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第一章集合与函数概念复习与巩固

第一章集合的基本运算及函数概念与表示方法
撰稿:吕宝珠 审稿:石小燕 责编:张杨

集合的基本运算 一、课标要求:
集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

二、要点精讲
1.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A (3)简单性质:1) S,则, ;2) . 称 S 中子集 A 的补集;

2.交集与并集: (1)一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集. 交集 .

(2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的 并集. 并集 .

注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与 并集的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去 揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法. 3.集合运算的简单性质: (1) (2) (3) (4) (5) ; .

三、典例解析
1. 已知集合 () (A) (B) (C)
1





, 则

(D)

解: 故

, .

2 .集合 , 解:集合 ∵ ∵ ∵ ∴剩下的 9,10 必在 由图观察得 转化为 ,将 4,5 填入



, ,求集合 . 中; 中但不是 中但不是 和 .

,且



,将 1,2,3 填入

中; 中,

,将 6,7,8 填入 中但不是 中. .

评注:用 Venn 图表示集合可使集合运算化难为易.

3.已知全集 I=N*,集合 A={x|x=2n,n N*} ,B={x|x=4n,n N*} ,则( ) A.I=A C.I=A B ( B) B.I=( D.I=( A) A) B ( B) B 中元素是非 4 的倍数的自然数,

解:方法一:

A 中元素是非 2 的倍数的自然数,

显然,只有C选项正确. 方法二:因 A={2,4,6,8?} ,B={4,8,12,16,?} , 所以 B={1,2,3,5,6,7,9?} ,所以 I=A A,所以 A B,( A) ( B)= B,故答案为C. A,故 I=A A, ( A)=A ( B).

方法三:因 B

方法四:根据题意,我们画出 Venn 图来解,易知 B 如图:可以清楚看到 I=A ( B)是成立的.

评注:本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结 合的思想方法,用无限集考查,提高了对逻辑思维能力的要求.

4.设 是全集,集合 可表示为( )

是它的子集,则图中阴影部分

2

(A) (B) (C) (D) 解:由已知图知“ 示, 两者同时成立用 表示,故选(A). 或 ”可用 表示, “ 且 ”的补集可用 表

5.设 为全集, 断正确的是( ) (A) (C)

是 的三个非空子集且

,则下面论

(B) (D) , 且 , 则

解 : 画 出 符 合 条 件 的 特 殊 图 形 : ,

即可排除(A)(B)(D),故选(C). 评注:用 Venn 图表示集合可使抽象集合问题直观求解.有时也可取 符合题意的特殊图形,通过排除法间接地获解.

函数概念与表示方法 一、课标要求
1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此 基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数, 体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 了解 构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念; 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数; 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.

二、要点精讲
1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作:y=f(x),x A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x A }叫做函数的值域. 注意:(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; (2)函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x.
3

2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: ①自然型:指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如:分式函数的分母不为 零,偶次根式函数的被开方数为非负数,等等); ②限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也 是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; ③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际意义. (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数 的值域问题. ①配方法(将函数转化为二次函数); ②判别式法(将函数转化为二次方程); ③不等式法(运用不等式的各种性质); ④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等). 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、 值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义 域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数 的两个基本条件, 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两个函数才是同 一个函数. 4.区间 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作“f:A B”. 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意 两个非空集合” ,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就 叫映射. 注意: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示 具体的对应法则,可以用汉字叙述. (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思. 6.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解 析表达式,简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的解析式不同, 这种函数又称 分段函数;
4

8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x (a,b),u (m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变 量,它的取值范围是 g(x)的值域.

三、典例解析
题型一:函数概念

1.设函数 解:这是分段函数与复合函数式的变换问题,需要反复进行数值代换,

= =

2 .函数 _____;

对于任意实数

满足条件

,若



解:由





所以

,则

.

题型二:判断两个函数是否相同 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= ,g(x)= ;

(2)f(x)= (3)f(x)= (4)f(x)=

,g(x)= ,g(x)= ,g(x)= (n N*); ;

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1. 解:(1)由于 f(x)= =|x|,g(x)= =x,故它们的值域及对应法则都不相同,

所以它们不是同一函数;
5

(2)由于函数 f(x)=

的定义域为(-∞,0)

(0,+∞),而 g(x)=

的定

义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n N*时,2n±1 为奇数, ∴f(x)= =x, g(x)= 所以它们是同一函数; (4)由于函数 f(x)= 而 g(x)= =x, 它们的定义域、 值域及对应法则都相同,

的定义域为{x|x≥0}, 的定义域为{x|x≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们

不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数. 点评:对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同 时,y=f(x)和 y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反 之亦然. ①第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透.要知道,在 函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下, 自变量变换字母, 以至变换成其他字母的表达式, 2 2 这对于函数本身并无影响,比如 f(x)=x +1,f(t)=t +1,f(u+1)=(u+1)2+1 都可视为同一函数. ②对于两个函数来讲, 只要函数的三要素中有一要素不相同, 则这两个函数就不可能是 同一函数. 题型三:函数定义域问题

4.已知函数 f(x)=

的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( )

A.a>

B.-12<a≤0

C.-12<a<0

D.a≤

解:由 a=0 或 题型四:函数值域问题 5.求下列函数的值域:

可得-12<a≤0,答案 B.

(1)

;(2)

;(3)

解:(1)(配方法)





的值域为

.

6

变式题:求函数



的值域.

(2)





,∴



∴函数

的值域为

.

(3) ∴ 题型五:函数解析式 ,∴函数值域为 .

6.(1)已知 (2)已知

,求 是一次函数,且满足

; ,求 ;

(3)已知

满足

,求

.

解:(1)∵ ∴ (2)设 则 ∴ ∴ , , . ( 或 , ).





(3)

①,

把①中的 换成

,得

②,

7



②得





.

点评:第(1)题用配凑法;第(2)题已知一次函数,可用待定系数法;第(3)题用方程组法. 题型六:函数应用 7.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每 辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为:

=12,所以这时租出了 88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为:

f(x)=(100-

)(x-150)-

×50,

整理得:f(x)=-

+162x-21000=-

(x-4050)2+307050.

所以,当 x=4050 时,f(x)最大,其最大值为 f(4050)=307050. 即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307050 元. 点评:根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,在设定或选 定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后, 还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限 制.

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