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2019年人教版必修五高中数学2.2等差数列2.2.2精讲优练课型优质课课件_图文

第2课时 等差数列的性质 【知识提炼】 1.等差数列的项与序号的关系 两项 关系 an=am+_______(n (n-m)d ,m∈N*) 多项 若{an}为等差数列,且m+n=p+q(m,n,p, 关系 q∈N*),则__________ am+an=ap+aq 2.等差数列的对称性 在有穷等差数列{an}中,与首末两项“等距离”的两项 之和等于首项与末项的和,即a1+an=______=______=… a2+an-1 a3+an-2 3.等差数列的“子数列”的性质 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d, (1)将数列中的前m项去掉,其余各项组成首项为____, am+1 公差为__的等差数列. d (2)奇数项数列{a2n-1}是公差为___的等差数列. 2d 偶数项数列{a2n}是公差为___的等差数列 . (3)若数列{kn}是等差数列,则数列 { 2d }也是等差数列. a kn 4.等差数列的单调性 等差数列{an}的公差为d, (1)当d>0时,数列{an}为_____数列. 递增 (2)当d<0时,数列{an}为_____数列. 递减 (3)当d=0时,数列{an}为___数列. 常 【即时小测】 1.判断 (1)若数列{an}为等差数列,则an+1=an-1+2d,n>1,且 n∈N*.( ) (2)若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则 am+an=ap.( ) (3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差 数列且其公差为原数列公差的两倍.( ) 【解析】 (1)正确.由等差数列中任意两项的关系知an+1=an-1+2d. (2)错误.因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d, m+n=p,所以am+an=2a1+(m+n-2)d=2a1+(p-2)d, 又因为ap=a1+(p-1)d,所以要使am+an=ap, 还须有a1+(p-1)d=2a1+(p-2)d,即a1=d. 所以若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则 am+an=ap不一定成立. (3)正确.根据等差数列的定义可以判定. 答案:(1)√ (2)× (3)√ 2.等差数列a1,a2,a3,…,an的公差为d,则数列5a1, 5a2,5a3,…,5an是( ) A.公差为d的等差数列 C.非等差数列 B.公差为5d的等差数列 D.以上都不对 【解析】选B.5an+1-5an=5(an+1-an)=5d,n∈N*. 所以5a1,5a2,5a3,…,5an是公差为5d的等差数列. 3.等差数列{an}中,a100=120,a90=100,则公差d等于 ( A.2 B.20 C.100 D.不确定 ) 【解析】选A.因为a100-a90=10d,所以10d=120-100=20, 所以d=2. 4.等差数列{an}中,a2=5,a6=33,则a3+a5=______ 【解析】由等差数列的性质可得 a3+a5=a2+a6=5+33=38. 答案:38 5.已知递增的等差数列{an}满足a1=1,a3=a22-4,则 an=________. 【解析】设等差数列的公差为d, 因为a3=a22-4,所以1+2d=(1+d)2-4, 解得d2=4,即d=±2. 由于该数列为递增数列,故d=2. 所以an=1+(n-1)×2=2n-1. 答案:2n-1 【知识探究】 知识点1 等差数列通项公式的推广 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:等差数列通项公式的推广形式是什么?如何证 明? 问题2:等差数列通项公式的推广形式的几何意义是什 么? 【总结提升】等差数列通项公式的推广形式 (1)公式的证明 设等差数列{an}的公差为d,则 an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d, 两式相减得an-am=(n-m)d,即an=am+(n-m)d. (2)公式的理解 等差数列{an}的图象是均匀分布在一条直线上的孤立 的点,任选其中两点(n,an)(m,am)(m≠n),类比直 线的斜率公式可知公差 an ? am d? . n?m 知识点2 等差数列的性质 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:如何证明上图中的性质1? 问题2:等差数列还有哪些常用结论? 【总结提升】 1.等差数列中四项关系的性质及证明 (1)若等差数列{an}中,m,n,p,q∈N*且m+n=p+q, 则am+an=ap+aq. 证明:设等差数列{an}的公差为d, am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d =2a1+(p+q-2)d, 因为m+n=p+q, 所以am+an=ap+aq. (2)若am+an=ap+aq,则m+n=p+q不一定成立.例如,公差 为0时,总有am+an=ap+aq,m+n=p+q不一定成立. 2.等差数列几个常用的结论 若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列: (1){c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列. (2){c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列. (3){ank}(k∈N*)是公差为kd的等差数列. 【题型探究】 类型一 等差数列中任意两项关系的应用 【典例】1.(2015·邢台高一检测)数列{an}中,a3=2, a7=1,又数列{ a8=( A. ) 1 an ?1 }是公差为d的等差数列,则 B.0 C. D.-1 11 13 2 3 2.数列{an}是公差为-2的等差数列,且a1+a4+a7+… +a28=100,求a3+a6+a9+…+a30的值. 【解题探究】1.典例1中,等差数列{ 何计算?要求a8须先求什么? 1 }的公差如 an ?1 }的第3项和

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