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金识源专版高中数学2.3.1直线与平面垂直的判定教案新人教A版必修2

2. 3.1 直线与平面垂直的判定
【教学目标】 1.借助对实例、图片的观察,提炼直线与平面垂直的定义,并能正确理解直线与平面 垂直的定义; 2.通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直的判定定理,并能运用判定定理证 明一些空间位置关系的简单命题; 3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力,同时感悟和体验“空 间问题转化为平面问题”、 “线面垂直转化为线线垂直”、 “无限转化为有限”等数学思想. 【教学重难点】 教学重点:运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 教学难点:运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 【教学过程】 1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象 问题 1:空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系? 问题 2:在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么?请举例说明. 设计意图:此问基于学生的客观现实,通过对生活事例的观察,让学生直观感知直线 与平面相交中一种特例: 直线与平面垂直的初步形象, 激起进一步探究直线与平面垂直的意 义. 2.提炼直线与平面垂直的定义 问题 3:你能给出直线和平面垂直的定义吗?回忆一下直线与直线垂直是如何定义 的? 设计意图: 两直线垂直有相交垂直和异面垂直, 而异面直线垂直是转化为两直线相交 垂直,实质上是将空间问题转化为平面问题,让学生回忆直线与直线垂直的定义,旨在由此 得到启发:用“平面化”的思想来思考问题,即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线, 来定义这条直线与这个平面垂直? 问题 4:结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义. (1)阳光下,旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是多少? (2)随着太阳的移动,影子 BC 的位置也会移动,而旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度是否会 发生改变? (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什么 设计意图:主要引导学生通过观察 直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来 分析、归纳直线与平面垂直这一概念.
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(学生叙写定义,并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化) 思考:(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这 个平面垂直? (2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个平面内的所 有直线?(对问(1),在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示;对问(2)可 引导学生给出符号语言表述:若 ,则 )

设计意图:通过对问题(1)的辨析讨论,深化直线与平面垂直的概念.通过对问题 (2)的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法. 通常定义可以作为判定依据, 但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面 垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直, 这给我们的判定带来困难, 因为我 们无法去一一检验. 这就有必要去寻找比定义法更简捷、 可行的直线与平面垂直的判定方法. 3.探究直线与平面垂直的判定定理 创设情境 猜想定理:某公司要安装一根 8 米高的旗杆,两位工人先从旗杆的顶点

挂两条长 10 米的绳子,然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一 直线上).如果这两点都和旗杆脚距离 6 米,那么表明旗杆就和地面垂直了,你知道这是为 什么吗? 设计意图:引导学生根据直观感知以及已有经验,进行合情推理,猜想判定定理. 学生活动:(折纸试验)请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过三 角形的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD(如图 1),将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、 DC 与桌面接触)

问题 5:(1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直?(组织学生动手操作、 探究、确认)
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设计意图:通过折纸让学生发现当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,且 B、D、C 不在 同一直线上的翻折之后竖起的折痕 AD 才不偏不倚地站立着,即 AD 与桌面垂直(如图 2), 其它位置都不能使 AD 与桌面垂直. 问题 6:在你翻折纸片的过程中,纸片的形状发生了变化,这是变的一面,那么不变 的一面是什么呢?(可从线与线的关系考虑)如果我们把折痕抽象为直线 ,把 BD、CD 抽 象为直线 是什么? ,把桌面抽象为平面 (如图 3),那么你认为保证直线 与平面 垂直的条件

对于两条相交直线必须在平面内这一点,教师可引导学生操作:将纸片绕直线 AD(点 D 始终在桌面内)转动,使得直线 CD、BD 不在桌面所在平面内.问:直线 AD 现在 还垂直于 桌面所在平面吗?(此处引导学生认识到直线 CD、BD 都必须是平面内的直线) 设计意图: 通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内, 从而更凸现出直线与 平面垂直判定定理的核心词:平面内两条相交 直线. 问题 7:如果将图 3 中的两条相交直线 、 的 位置改变一下,仍保证 吗?

,(如图 4)你认为直线 还垂直于平面

设计意图: 让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直, 取决于在这个平面 内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点, 这是无关紧要的. 根据试验,请你给出直线与平面垂直的判定方法. (学生叙写判定定理,给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化) 问题 8:(1)与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪 里? (2)你觉得定义与判定定理的共同点是什么?

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设计意图:通过和直线与平面垂直定义的比较,让学生体会“无限转化为有限”的数 学 思想,通过寻找定义与判定定理的共同点,感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线 面垂直转化为线线垂直”的数学思想. 思考: 现在, 你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗?为什么要求绳子在地面 上两点和旗杆脚不在同一直线上? 如果安装完了,请你去检验旗杆与地面是否垂直,你有什么好方法? 设计意图:用学到手的知识解释实际生活中的问题,增强学生用数学的意识,同时通过 提出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上?”(对该问题可引导学生 用三角形纸片来验证),从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解. 4.直线与平面垂直判定定理的应用 如图5,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,请列举与平面 ABCD 垂直的直线.并说明这些直 线有怎样的位置关系?

思考:如图6,已知

,则

吗?请说明理由. (分别用直线与平面

垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明;并让学生用语言叙述:如 果两条平行 直线 中的一条直线垂直于一个平面,那么另一 条直线也垂直于这个平面) 设计意图: 这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题, 这个命题体现了 平行关系与垂直关系之间的联系. 练习:如图7,在三棱锥 V-ABC 中 ,VA=VC,AB=BC,K 是 AC 的中点.

求证:AC⊥平面 VKB
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思考: (1)在三棱锥 V-ABC 中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC; (2)在⑴中,若 E、F 分别是 AB、BC 的中点,试判断 EF 与平面 VKB 的位置关系; (3)在⑵的条件下,有人说“VB⊥AC, VB⊥EF, ∴VB⊥平面 ABC”,对吗? 设计意图:例 2 重在对直线与平面垂直判定定理的应用.变式(1)在例 2 的基础上, 应用了直线与平面垂直的意义;变式(2)是对例 1 判定方法的应用;变式(3)的判断在于 进一步巩固直线与平面垂直的判定定理.3 个小题环环相扣,汇集了本节课的学习内容,突 出了知识间内在联系和融会贯通. 5.总结反思,当堂检测 (1)本节课你学会 了哪些判断直线与平面垂直的方法?试用自己理解的语言叙述. (2)直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法? 检测设计 1.课本 P66 探究:如图 2.3-7,直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为 直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么条件时,A1C⊥B1D1. 2.如图9,PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,写出图中所有的直角三角形.

【 板书设计】 一、直线与平面垂直的定义 二、直线与平面垂直的判定定理 三、例题 例1 变式 1 【作业布置】课本 P67 练习 2

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