当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试 数学 Word版含答案


盐城市 2015 届高三年级第三次模拟考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1.已知集合 A ? x x ? 1 ? 0 ,集合 B ? [0, 2] ,则 A
2

?

?

B?



.

2.若复数 z ? ( x ? i)(1 ? i) 是纯虚数,其中 x 为实数, i 为虚数单位,则 z 的共轭复数

z?



. ▲ .

S?0

I?0

3.根据如图所示的伪代码,则输出的 S 的值为
2

While I ? 4 I ? I ?1 S ?S?I End While Pr int S
第3题

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点重合, 4.若抛物线 y ? 8x 的焦点 F 与双曲线 3 n
则 n 的值为 ▲ .

5.某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, ?, 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ .

6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人,若这四人被录用的机会均等,则甲 与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ .

? x +y ? 2 ? 0 ? 7.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 则目标函数 z ? 2x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 0 ?
8.已知正四棱锥 P ? ABCD 的体积为 9. 若角 ? +





?
4

4 ,底面边长为 2 ,则侧棱 PA 的长为 3



.

的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 y ? ▲ .

1 x 上,则 2

tan ? 的值为

10.动直线 y ? k ( x ? 2) 与曲线 y ? 1 ? x2 相交于 A , B 两点,O 为坐标原点,当 ?AOB 的 面积取得最大值时, k 的值为 ▲ . ▲ 条件. (选

x 2 ?x 11.若函数 f ( x) ? 2 ? k ? 3 ? 2 ,则 k ? 2 是函数 f ( x ) 为奇函数的

?

?

填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 12.在边长为 1 的菱形 ABCD 中, ?A ? 大值为
-1-

2? ,若点 P 为对角线 AC 上一点,则 PB ? PD 的最 3



.

13.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若数列 ?an ? 满足 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C 且 A ? 0 ,则

1 ? B ? C 的最小值为 A





14.若函数 f ( x) ? ? ln x ? ax2 ? bx ? a ? 2b 有两个极值点 x1 , x2 ,其中 ?
2 f ( x2 ) ? x2 ? x 1 ,则方程 2a[ f ( x)] ? bf ( x) ? 1 ? 0 的实根个数为

1 ? a ? 0, b ? 0 ,且 2
▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知 m ? (2sin x,sin x ? cos x) , n ? ( 3 cos x,sin x ? cos x) ,记函数 f ( x) ? m ? n . (1)求函数 f ( x ) 取最大值时 x 的取值集合; (2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f (C) ?2 ,c ? 3 ,求 ?ABC 面 积的最大值.

16.(本小题满分 14 分)

AB ? AC , 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 点 P, Q, R 分别是棱 BC, CC1 , B1C1 BB1 ? BC ,
的中点. (1)求证: A 1R //平面 APQ ; (2)求证:平面 APQ ? 平面 AB1C .
A1 B1 R Q C1

A P B

C

17.(本小题满分 14 分)

第 16 题

某地拟建一座长为 640 米的大桥 AB ,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩 A 、 B 造价总共为 100 万元,当相邻两个桥墩的距离为 x 米时(其中 64 ? x ? 100 ) ,中

-2-

间每个桥墩的平均造价为

80 x x x 万元,桥面每 1 米长的平均造价为 (2 ? ) 万元. 3 640

(1)试将桥的总造价表示为 x 的函数 f ( x ) ; (2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩 A 、 B 除外)应建多少个桥墩?

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C :

第 17 题

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l 2 a b 3

与 x 轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A 、 B 两点. 当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右 焦点时, 弦 AB 的长为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 的坐标为 (

2 6 . 3

3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 3 ,连结点 A 与原点 O 的 2
1 1 ? 为定值?若存在,请指出点 E 的坐标,并求出该 2 EA EB 2
y A

直线交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积; (3)是否存在点 E ,使得

定值;若不存在,请说明理由.

F1 P

O

E

F2

x

B

19.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

第 18 题

m( x ? n ) (m ? 0) . x ?1

(1)当 m ? 1 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线互相垂直,求 n 的值; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在定义域内不单调,求 m ? n 的取值范围;
-3-

(3) 是否存在实数 a ,使得 f (

2a x ) ? f (e ax ) ? f ( ) ? 0 对任意正实数 x 恒成立?若存在, x 2a

求出满足条件的实数 a ;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?

1 (其中 p2 ? q2 ? 0 ) ,且存在无穷数列 ?an ? ,使得函数在其定 2 1+px ? qx

义域内还可以表示为 f ( x) ? 1 ? a1x ? a2 x2 ? (1)求 a2 (用 p, q 表示) ; (2) 当 p ? ?1, q ? ?1 时, 令 bn ?

? an xn ?

.

3 an?1 , 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , 求证:S n ? ; 2 an an? 2

(3)若数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,求 ?an ? 的通项公式.

-4-

盐城市 2015 届高三年级第三次模拟考试
数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答 题纸的指定区域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 在 ?ABC 中,已知 CM 是 ?ACB 的平分线, ?AMC 的外 接圆交 BC 于点 N .若 2AB ? AC , AM ? 长.
B

2 ,求 BN 的
M

A

N

C

B.(选修 4—2:矩阵与变换) 若矩阵 M ? ?

?a ?c

2? ?1? ?1 属于特征值 3 的一个特征向量为 α ? ? ? , 求矩阵 M 的逆矩阵 M . ? 1? ?1?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos(? ?

?
4

) ,以极点 O 为原点,极轴为

? x ? ?1 ? 3t ( t 为参数) ,试判 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?1 ? 4t
断直线 l 与曲线 C 的位置关系,并说明理由.

D.(选修 4-5:不等式选讲) 已知 a, b, c 为正实数,求证:

1 1 ? 2 ? 8ab ? 8 ,并求等号成立的条件. 2 a b

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
-5-

22. (本小题满分 10 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD的底面是菱形,对角线 AC , BD 交于点 O , OA ? 4 ,

OB ? 3 , OP ? 4 , OP ? 底面 ABCD ,设点 M 满足 PM ? ? MC(? ? 0) .
(1)当 ? ?

1 时,求直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值; 2

(2)若二面角 M ? AB ? C 的大小为

? ,求 ? 的值. 4

P M

D O A B

C

23. (本小题满分 10 分)
1 2 3 设 F (n) ? a1 ? a2Cn ? a3Cn ? a4Cn ? n ? (?1)n an?1Cn (n ? 2, n ? N * ) .

(1)若数列 ?an ? 的各项均为 1,求证: F (n) ? 0 ; (2)若对任意大于等于 2 的正整数 n ,都有 F (n) ? 0 恒成立,试证明数列 ?an ? 是等差 数列.

盐城市 2015 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案
-6-

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.

?1?
7. 6

2. ? 2i

3. 15

4. 1

5. 3

6.

5 6

8.

3

9. ?

1 3

10. ?

3 3

11. 充分不必要

12. ?

1 2

13. 2 3

14. 5 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解: (1)由题意,得 f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? 当 f ( x ) 取最大值时,即 sin(2 x ? 所以 x 的取值集合为 ? x x ? k? ?

?
6

),

?
6

) ? 1 ,此时 2 x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

? , k ? Z ? .??????????????7 分 3 ? ? ? ? 11? (2)因 f (C) ? 2 ,由(1)得 sin(2C ? ) ? 1 ,又 0 ? C ? ? ,即 ? ? 2C ? ? , 6 6 6 6 ? ? ? 2 2 2 所以 2C ? ? ,解得 C ? ,在 ?ABC 中,由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C , 6 2 3 1 3 3 2 2 得 3 ? a ? b ? ab ? ab ,所以 S?ABC ? ab sin C ? ,所以 ?ABC 面积的的最大值为 2 4 3 3 .?14 分 4
16. 证明: (1)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC //B1C1 且 BC ? B1C1 , 因点 P, R 分别是棱 BC , B1C1 的中点,所以 BP //B1R 且 BP ? B1R , 所以四边形 BPRB1 是平行四边形,即 PR //BB1 且 PR ? BB1 , 又 AA1 //BB1 且 AA 1 ? BB 1 ,所以 PR //AA 1 ,即四边形 APRA 1 且 PR ? AA 1 是平行四边形, 所以 AP //A1R ,又 A1R ? 平面 APQ ,所以 A 1R// 平面 APQ .??????7 分 (2)因 BB1 ? BC ,所以四边形 BCC1B1 是菱形, 所以 B1C ? BC1 ,又点 P, Q 分别是棱 BC , C1C1 的中点,即 PQ //BC1 ,所以 B1C ? PQ . 因为 AB ? AC ,点 P 是棱 BC 的中点,所以 AP ? BC , 由直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,知 BB1 ? 底面 ABC ,即 BB1 ? AP , 所以 AP ? 平面 BCC1B1 ,则 AP ? B1C ,所以 B1C ? 平面 APQ ,又 B1C ? 平面 AB1C , 所以平面 APQ ? 平面 AB1C ????????????????14 分 17.解: (1)由桥的总长为 640 米,相邻两个桥墩的距离为 x 米,知中间共有 ( 墩,
-7-

? ?

?

640 ? 1) 个桥 x

于是桥的总造价 f ( x) ? 640(2 ? 即 f ( x) ? x 2 ?
3

x x 80 640 )? x( ? 1) ? 100 , 640 3 x

640 ? 80 ? 1 80 1 x 2 ? x 2 ? 1380 3 3 3 1 1 ? 51200 2 80 2 =x 2 ? x ? x ? 1380 ( 64 ? x ? 100 )????????????7 分 3 3 51200 80 (表达式写成 f ( x)=x x ? ? x ? 1380 同样给分) 3 3 x
( 2 ) 由 ( 1 ) 可 求
3 2

f ?( x) ?

3 1 6 ?4 0 ? 3 4 0 ? 2 x2 ? x ? x 2 3 3 8 0 )

1

2 , 整 理 得

4 0

f ?( x? )

1 6

?

x 2( 9 ?x

8 ?x 0

? 6 4 0 ,

由 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 80 , x2 ? ?

640 (舍) ,又当 x ? (64,80) 时, f ?( x ) ? 0 ;当 9

x ? (80,100) 时 , f ?( x ) ? 0 , 所 以 当 x ? 80 , 桥 的 总 造 价 最 低 , 此 时 桥 墩 数 为
640 ? 1=7 ??????????14 分 80
18.解: (1)由

c 6 2 2 ,设 a ? 3k (k ? 0) ,则 c ? 6k , b ? 3k , ? a 3
x2 y2 ? ? 1 ,因直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点,即 9k 2 3k 2

所以椭圆 C 的方程为

xA ? xB ? 6k ,代入椭圆方程,解得 y ? ? k ,于是 2k ?
所以椭圆 C 的方程为 (2)将 x ? 3 代入

2 6 6 ,即 k ? , 3 3

x2 y 2 ? ? 1 ????????????5 分 6 2 x2 y 2 ? ? 1 ,解得 y ? ?1 ,因点 A 在第一象限,从而 A( 3,1) , 6 2

由点 E 的坐标为 (

2 3 2 3 , 0) ,所以 k AB ? ,直线 PA 的方程为 y ? (x ? ) , 2 2 3 3

联立直线 PA 与椭圆 C 的方程,解得 B(?

3 7 ,? ), 5 5

又 PA 过原点 O ,于是 P(? 3, ?1) , PA ? 4 ,所以直线 PA 的方程为 x ? 3 y ? 0 ,

-8-

?
所 以 点

B





线

PA







h?

3 7 3 ? 5 5 2

?

3 3 5



1 3 3 6 3 ??????10 分 S?PAB ? ? 4 ? ? 2 5 5 1 1 ? (3)假设存在点 E ,使得 为定值,设 E ( x0 ,0) , 2 EA EB 2
当直线 AB 与 x 轴重合时,有

12 ? 2 x02 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB2 ( x0 ? 6)2 ( 6 ? x0 )2 (6 ? x02 )2
2 2(1 ? x0 ) 6
2

当直线 AB 与 x 轴垂直时,

1 1 ? ? 2 EA EB 2

?

6 , 6 ? x0 2



12 ? 2 x0 2 6 6 ,解得 x0 ? ? 3 , ? 2, ? 2 2 2 6 ? x0 2 (6 ? x0 ) 6 ? x0
E
, 此 时

所 以 若 存 在 点

E (?

1 1 3 ,, 0 ) 2? EA EB 2

为 定 值

2. ????????????????12 分 根据对称性,只需考虑直线 AB 过点 E ( 3,0) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 又设直线 AB 的方程为 x ? my ? 3 ,与椭圆 C 联立方程组, 化简得 (m2 ? 3) y2 ? 2 3my ? 3 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ?

?3 ?2 3m , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3



1 1 1 1 , ? ? ? 2 2 2 2 2 EA (m ? 1) y12 ( x1 ? 3)2 ? y12 m y1 ? y1

所以

( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB2 (m2 ? 1) y12 (m2 ? 1) y22 (m2 ? 1) y12 y22

1 1 ? ?2. 2 EA EB 2 1 1 ? 综上所述,存在点 E(? 3,0) ,使得 为定值 2?????16 分 2 EA EB 2
将上述关系代入,化简可得 19.解: (1)当 m ? 1 时, g ?( x) ? 由 f ?( x) ?

1? n 1? n ,? y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率 k ? , 2 4 ( x ? 1)

1 1? n ? 1 ? ?1 , , ? y ? f ( x) 在 x ? 1 处 的 切 线 斜 率 k ? 1 , ? x 4

? n ? 5 .?????4 分

-9-

(2)易知函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

又 y? ? f ?( x ) ? g ?( x) ?

1 m(1 ? n) ? ? x ( x ? 1) 2
1 x

x 2 ? ? 2 ? m(1 ? n) ? x ? 1 x( x ? 1) 2

?

x ? 2 ? m(1 ? n) ? ( x ? 1) 2

1 x,

?n ) ? 由 题 意 , 得 x ? 2 ? m( 1 ? n ) ? 的 最 小 值 为 负 , ? m( 1
2

4 (注:结合函数

(m ? (1 ? n))2 ? m(1 ? n) ? 4 , y ? x ??2 ? m (1 ?n 1 象 同 样 可 以 得 到 ), ? ?) x ?图 4

? m ? (1 ? n) ? 4 ,? m ? n ? 3 (注:结合消元利用基本不等式也可).????????9


2a x ) ? f (e ax ) ? f ( ) ? ax ? ln 2a ? ax ? ln x ? ln x ? ln 2a ,其中 x ? 0, a ? 0 x 2a 1 1 则 ? ?( x) ? a ? ln 2a ? a ln x ? a ? ,设 ? ( x) ? a ? ln 2a ? a ln x ? a ? x x a 1 ax ? 1 ? ?( x) ? ? ? 2 ? ? 2 ? 0 x x x
(3)令 ? ( x) =f (

? ? ( x) 在 (0, ??) 单调递减, ? ( x) ? 0 在区间 (0, ??) 必存在实根,不妨设 ? ( x0 ) ? 0
即 ? ( x0 ) ? a ? ln 2a ? a ln x0 ? a ?

1 1 ? 0 ,可得 ln x0 ? ? ln 2a ? 1 (*) x0 ax0

? ( x) 在区间 (0, x0 ) 上单调递增,在 ( x0 , ??) 上单调递减,所以 ? ( x)max ? ? ( x0 ) ,

? ( x0 ) ? (ax0 ?1) ? ln 2a ? (ax0 ?1) ? ln x0 ,代入(*)式得 ? ( x0 ) ? ax0 ?
根据题意 ? ( x0 ) ? ax0 ?

1 ?2 ax0

1 ? 2 ? 0 恒成立. ax0 1 1 时,等式成立 ? 2 ,当且仅当 ax0 ? ax0 ax0

又根据基本不等式, ax0 ?

所 以 ax0 ?

1 1 1 ? 2 , ax0 ? 1 ? x0 ? . 代 入 ( * ) 式 得 , ln ? ln 2a , 即 a a ax0

1 2 ? 2a, a ? ??????16 分 a 2
(以下解法供参考,请酌情给分) 解法 2: ? ( x) ? ax ? ln 2a ? ax ? ln x ? ln x ? ln 2a ? (ax ?1)(ln 2a ? ln x) ,其中 x ? 0, a ? 0
- 10 -

根据条件 f (

2a x ) ? f (e ax ) ? f ( ) ? 0 对任意正数 x 恒成立 x 2a

即 (ax ? 1)(ln 2a ? ln x) ? 0 对任意正数 x 恒成立

? ax ? 1 ? 0 ? ax ? 1 ? 0 1 1 ? ? ? ?ln 2a ? ln x ? 0 且 ?ln 2a ? ln x ? 0 ,解得 ? x ? 2a 且 2a ? x ? , a a ? ? a?0 a?0 ? ?


1 2 ? x ? 2a 时上述条件成立此时 a ? . a 2

解法 3: ? ( x) ? ax ? ln 2a ? ax ? ln x ? ln x ? ln 2a ? (ax ?1)(ln 2a ? ln x) ,其中 x ? 0, a ? 0 要使得 (ax ? 1)(ln 2a ? ln x) ? 0 对任意正数 x 恒成立, 等价于 (ax ? 1)(2a ? x) ? 0 对任意正数 x 恒成立,即 ( x ? )( x ? 2a ) ? 0 对任意正数 x 恒成 立, 设函数 ? ( x) ? ( x ? )( x ? 2a) ,则 ? ( x) 的函数图像为开口向上,与 x 正半轴至少有一个交点 的抛物线, 因此,根据题意,抛物线只能与 x 轴有一个交点,即

1 a

1 a

1 2 ? 2 a ,所以 a ? . a 2

20.解:(1)由题意,得 (1 ? px ? qx2 )(1 ? a1x ? a2 x2 ? 显 然

? an xn ? ) ? 1 ,

x, x2 的 系 数 为

0 , 所 以 ?

?a1 +p ? 0 , 从 而 a1 ? ? p , a + a p + q ? 0 ? 2 1

a2 ? p2 ? q .?????????4 分
n (2)由 p ? ?1, q ? ?1 ,考虑 x (n ? 3) 的系数,则有 an ? pan?1 ? qan?2 ? 0 ,

? a1 ? 1 ? 得 ? a2 ? 2 ,即 an?2 ? an?1 ? an , ? a ? a ? a ? 0(n ? 3) n ?1 n?2 ? n
所以数列 ?an ? 单调递增,且 bn ?

an? 2 ? an 1 1 ? ? , an an? 2 an an ? 2 ?( 1 1 ? ), an an? 2

所以 Sn ? (

1 1 1 1 1 1 ? )?( ? )?( ? )? a1 a3 a2 a4 a3 a5

当 n ? 2 时, Sn ?

1 1 1 1 3 1 1 3 ? ? ? ? ? ? ? .??????????10 分 a1 a2 an +1 an?2 2 an +1 an?2 2
- 11 -

(3)由(2) an ? pan?1 ? qan?2 ? 0 , 因数列 ?an ? 是等差数列, 所以 an ? 2an?1 ? an?2 ? 0 , 所以 (2+p)an?1 ? (1 ? q)an?2 对一切 n ? 3 都成立, 若 an ? 0 ,则 p ? q ? 0 ,与 p2 ? q2 ? 0 矛盾, 若数列 ?an ? 是等比数列,又据题意 ?an ? 是等差数列,则 ?an ? 是常数列,这与数列 ?an ? 的公 差不为零矛盾, 所以 2 ? p ? 1 ? q ? 0 , 即 p ? ?2 由 (1) 知 a1 ? 2 ,a2 ? 3 , 所以 an ? n ? 1 .???16 , q? 1 , 分 (其他方法:根据题意可以用 p 、 q 表示出 a1 , a2 , a3 , a4 ,由数列 ?an ? 为等差数列,利 用 2a2 ? a1 ? a3 , 2a3 ? a2 ? a4 解方程组也可求得.) 解法 2:由(1)可知 a1 ? ? p , a2 ? p2 ? q ,因为数列 ?an ? 是等差数列,设公差为 d

d ? a2 ? a1 ? p2 ? q ? p , a3 ? 2 p2 ? 2q ? p , a4 ? 3 p2 ? 3q ? 2 p . 又 由 ( 2 )
an ? pan?1 ? qan?2 ? 0 ,
所以 a3 ? pa2 ? qa1 ? 0, 得 p( p ? 1)2 ? 2q( p ? 1) ? 0 ,若 p ? 1 ? 0, 即 p ? ?1, 时, a1 ? 1 , 因此 p ? ?1, 则 q ? a2 ? 1 ,d ? 0 与条件公差不为零相矛盾, 可得

p ( p ? 1) .由 a4 ? pa3 ? qa2 ? 0 , 2

3 p2 ? 3q ? 2 p ? p(2 p2 ? 2q ? p) ? q( p2 ? q) ? 0 ,整理可得 (2 p ? q ? 3)( p2 ? q) ? p2 ? 2 p ? 0 代 入 q ?
p ? ?2
若 p ? 0 ,则 p ? q ? 0 ,与 p2 ? q2 ? 0 矛盾, 若 p ? ?2 ,则 q ? 1 ,满足题意, 所以 an ? n ? 1

p( p ? 1 ) 1 2 , p ( p ? 2)( p ? 1) ? 0 , p ? 0 或 2 4

附加题答案 B.解:由题意,得 ?

?a ?c

2? ?1? ?1? ?a ? 1 ?1 ,所以 M ? ? ? 3 ? ? ,解得 ? ? ? ? 1 ? ?1? ?1? ?c ? 2 ?2

2? . 1? ?

- 12 -

设 M ?1 ? ?

?x ?z

y? ?1 ,则 MM ?1 ? ? ? w? ?2

2? ? x ? 1? ? ?z

y ? ?1 ?? w? ? ?0

0? , 1? ?

? 1 2? ?? 3 3 ? 1 2 2 1 ?1 解得 x ? ? , y ? , z ? , w ? ? ,即 M ? ? ? .??????????10 分 3 3 3 3 ?2 ? 1? ? 3? ?3 ? C.解:将直线 l 与曲线 C 的方程化为普通方程, 得直线 l : 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,所以曲线 C 是以 (1,1) 为圆心, 2 半径为 2 的圆,所以圆心到直线 l 的距离 d ? ? 2 ,因此,直线 l 与曲线 C 相 5
交. ??????????10 分

,0 ,0) 22. 解: (1) 以 O 为坐标原点, 建立坐标系 O ? ABP , 则 A(4

,B(0,3, 0) ,C (?4, 0, 0) ,

D(0, ?3, 0) ,P(0, 0, 4) , 所以 PA ? (4,0, ?4) ,DB ? (0,6,0) ,AB ? (?4,3,0) .当 ? ?
得 M (?

1 时, 2

4 8 4 8 , 0, ) , 所 以 MB ? ( ,3, ? ) , 设 平 面 BDM 的 法 向 量 n ? ( x, y, z) , 则 3 3 3 3

?6 y ? 0 ? ,得 y ? 0 , 8 ?4 x ? 3 y ? z ? 0 ? 3 ?3
令 x ? 2 ,则 z ? 1 ,所以平面 BDM 的一个法向量 n ? (2,0,1) , 所 以 c o s PA n, ?

4 10 , 即 直 线 PA 与 平 面 BDM 所 成 角 的 正 弦 值 ? 4 2 ? 5 10

10 .??????5 分 10
(2)易知平面 ABC 的一个法向量 n1 ? (0,0,1) . 设 M (a, 0, b) ,代入 PM ? ? MC ,得 (a, 0, b ? 4) ? ? (?4 ? a, 0, ?b) ,

?4? ? a? ? ?4 ? 4 4? ?4 ? 1? ? , 0, ) ,所以 MB ? ( ,3, ), 解得 ? ,即 M ( 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ?b ? 4 ? 1? ? ?

??4 x ? 3 y ? 0 ? 设平面 BDM 的法向量 n2 ? ( x, y, z) ,则 ? 4? , 4 x ? 3 y ? z ? 0 ? 1? ? ?1 ? ?

- 13 -

消去 y ,得 (2? ? 1) x ? z ,令 x ? 1 ,则 z ? 2? ? 1 , y ? 所以平面 BDM 的一个法向量 n2 ? (1, , 2? ? 1) ,

4 , 3

4 3

所以

2 ? 2

1 4 1 2? ? 1 ,解得 ? ? 或 ? ,因为 ? ? 0 ,所以 ? ? .?????10 3 3 3 16 1 ? ? (2? ? 1) 2 9
n , ? (?1) n Cn


0 1 2 3 23. 证: (1)因数列 ?an ? 满足各项为 1,即 F (n) ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?
0 1 2 2 3 3 由 (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? Cn x ? 0 1 2 3 则 0 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? n n ? Cn x ,令 x ? ?1 ,

n ,即 F (n) ? 0 ..?????????3 分 ? (?1)n Cn

1 2 (2)当 n ? 2 时, F (2) ? a1 ? a2C2 ? a3C2 ? 0 ,即 2a2 ? a1 ? a3 ,所以数列 ?an ? 的前 3 项

成等差数列.
1 3 假设当 n ? k 时, 由 F (k ) ? a1 ? a2Ck ? a3Ck2 ? a4Ck ?

可得数列 ?an ? 的 ? (?1)k ak +1Ckk ? 0 ,

前 k +1 项成等差数列,???????????????????????????5 分 因对任意大于等于 2 的正整数 n ,都有 F (n) ? 0 恒成立,所以 F (k +1) ? 0 成立,
1 2 3 k k ? ?a1 ? a2Ck ? a3Ck ? a4Ck ? ? (?1) ak +1Ck ? 0 所以 ? , 1 2 3 k +1 k +1 ? ?a1 ? a2Ck +1 ? a3Ck +1 ? a4Ck +1 ? ? (?1) ak ? 2Ck +1 ? 0

两式相减得,
1 1 2 2 ?a2 (Ck +1 ? Ck ) ? a3 (Ck +1 ? Ck ) ? m?1 m?1 m 因 Cn , ? Cn ?1 ? Cn 0 1 所以 ?a2Ck ? a3Ck ? a4Ck2 ? 0 1 即 a2Ck ? a3Ck ? a4Ck2 ? +1 ? (?1)k ak +1 (Ckk+1 ? Ckk ) ? (?1)k +1 ak +2Ckk+1 ? 0,

? (?1)k ak +1Ckk ?1 ? (?1)k +1 ak ?2Ckk ? 0 ,

? (?1)k ?1 ak +1Ckk ?1 ? (?1)k ak ?2Ckk ? 0 ,

由假设可知 a2 , a3 , a4 ,

, ak +1 , ak ?2 也成等差数列,从而数列 ?an ? 的前 k ? 2 项成等差数列.

综上所述,若 F (n) ? 0 对任意 n ? 3 恒成立,则数列 ?an ? 是等差数列. ???????10 分

- 14 -


相关文章:
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试 数学 Word版含答案.doc
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试 数学 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。盐城市 2015 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 分,考试时间 ...
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试数学试题word版 ....doc
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试数学试题word版 含答案_数学_高中教育_教育专区。盐城市 2015 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 分,考试时间 ...
盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学试 题及答案(W....doc
盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学试 题答案(WORD)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学试 题答案(WORD) ...
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试.数学 Word版含答案.doc
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试.数学 Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试 盐城市 2015 届高三年级第三次模拟...
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试数学试题(word版....doc
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试数学试题(word版含答案) - 盐城市 2015 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空...
...届高三年级第三次模拟考试数学试题 Word版含答案.doc
江苏省盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。盐城市 2018 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 ...
江苏省盐城市2016届高三年级第三次模拟考试数学(word,....doc
江苏省盐城市2016届高三年级第三次模拟考试数学(word,含答案)_数学_高中教育_教育专区。盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 分,考试时间...
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试数学 Word版含答案.doc
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试数学 Word版含答案_高中教育_教育专区。盐城市 2015 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 分,考试时间 120 分钟...
江苏省盐城市2016届高三年级第三次模拟考试数学试卷 Wo....doc
江苏省盐城市2016届高三年级第三次模拟考试数学试卷 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 分,考试...
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试_数学(Word版).doc
江苏省盐城市2015届高三第三次模拟考试_数学(Word版) - 盐城市 2015 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大...
江苏省盐城市2016届高三年级第三次模拟考试(word,含答案).doc
江苏省盐城市2016届高三年级第三次模拟考试(word,含答案) - 盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 分,考试时间 120 分钟) 参考公式 1....
...市2015届高三第三次模拟考试 数学 Word版含答案.doc
暂无评价|0人阅读|0次下载 2015南京三模 江苏省南京市2015届高三第三次模拟考试 数学 Word版含答案_高中教育_教育专区。南京市 2015 届高三年级第三次模拟考试 ...
江苏省盐城市2016届高三年级第三次模拟考试数学(word,....doc
江苏省盐城市2016届高三年级第三次模拟考试数学(word,含)介绍 - 盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 (总分 160 分,考试时间 120 分钟) 参考公式 ...
2014江苏省盐城市高三三模数学试卷(WORD版,含答案).doc
2014江苏省盐城市高三三数学试卷(WORD版,含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。盐城市 2014 届高三年级第三次模拟考试 数学试题一、填空题:本大题共 14...
...市2015届高三第一次模拟考试 数学 Word版含答案.doc
江苏省南京市、盐城市2015届高三第次模拟考试 数学 Word版含答案 - 南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题...
...市2015届高三第一次模拟考试 数学 Word版含答案.doc
江苏省南京市、盐城市2015届高三第次模拟考试 数学 Word版含答案 - 南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题...
南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学WORD版及答案.doc
南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学WORD版答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。南京市2015届高三年级第三次模拟考试 数学答案(word版) 2015.05 ...
四川省资阳市2015届高三第三次模拟考试数学(文)试卷_Wo....doc
四川省资阳市2015届高三第三次模拟考试数学(文)试卷_Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。四川省资阳市2015届高三第三次模拟考试数学(文)试卷_Word版...
江苏省南京市2015届高三第三次模拟考试 数学 Word版含答案.doc
江苏省南京市2015届高三第三次模拟考试 数学 Word版含答案_高中教育_教育
...市2019年高三第三次模拟考试数学试题 Word版含解析.doc
江苏省盐城市2019年高三第三次模拟考试数学试题 Word版含解析 - 高考不是