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2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第八章立体几何8.6空间向量及其运算


8.6

空间向量及其运算

考纲要求 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

1.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数 λ,使 得______. (2)共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条 件是存在唯一的有序实数对(x,y),使________. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有 序实数组{x,y,z},使得______________.其中,{a,b,c}叫做空间的一个______. 推论:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的一个有序实
[来源:学.科.网]

数组{x,y,z},使 OP =____________. 2.两个向量的数量积

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(1)两向量的夹角:已知两个非零向量 a,b,在空间中任取一点 O,作 OA =a, OB = b,则______叫做向量 a,b 的夹角,记作〈a,b〉 .通常规定____≤〈a,b〉≤____.若〈a, b〉=____,则称向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b. (2)两向量的数量积. 两个非零向量 a,b 的数量积 a· b=______________. (3)向量的数量积的性质(e 是单位向量): ①a· e=|a|______________;②a⊥ b?a· b=____; ③|a|2=a· a=____;④|a· b|____|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律: ①(λa)· b=λ(a· b);②a· b=______(交换律); ③a· (b+c)=____________(分配律). 3.空间向量的坐标运算 (1)设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a ±b=____________________; λa=________________(λ∈R); a· b=________________; a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=____; a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R); |a|2=a· a?|a|= a12+a22+a32(向量模与向量之间的转化); a1b1+a2b2+a3b3 a· b cos〈a,b〉= = . 2 |a||b| a1 +a22+a32 b12+b22+b32 (2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),

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??? ? ??? ? | AB |= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.
1.在下列命题中: ①若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; ②若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; ③若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; ④已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使

得 p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是 ( ). A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值为( ). 1 3 7 A.1 B. C. D. 5 5 5 3.已知 a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则 λ 与 μ 的值可以是( ). 1 1 1 A.2, B.- , 2 3 2 C.-3,2 D.2,2 4.已知四边形 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点 D 的坐标为________. 5.已知 a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则 a,b 的夹角的余弦值为__________.

一、空间向量的线性运算 【例 1-1】如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 AA 1 =a, AB =b, AD =c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a, b,c 分别表示以下各向量:

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MP + NC1 . (1) AP ;(2) A 1 N ;(3)
【例 1-2】已知 O 是空间中任意一点,A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四 点共面,且 OA =2x BO +3y CO +4z DO ,则 2x+3y+4z=__________. 方法提炼 空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的, 要用类比的思想去掌握. 在空间向量 的加、减、数乘等线性运算中,要选择适当的向量为基底,用基向量表示出相关向量后再进 行向量的运算,同时还要以相应的图形为指导. 请做演练巩固提升 1 二、空间向量的数量积 【例 2】已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 AB =a, AC =b, (1)若|c|=3,且 c∥ BC ,求向量 c; (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值. 方法提炼 1.两个向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,这是与空间向量的加、减、数乘 等线性运算最大的区别. 2.利用两空间向量的数量积运算公式,可以求向量的模、求两个向量的夹角、证明两 个向量垂直等. 请做演练巩固提升 3 三、空间向量的坐标运算 【例 3-1】已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c, 求:(1)a,b,c;

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(2)a+c 与 b+c 所成角的余弦值. 【例 3-2】如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA= 90° ,棱 AA1=2,M,N 分别是 A1B1,AA1 的中点.

(1)求 | BN |;

????

(2)求 cos〈 BA1 , CB1 〉的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 方法提炼 空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约, 可以将空间元素的位置关系转化成 数量关系,将逻辑推理转化成数量计算,可以化繁为简,因此是处理空间问题的一种重要工 具和方法. 请做演练巩固提升 2 正确构建空间直角坐标系 【典例】(12 分)如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 3 1 的坐标是? , ,0?,点 D 在平面 yOz 内,且∠BDC=90° ,∠DCB=30° . ?2 2 ?

????

????

???? ? ???? ??? (2)设 AD 和 BC 的夹角为 θ,求 cos θ 的值.
(1)求 OD 的坐标;

规范解答:(1)如图所示,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E.在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90° ,
∠DCB=30° ,BC=2,得 BD=1,CD= 3.

∴DE=CDsin 30° =

3 . 2

1 1 OE=OB-BDcos 60° =1- = . 2 2 1 3 ∴D 点坐标为?0,- , ?, 2 2? ? ???? 1 3 即 OD 的坐标为?0,- , ?.(6 分) 2 2? ? ???? ??? ? ??? ? 3 1 (2)依题意, OA =? , ,0?, OB =(0,-1,0), OC =(0,1,0), ?2 2 ?

∴ AD = OD - OA =?-

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? ? ???? ??? 由 AD 和 BC 的夹角为 θ, 3 3 ???? ??? ? - ×0+(-1)×2+ ×0 2 2 AD ? BC 得 cos θ= ???? ??? ? = ?- 3?2+(-1)2+? 3?2 02+22+02 AD BC ? 2? ?2?
=- 10 . 5
[来源:学科网 ZXXK]

? ???? ??? ? 3 3? ??? , BC = OC - OB =(0,2,0).(8 分) ,-1, 2 2?

10 .(12 分) 5 答题指导:解答空间向量的计算问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度 关注: (1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握 不熟练导致失误; (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化. 另外, 平时要重视运算的训练, 强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的 方法. ∴cos θ=-

1.如图,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且分 MN 所成的比为 2,现用基向量 OA , OB , OC 表示向 量 OG ,设 OG =x OA +y OB +z OC ,则 x,y,z 的值分别是(

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).

1 1 1 A.x= ,y= ,z= 3 3 3 1 1 1 B.x= ,y= ,z= 3 3 6 1 1 1 C.x= ,y= ,z= 3 6 3 1 1 1 D.x= ,y= ,z= 6 3 3 2.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λb),则实数 λ 的值为( ). 14 14 A.-2 B.- C. D.2 3 5 3.如图,在 30° 的二面角 α-l-β 的棱上有两点 A, B,点 C,D 分别在 α,β 内,且 AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=AB=1,则 CD 的长度为________.

4.已知 O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA · QB 取 最小值时,点 Q 的坐标是__________.

??? ? ??? ?

5.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1, 且两两夹角为 60° . (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.(1)a=λb (2)p=xa+yb (3)p=xa+yb+zc 基底 x OA +y OB +z OC π 2. (1)∠AOB 0 π (2)|a||b|cos 〈a, b〉 (3)①cos 〈a, e〉 ②0 ③a2 ④≤ (4)②b· a 2 ③a· b+a· c 3.(1)(a1±b1,a2±b2,a3±b3) (λa1,λa2, λa3) a1b1+a2b2+a3b3 0 基础自测 1.A 解析:①错,向量 a,b 所在的直线可能重合;②错,向量 a,b 可以平行移动 到同一平面内; ③错, 如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量;④错,a, b, c 要求不共面. 2.D 解析:ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2). ∵(ka+b)⊥(2a-b), 7 ∴3(k-1)+2k-4=0,解得 k= . 5 1 3.A 解析:∵a∥b,∴2μ-1=0,∴μ= ,排除 C,D 两项. 2 代入 A,B 选项验证可得,λ=2 成立. 4.(5,13,-3) 解析:设 D(x,y,z),
[来源:Zxxk.Com]

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则 AB = DC , ∴(-2,-6,-2)=(3-x,7-y,-5-z). 3-x=-2, ? ? ∴?7-y=-6, ? ?-5-z=-2. x=5, ? ? 解得?y=13, ? ?z=-3.
[来源:Z+xx+k.Com]

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∴D(5,13,-3). 2 5.- 5 解析:∵a· b=1×0+2×2+(-2)×4=-4, 15 且|a|= 12+22+(-2)2=3,|b|= 0+22+42=2 5, -4 a· b 2 ∴cos θ= = =- 5. |a||b| 3×2 5 15

??? ? ???? ????? ???? ? 1 【例 1-1】解:(1) AP = AA + + A D D P 1 1 1 1 =a+c+2b. ? ???? ???? ? ???? ??? 1 (2) A 1N = A 1 A + AB + BN =-a+b+2c.
(3) MP + NC1 = DA 1 +A 1D 1+D 1P + NC + CC1 1 1 1 = a+c+ b+ c+a 2 2 2 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2 【例 1-2】-1 解析:∵A,B,C,D 四点共面, ∴ OA =m OB +n OC +p OD , 且 m+n+p=1.

考点探究突破

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由条件知 OA =(-2x) OB +(-3y) OC +(-4z) OD , ∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1. ∴2x+3y+4z=-1. 【例 2】解:(1)∵c∥ BC ,

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??? ? ??? ? 又∵ BC =(-2,-1,2),
∴c=k BC ,k∈R. ∴可设 c=(-2k,-k,2k). 又∵|c|= 4k2+k2+4k2=3|k|=3, ∴k=±1. ∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2). (2)∵a= AB =(1,1,0),b= AC =(-1,0,2), ∴a· b=-1,|a|= 2,|b|= 5, a· b -1 10 ∴cos θ= = =- . |a||b| 10 10 (3)∵ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4), ∵ka+b 与 ka-2b 互相垂直, ∴(ka+b)· (ka-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8=0, 5 解得 k=2 或 k=- . 2 【例 3-1】解:(1)因为 a∥b, x 4 1 所以 = = ,解得 x=2,y=-4, -2 y -1 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为 b⊥c,所以 b· c=0, 即-6+8-z=0,解得 z=2, 于是 c=(3,-2,2). (2)由(1)得 a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 5-12+3 2 因此 a+c 与 b+c 所成角的余弦值为 cos θ= =- . 19 38· 38 【例 3-2】解:如图所示,建立以 C 为原点的空间直角坐标系 C-xyz,

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(1)依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1), 则| BN | = (1-0)2+(0-1)2+(1-0)2 = 3. (2)依题意得 A1(1,0,2),B(0, 1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), ∴ BA1 =(1,-1,2), CB1 = (0,1,2). ∴ BA1 · CB1 =3,| BA1 |= 6,| CB1 |= 5,

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???? ???? ???? ???? BA1 ? CB1 30 ∴cos〈 BA1 , CB1 〉= ???? ???? = 10 . BA1 CB1

????? 1 1 1 1 ? , ,2 ,∴ C1M =? , ,0?. (3)证明:依题意得 C1(0,0,2),M? ?2 2 ? ?2 2 ?
又A 1B =(-1,1,-2),

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???? ????? 1 1 ∴A C1M =-2+2+0=0. 1B ·
∴A 1B ⊥ C1M ,即 A1B⊥C1M. 演练巩固提升 1.D 解析: 由题图可知 OG = OM + MG , ???? ? 2 ???? ? ???? ? ???? ??? ? ???? 而 MG = MN , MN = MA + AB + BN 3 ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ? ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? 1 ??? = OA + OB - OA + BC =- OA + OB + ( OC - OB ) 2 2 2 2 ? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? =- OA + OB + OC . 2 2 2

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???? 1 ??? ? 2 ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ? OG =2 OA +3 ? ? OA ? OB ? OC ? 2 2 ? 2 ? ? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? = OA + OB + OC . 6 3 3
1 1 1 ∴x= ,y= ,z= . 6 3 3 2.D 解析:a-λb=(λ-2,1-2λ,3-λ). 由 a⊥(a-λb)得-2(λ-2)+1-2λ+9-3λ=0, 解得 λ=2.

? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ∵| CD |=| CA + AB + BD |, ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? AB + 2 AB · BD + ∴| CD |2 = | CA + AB + BD |2 = | CA |2 + | AB | + | BD |2 + 2 CA · ? ??? ? ??? BD 2 CA · ? ??? ? ??? =3+2| CA |· | BD |cos 150° =3- 3. ??? ? ∴| CD |= 3- 3. ??? ? ???? 4 4 8? , , 4.? 解析: 设 = λ =(λ,λ,2λ), OP OQ ?3 3 3? ??? ? ??? ? 则 QA =(1-λ,2-λ,3-2λ), QB =(2-λ,1-λ,2-2λ). ??? ? ??? ? 4? 2 ∴ QA · QB =(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6? ?λ-3? -
∴ AC 与 BD 的夹角为 30° . 2 . 3

3. 3- 3 解析:∵BD⊥AB,CA⊥AB,

??? ? ??? ? 4 2 ∴当 λ= 时, QA · 取最小值为- . QB 3 3 ???? 4 4 8 ? ?4 4 8? 此时, OQ =? ?3,3,3?,即 Q 点的坐标是?3,3,3?.
5.解:记 AB =a, AD =b, AA 1 =c, 1 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° ,∴a· b=b· c=c· a= . 2 (1)| AC1 |2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(a · b+b· c+c· a) 1 1 1? ? =1+1+1+2×?2+2+2?=6,

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[来源:Z#xx#k.Com]

???? ? ∴| AC1 |= 6,

即 AC1 的长为 6.

(2) BD1 =b+c-a, AC =a+b,

???? ?

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∴| BD1 |= 2,| AC |= 3, BD1 · AC =(b+c-a)· (a+b) 2 2 =b -a +a· c+b· c=1.

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???? ? ????

???? ? ???? ???? ? ???? BD1 ? AC 6 ∴cos〈 BD1 , AC 〉= ???? ? ???? = 6 . BD1 AC
∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为 6 . 6


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