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2015年高中数学 2.3.1平面向量基本定理课件 新人教A版必修4

第二章 平面向量

2.3

平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理

1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解
平面向量基本定理.(重点) 2.理解两个向量夹角的定义,以及两向量的夹角与两直线 所成角的区别.(易混点) 3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用.(难点)

1.平面向量基本定理

2.向量的夹角 条件

两个________ 非零 向量 a 和 b

→ → 作向量OA=a,OB=b, ∠AOB=θ 叫做向量 a 产生过程 则___________ 与 b 的夹角 范围 θ=0° 特殊情况 θ=90° θ=180° _________________ 0°≤θ≤180°

同向 a 与 b________ 垂直 ,记作 a⊥b a 与 b________ 反向 a 与 b________

想一想 平面向量的基底唯一吗? 提示:平面向量的基底不唯一,只要两个向量不共线,都 可以作为平面向量的一组基底.

1.对平面向量基本定理的三点说明
(1)实质 平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任意向 量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式. (2)唯一性 平面向量基本定理中,平面内任意两个不共线的向量都可 以作为基底,一旦选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解 是唯一的.

(3)体现的数学思想 这个定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何 问题时,我们可以选择恰当的基底,将问题中涉及的向量用基 底化归,使问题得以解决.

2.正确理解向量的夹角 (1)向量夹角的几何表示 依据向量夹角的定义,两非零向量的夹角是将两个向量的 起点移到同一点,这样它们所成的角才是两个向量的夹角,如 → → 图①,②,③,④,⑤,已知两向量 a,b,作OA=a,OB=b, 则∠AOB 为 a 与 b 的夹角.

(2)注意事项 ①向量的夹角是针对非零向量定义的; ②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的, 它们分别是[0,
? π? π] 和?0,2?. ? ?

用基底表示向量
→ 如图, 在△OAB 中, OA=a, → OB=b, M、 N 分别是边 OA、 OB 上的点, → 1 → 1 → → 且OM=3a,ON=2b,设AN与BM相交于 → 点 P,用向量 a、b 表示OP.

思路点拨:该题目不能直接通过向量的加、减及数乘运算 确定λ1 ,λ2,可以引进参数,利用 “表示方法的唯一性 ” 确定 参数,进而确定λ1,λ2. → → → → → → 解:∵OP=OM+MP,OP=ON+NP,

→ → → → → → → 1 设 MP = m MB , NP = n NA , 则 OP = OM + m MB = 3 a +
? 1 ? 1 m?b-3a?=3(1-m)a+mb. ? ?

? 1 ? → → → 1 OP=ON+nNA=2b+n?a-2b? ? ?

1 =2(1-n)b+n a. ∵a、b 不共线, ?1 ?3?1-m?=n ∴? ?1?1-n?=m ?2 2 → 1 ∴OP=5a+5b. 1 ?n=5.

1.用基向量表示向量的三个依据

(1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
(2)向量减法的几何意义; (3)数乘向量的几何意义. 2.关于基底的一个结论 设e1,e2是平面内一个基底,当λ1e1+λ2e2=0时,恒有λ1= λ2=0.

如图所示,已知?ABCD 的边 BC,CD 的中点分别为 K,L, → → → → 且AK=e1,AL=e2,试用 e1,e2 表示BC,CD.

→ → 1 解:设BC=x,则BK=2x, 1 1 → → → → 1 AB=AK+KB=e1-2x,DL=2e1-4x. → → → → 又AD=x,由AD+DL=AL得 1 1 x+2e1-4x=e2, 4 2 2 → 4 解方程得 x=3e2-3e1,即BC=3e2-3e1. 1 4 2 → → → → 由CD=-AB,AB=e1-2x,得CD=-3e1+3e2.

向量的夹角问题
(1)若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的 夹角是________.

(2)已知向量 a,b 的夹角为 60° ,试求下列向量的夹角: 2 ①-a 与 b;②2a 与3b.

→ → → → → (1)解析: 作向量OA=a, OB=b, 则 a-b=OA-OB=BA. → → → 由于|a|=|b|=|a-b|,即|OA|=|OB|=|BA|(如图所示),则 a 与 b 的夹角为 60° ,从而 a 与 a+b 的夹角为 30° .

答案:30°

(2)解:①如图所示,∵向量a,b的夹角为60°, ∴向量-a与b的夹角为120°. 2 ②2a 与 a 同向,3b 与 b 同向,

2 ∴2a 与3b 的夹角和 a 与 b 的夹角相同. 2 ∴2a 与3b 的夹角为 60° .

两向量夹角的实质和求解
(1)明确两向量夹角的定义,实质是从同一起点出发的两个 非零向量构成的不大于平角的角,结合平面几何知识加以解 决. (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起

点重合,作出两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤
求出.

【互动探究】
本例(1)中,若|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角. → → 解:如图所示,作OA=a,OB=b,

→ → 以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则BA=a-b,OC =a+b, 所以∠AOC 是 a 与 a+b 的夹角.

因为|a|=|b|=|a+b|, 所以△ OAC 是等边三角形,平行四边形 OACB 是菱形.所 以∠AOC=60°.

易错误区系列(十三) 未弄清向量的夹角而致误
→ → → → → 已知OA=2a,OB=2b,OC=-a+3b,则BA与BC 的夹角为________.
→ → → → → → 解析: 由已知得, BA=OA-OB=2a-2b, BC=OC-OB=

→ → → → (-a+3b)-2b=-a+b,显然BA=-2BC,可见BA与BC共线, → → 且是反向共线,故BA与BC的夹角为 180° .

答案:180°

错解

错因 → → 在求解过程中,由BA=-2BC,得出两向量



→ → 共线,即判定BA与BC的夹角为 0° ,忽略了两 向量共线分为同向共线和反向共线而致误

【纠错提升】求两个向量的夹角时,应把这两个向量平移 到起点重合的位置,若不便于平移,就需要作辅助线,两向量 的夹角的范围是[0°,180°].当两向量同向共线时,其夹角 为0°;当两个向量反向共线时,其夹角为180°.

【即时演练】 在锐角△ABC 中,关于向量夹角的说法正确的是( → → A.AB与BC的夹角是锐角 → → B.AC与AB的夹角是锐角 → → C.AC与BC的夹角是钝角 → → D.AC与CB的夹角是锐角 )

→ → 解析: 由两向量夹角定义知, AB与BC的夹角是 180° -∠B, → → → → → → AB与AC夹角是∠A, AC与BC夹角是∠C, AC与CB的夹角是 180° -∠C.

答案:B


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