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高一数学人教a版必修2课后导练:2.3.4平面与平面垂直的性质含解析

课后导练 基础达标 1 已知直线 l、m,平面 α、β,且 l⊥α,m ? β,给出下列四个命题,其中正确命 题的个数是( ) ②若 l⊥m,则 α∥β ③若 α⊥β,则 l∥m ④若 l∥m,则 ①若 α∥β,则 l⊥m α⊥β A.1 个 个 B.2 个 C.3 个 D.4 解析:若 α∥β,∵l⊥α,∴l⊥β.又∵m ? β,∴l⊥m,所以①正确. 若 l∥m,∵l⊥α,∴m⊥α.又 m ? β,∴α⊥β. 所以④正确,而②③错误. 答案:B 2 在下列关于直线 m、l 和平面 α、β 的命题中,真命题是( A.若 l ? β,且 α⊥β,则 l⊥α B.若 l⊥β,且 α∥β,则 l⊥α C.若 l⊥β,且 α⊥β,则 l∥α D.若 α∩β=m,且 l∥m,则 l∥α 解析:A 项中 l 与 α 可以平行或斜交,A 项错. B 项中,l⊥β 且 α∥β,∴l⊥α 正确. C 项中,l 可在 α 内,C 项错,D 项中,l 可在 α 内,D 项错. 答案:B 3 如图, 如果 MC⊥菱形 ABCD 所在的平面, 那么 MA 与 BD 的位置关系是 ( ) ) A.平行 C.异面且垂直 B.垂直相交 D.相交但不垂直 解析:∵ ABCD 为菱形,∴BD⊥AC. 又∵MC⊥面 ABCD,∴MC⊥BD, ∴BD⊥面 MAC,∴BD⊥MA. 答案:C 4 已知平面 α、β、γ,则下列正确的是( A.α⊥β,β⊥γ,则 β∥γ B.α∥β,β⊥γ,则 α⊥γ C.α∩β=a,β∩γ=b,则 a⊥b D.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则 b⊥α 解析:如下,A 项错,β 与 γ 可平行,也可相交;B 项正确. 证明如下,设 β∩γ=a,在 γ 内作直线 l⊥α. ∵β⊥γ,∴l⊥β. 又 α∥β,∴l⊥α. 又 l ? γ,∴α⊥γ. C 项显然错误,D 项中缺少了 b ? β,∴D 项错. 答案:B 5 经过平面 α 外一点和 α 内一点与平面 α 垂直的平面有( A.0 个 C.无数个 B.1 个 D.1 个或无数个 ) ) 解析:当过这两点的直线 l⊥α 时,能作无数多个;当 l 与 α 斜交时,只能 作一个. 答案:D 6 对于直线 m、n 和平面 α、β,α⊥β 的一个条件是( A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n ? α C.m∥n,m⊥α,n⊥β D.m∥n,n⊥β,m ? α 解析:A 项错,因为即使 α∥β,也可以有符合 m⊥n,且 m∥α,n∥β 的直线 m、n 存在;B 项错,因为二面角 α-m-β 无论是否为 90° ,均可找到符合题意的图 形; C 项错, 因为 m∥n 且 m⊥α 时,有 n⊥α,又由 n⊥β 得 α∥β,不会得到 α⊥β. 答案:D 7 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过 A、C、D 的平面与过 D、B1、B 的平面的位置 ) 关系是( ) B.相交成 60° 角 D.互相平行 A.相交但不垂直 C.互相垂直 解析:∵过 A、C、D 的平面即平面 ABCD,过 D、B1、B 的平面即平面 D1DBB1, 又∵正方体中,B1B⊥平面 ABCD,∴可得平面 B1BDD1⊥面 ABCD,故选 C. 答案:C 8 如图,P 为△ABC 所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D 为 PC 的中点. 求证:PC⊥AB. 证明:∵AP=AC,BP=BC,D 为 PC 中点. ∴PC⊥AD,PC⊥BD. 又∵AD∩BD=D, ∴PC⊥平面 ABD. 又∵AB ? 平面 ABD, 故 PC⊥AB. 综合运用 9 设 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,给出下列四个命 题,其中正确命题的序号是…( ①若 m⊥α,n∥α, 则 m⊥n 则 m∥n ) ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α, 则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α, ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β B.②③ .③④ D.①④ A.①② 解析:①正确.过 n 作平面 γ 作平面 γ∩α=a, ∵n∥α, ∴n∥a,又 m⊥α,a ? α,∴m⊥a,∴m⊥n. ②正确.∵m⊥α,α∥β,∴m⊥β. 又∵β∥γ,∴m⊥γ. ③错.m 与 n 可能平行、相交或异面. ④错.α∥β 或 α 与 β 相交. 答案:A 10 空间四边形 SABC 中,SO⊥平面 ABC,O 为△ABC 的垂心. 求证:平面 SOC⊥平面 SAB. 证明:连结 OC,∵O 为△ABC 的垂心, ∴OC⊥AB. 又∵SO⊥面 ABC. AB ? 面 ABC,∴SO⊥AB. ∴AB⊥面 SOC, 又 AB ? 面 SAB. 故平面 SOC⊥平面 ABC. 11 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上 的射影在这个角的平分线上. 已知:∠BAC 在平面 α 内,点 P ? α,PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥α,垂足分别为 E、F、O,且 PE=PF. 求证:∠BAO=∠CAO. 证明: ? PE ? PF ? ? ? OE ? OF ? PO ? ? ? ? ? PO ? ? ? ? ? ∠BAO=∠CAO. ? ?OE ? AB ? PE ? AB ? ? ? ? ?OF ? AC? PF ? AC? ? ? 拓展探究 12(2006 全国Ⅱ,7(理))如图,平面 α⊥平面 β,A∈α,B∈β,AB 与两平面 α,β 所成的角分别为 AB∶A′B′等于( ? ? 和 .过 A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′,B′,则 4 6 ) A.2∶1 C.3∶2 解析:连结 AB′,BA′, B.3∶1 D.4∶3 则∠ABA′= ∠BAB′= ? . 4 ? , 6 在 Rt△ABB′中, AA? 1 1 AB? 2 2 ? ,AA′= AB. ,AB′= AB.在 Rt△AA′B 中, ? AB 2 2 AB 2 2 ∴在

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