 答案 (2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3、 5、 15,则它的外接球 9π 表面积为___. 解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a、b、c, ? ?ab= 3, ? 则?bc= 5, ? ? ?ac= 15, ? ?a= 3, ? 解得?b=1, ? ? ?c= 5, a2

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