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圆锥曲线解题方法技巧总结(附答案)


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2013-12-29 人教版

圆锥曲线解题方法技巧总结
大纲教学目标 个性化教学目标

上课时间

2014-1-3

圆锥曲线知识点及题型回顾整理 培养学生分析能力和逻辑思维能力.

圆锥曲线知识点的综合应用 掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法

第一部分:知识梳理
名 称 椭圆 双曲线

图 象

平面内到两定点 常数(大于 圆即

的距离的和为

平面内到两定点 对值为常数(小于 迹叫双曲线 即

的距离的差的绝 )的动点的轨

)的动点的轨迹叫椭

定 义 教学 过程

当 2 ﹥2 时,轨迹是 当 2 =2 ,轨迹是 当 2 ﹤2 时,轨迹

当 2 ﹤2 时,轨迹是 当 2 =2 时,轨迹是 当 2 ﹥2 时,轨迹

焦点在 轴上时: 标 准 方 程 注:根据 点在哪一坐标轴上 常 数 , 的 关 系 最大, , 判断焦 焦点在 轴上时:

焦点在 轴上时: 焦点在 注: 根据 点在哪一坐标轴上 轴上时: 来判断焦

, 最大,可以

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焦点在 轴上时: 渐 近 线 焦点在 轴上时:

共 焦 点 方 程

抛物线

图 形

方 程 焦 点 准 线

第二部分:题型方法技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义: 定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常 数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小 于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此 常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |, 定义中的 “绝对值” 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。 2a =|F 1 F 2 |, 与 若 则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝 对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是___
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__ (答: 双曲线的左支)

如已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ?

x2 上一动点 P (x,y) y+|PQ|的最小值是_____ ,则 (答 2) 4

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置 的方程) : (1)椭圆:焦点在 x 轴上时
2 2

x2 y2 y2 x2 ,焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) a b a2 b

(a ?b?0) 。方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。 如(1)已知方程

x2 y2 ? ? 1 表 示 椭 圆 , 则 k 的 取 值 范 围 为 ____ ( 答 : 3? k 2? k

1 1 ; (?3, ? ) ? (? , 2) ) 2 2
(2)若 x, y ? R ,且 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 的最小值是___
2 2

(答: 5, 2 )

(2) 双曲线: 焦点在 x 轴上:
2 2

x2 y2 y2 x2 焦点在 y 轴上: 2 ? 2 =1 a ? 0, b ? 0 ) ( 。 ? 2 =1, a2 b a b

方程 Ax ? By ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ?

2 的双曲线 C 过点

P(4,? 10 ) ,则 C 的方程为_______(答: x 2 ? y 2 ? 6 )
(3)抛物线:开口向右时 y ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y ? ?2 px( p ? 0) ,开口向上
2 2

时 x ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x ? ?2 py ( p ? 0) 。
2 2

如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短 距离。

5 4

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x , y
2 2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 如已知方程 m ?1 2 ? m
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(答: (??,?1) ? (1, ) ) (2)双曲线:由 x 2 , y
2

3 2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位 置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参 数 a, b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题 时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大,
2 2 2

c 2 ? a 2 ? b2 。
4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 (1)椭圆(以 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦点: a b
两个焦点 (?c,0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点

(?a,0),(0, ?b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;④准线:两条准线 x ? ?
率: e ?

a2 ; ⑤离心 c

c ,椭圆 ? 0 ? e ? 1, e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 a
x2 y2 10 ,则 m 的值是 ? ? 1 的离心率 e ? 5 m 5
(答:3 或

如(1)若椭圆

25 ) ; 3

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的 最小值为 (2)双曲线(以 (答: 2 2 )

x2 y 2 :①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ;② ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) a 2 b2

焦点:两个焦点 (?c,0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两个 顶点 (?a,0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为 等轴双曲线,其方程可设为 x 2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ?

a2 ; ⑤离心率: c

e?

c ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大; a
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⑥两条渐近线: y ? ?

b x。 a
13 2

如 (1)双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于______(答:



13 ) ; 3
(2)双曲线 ax ? by ? 1 的离心率为 5 ,则 a : b =
2 2

(答:4 或

1 ) ; 4

(3)设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角(锐 a2 b2

角或直角)θ 的取值范围是________(答: [

? ?

; , ]) 3 2

(4) 已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点为 A1、A2, P 是双曲线上 2010 2009
) D.以上情况均有可能

任意一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定( A.相交
2

B.相切

C.相离

(3)抛物线(以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 (

p , 0) , 2

其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心, 只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ?
2

p c ; ⑤离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。 2 a
1 ; )) 16 a

如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________(答: (0,

5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: a2 b2
2 2 x0 y0 ? 2 ? 1; a2 b

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ?

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ?

2 2 x0 y 0 ? 2 =1; a2 b

2 2 x0 y0 (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 2 ? 2 ? 1 a b

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交 不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故
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? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相交,但
直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且 只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 如 (1) 若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点, k 的取值范围是_ 则 (答:(2 2

_

15 ,-1)) ; 3

(2) 直线 y―kx―1=0 与椭圆 [1,5)∪(5,+∞); ) (3)过双曲线

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______(答: 5 m

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这 1 2

样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物 线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物 线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切 和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与

x2 y2 抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线 2 ? 2 =1 外一点 a b
P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含双曲
线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条; ②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲 线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一 渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总 有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如 (1) 过点 (2,4) 作直线与抛物线 y ? 8 x 只有一个公共点, 这样的直线有_____ (答: ; 2)
2

(2) 过点(0,2)与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ ___ 9 16
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(答: ? ?

? 4 4 5? ? ? ,? ; ?) 3 ? ? 3 ? ?
y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则满足 2

(3)过双曲线 x 2 ?

条件的直线 l 有____条(答:3) ; (4)对于抛物线 C: y ? 4 x ,我们称满足 y 0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,
2
2

若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部, 则直线 l :y 0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______ (答:相离) ; (5)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长
2

分别是 p 、 q ,则

1 1 ; ? ? _______(答:1) p q

x2 y2 (6)设双曲线 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右支和 16 9
右准线分别于 P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于) ; (7)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28 上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离(答:
2 2

8 13 ) ; 13

(8)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分 别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时, AB 为直径的圆过坐标原点? 以 (答: ? 3, 3 ; ① ② a ? ?1 ) ; 7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转 化到相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 如(1)已知椭圆 为____(答:

?

?

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离 25 16

35 ) ; 3
2

(2)已知抛物线方程为 y ? 8 x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物线的 焦点的距离等于____; (3) 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4, 则点 M 的坐标为_____ (答:7, (2, ?4) ) ;
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(4)点 P 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 25 9

的横坐标为_______(答:
2

25 ) ; 12

(5)抛物线 y ? 2 x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距 离为______(答:2) ; ( 6 ) 椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有 一点 P(1,?1) , F 为 右焦点, 在椭圆 上有一点 M, 使 4 3
2 6 ; ,?1) ) 3

MP ? 2 MF 之值最小,则点 M 的坐标为_______(答: (

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:

S ? b 2 tan
S? b2 tan

?
2


? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线

?
2

如 (1)短轴长为 5 ,离心率 e ?

2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A、 3

B 两点,则 ?ABF2 的周长为________(答:6) ; (2) 设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点,F1 、 F2 是左右焦点,若

PF2 ? F1 F2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为
(3)椭圆

(答: x 2 ? y 2 ? 4 ) ;

x2 y2 → → ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1 <0 时,点 P 9 4
(答: ( ?

的横坐标的取值范围是

3 5 3 5 , )) ; 5 5

(4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与 2

双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________ (答: 8 2 ) ; (5) 已知双曲线的离心率为 2, 1、 2 是左右焦点, 为双曲线上一点, ?F1 PF2 ? 60 , F F P 且
?

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S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程(答:

x2 y 2 ; ? ? 1) 4 12

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线 相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦, A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线 交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O, C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的 横 坐 标 , 则 AB = 1 ? k
2

x1 ? x2 , 若 y1 , y2 分 别 为 A 、 B 的 纵 坐 标 , 则 AB =

1?

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k 2 y1 ? y2 。特 2 k

别地,焦点弦(过焦点的弦) :抛物线焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用定义求解。 如 (1) 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A 1, 1) B 2, 2) (x y , (x y 两点, x1+x2=6, 若 那么|AB|等于_______(答:8) ; (2)过抛物线 y ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原
2

点,则Δ ABC 重心的横坐标为_______(答:3) ; (3)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点恰为双曲线 12 x ? 4 y ? 3 的右焦点,且倾斜
2 2 2

角为 ? 的直线交抛物线于 P , Q 两点,则 | y1 ? y2 | 的值为( A. 2 B. 4 C. 4 2

3 4

) D. 8

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
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在椭圆

b2 x x2 y2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ;在双曲 a y0 a2 b

b 2 x0 x2 y2 线 2 ? 2 ? 1 中 , 以 P( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 2 ;在抛物线 a b a y0

y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=

p 。 y0

如(1)如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

(答: x ? 2 y ? 8 ? 0 ) ;

(2)已知直线 y=-x+1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB a 2 b2
2 ) ; 2

的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答:

(3) 试确定 m 的取值范围, 使得椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有不同的两点关于直线 y ? 4 x ? m 4 3

对称(答: ? ?

? 2 13 2 13 ? ? 13 , 13 ? ) ? ; ? ?

(4)抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 (答: x ?

1 1 (y ? )) 2 2

特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、 对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 12.你了解下列结论吗?
2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 b (2) y ? ? x 为渐近线 以 (即与双曲线 x ? y ? 1 共渐近线) 的双曲线方程为 x ? y ? ? (? 2 2 2 2 a a b a b

为参数, ? ≠0)。

如与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3 ) 的双曲线方程为_______(答: 9 16

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4x2 y 2 ? ? 1) 9 4
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ? ny ? 1 ;
2 2

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为

2b 2 ,焦准距(焦点到相应准 a

b2 线的距离)为 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
2

① | AB |? x1 ? x2 ? p ;② x1 x2 ?
2

p2 , y1 y2 ? ? p 2 4

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒 经过定点 (2 p,0) 13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y ) ? 0 ; 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程.(答:

y 2 ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4 x(0 ? x ? 3) );
②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0)(m ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m, 以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答: y ? 2 x ) ;
2

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点

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的轨迹方程; 如(1)由动点 P 向圆 x ? y ? 1作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=600,
2 2

则动点 P 的轨迹方程为

(答: x ? y ? 4 );
2 2

(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是 _______ (答: y ? 16 x );
2

(3) 一动圆与两圆⊙M: x ? y ? 1 和⊙N: x ? y ? 8 x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心
2 2 2 2

的轨迹为

(答:双曲线的一支);

④代入转移法: 动点 P( x, y ) 依赖于另一动点 Q( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q( x0 , y0 ) 又 在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的轨迹 方程; 如动点 P 是抛物线 y ? 2 x 2 ? 1 上任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程为__________(答: y ? 6 x 2 ?
? ??

1 ); 3

⑤参数法:当动点 P( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考 虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 如(1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。(答: x ? y ? a | y | );
2 2

(2) 若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x ? y ? 1 上运动, 则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____ (答:
2 2

1 y 2 ? 2 x ? 1(| x |? ) ); 2
(3)过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的
2

轨迹方程是________(答: x ? 2 y ? 2 );
2

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向 量的特点出发, 考虑选择向量的几何形式进行 “摘帽子或脱靴子” 转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

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如已知椭圆

x2 y2 、F ,Q ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 是 a2 b2

椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并 且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0.(1)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?

c (2)求点 x; a

T 的轨迹 C 的方程; (3) 试问: 在点 T 的轨迹 C 上, 是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. (答: (1)略; (2) x ? y ? a ;
2 2 2

(3)当

b2 b2 ? a 时不存在;当 ? a 时存在,此时∠F1MF2=2) c c

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双 重身份――对称性、利用到角公式)、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “分类 讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ,那么可选择应用“斜率或向量”为桥 梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n ? ; (2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 ? , 使AB ? ? AC ;③若存在实数

?

?

?

?

?

?

?

? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
(6) 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等 于已知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角,

????

??? ?

??? ?

? ? ? MA MB ? ? (8)给出 ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ?
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(9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆 的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重 心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三 角形的垂心是三角形三条高的交点) ;
2 2 2

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ? ???? AB AC ? ? (14) ?ABC 中, 在 给出 OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ) (? ? R ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的 | AB | | AC |
内心; (15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角 形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ?ABC 中,给出 AD ?

? 1 ??? ???? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2 2 ????? ????? y 2 ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF 1 ? MF 2 ? 0, 则点 如(1)已知双曲线 x ? 2

????

?

?

M 到 x 轴的距离为(C) (A)

4 3

(B)

5 3

(C)

2 3 3
?

(D) 3

(2)已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x ? 3 )i ? yj ,

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? b = ( x ? 3 )i ? yj ,且满足 b ? i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹. ? ? ?2 ? ? 解: ? b ? i ? ( x ? 3)i ? yi ? j ? x ? 3 ,
∴x? 3 ?

( x ? 3) 2 ? y 2 ,化简得 y 2 ? 4 3 x ,

故点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 x ? ? 3 为准线的抛物线 (3)已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p>0)上异于原点的两点,OA ? OB ? 0 ,点 C 坐标为(0, 2p) (1)求证:A,B,C 三点共线; (2)若 AM = ? BM ( ? ? R )且 OM ? AB ? 0 试求点 M 的轨迹方程。

??? ??? ? ?

???? ??? ? ?

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??? ??? ? ? x12 x2 2 (1)证明:设 A( x1 , ), B ( x2 , ) ,由 OA ? OB ? 0 得 2p 2p
x1 x2 ?

???? ? x 2 ??? x 2 ? x12 x12 x2 2 ) ? 0,? x1 x2 ? ?4 p 2 ,又? AC ? (? x1 , 2 p ? 1 ), AB ? ( x2 ? x1 , 2 2p 2p 2p 2p

???? ??? ? x2 2 ? x12 x12 ?? x1 ? ? (2 p ? ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,? AC // AB ,即 A,B,C 三点共线。 2p 2p ???? ??? ? ? (2)(1) 由 知直线 AB 过定点 C, 又由 OM ? AB ? 0 及 AM = ? BM( ? ? R ) OM?AB, 知
垂足为 M,所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆,除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x?0,y?0)。 15.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标 为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标 为 。 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现,当 A、P、F 三 点共线时,距离和最小。

A Q H P F B

(2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,距离和最小。 解: (2, 2 ) ( (1) (2)

1 ,1 ) 4

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细 体会。

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一 例 2、F 是椭圆 4 3
定点,P 为椭圆上一动点。 (1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为

y A F 0 ′ F P H x

分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ? 或准线作出来考虑问题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?
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PA ? PF ? PA ? 2a ? PF ? ? 2a ? ( PF ? ? PA ) ? 2a ? AF ? ? 4 ? 5
当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)3 ∴ PF ? 作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=

1 , 2

1 PH ,即2 PF ? PH 2

∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH

当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

a2 ? xA ? 4 ?1 ? 3 c

作业 见附页测试卷一份!
本节课教学计划完成情况:照常完成□ 学生的接受程度:完全能接受□ 课 后 记 学生的课堂表现:很积极□ 提前完成□ 延后完成□

部分能接受□ 一般□

不能接受□ 不积极□ 分 存在问题

比较积极□

学生上次的作业完成情况:数量 备 注

% 完成质量

班主任签字

家长或学生签字

教研主任审批

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