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高中数学 1.1.1集合的含义与表示精讲精析 新人教A版必修1

1.1.1 集合的含义与表示 精讲部分 学习目标展示 1. 元素与集合的概念 2. 集合中元素的性质 3. 集合的表示方法 4. 数学中常用数集及其记法 5. 集合的分类 衔接性知识 1. 如果 k 是整数, 那么 2k ? 1 表示所有 奇 数;2 k 表示所 偶 数。 2. 如果 a 为实数,则 3 a3 ? a , a 2 ? | a | ,当 a ? 0 时, a 2 ? a ,当 a ? 0 时, a 2 ? ?a 3. 一元一次方程与不等式的解法 ( 1 )一元二次方程 ax ? b (a ? 0) 的根为 ( 2 )一元二次不等式 ax ? b (a ? 0) , 当 a ? 0 时,它的解为 4. 一元二次方程 ax 例:求方程 4 x ( 1 )公式法 当??b 2 2 2 x? b a x? b a ; 当 a ? 0 时,它的解为 x? b 。 a ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解法 ? 16 ? 7 ? 0 的根 ? 4ac ? 0 时,方程有两个不相等的实数根 ? b ? b 2 ? 4ac 2 ;当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有两个相等的实数根 x? 2a x?? b 2 ;当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有没有实数根。 2a ? ( ?16)2 ? 4 ? 4 ? 7 ? 144 ? 0 ,所以原方程的根为 解: ? x? 16 ? 144 7 16 ? 144 1 ? ,或 x ? ? 2? 4 2 2? 4 2 ( 2 )配方法 解: 4 x 2 ? 16 ? 7 ? 0, ? x2 ? 4 x ? 7 9 3 , ( x ? 2)2 ? ,x ? 2 ? ? 4 4 2 所以 x? 1 7 或x? 2 2 ( 3 )因式分解法 4 x 2 ? 16 ? 7 ? 0 , (2 x ? 1)(2 x ? 7) ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 或 2 x ? 7 ? 0 ,所以 x ? 基础知识工具箱 要点 1 7 或x? 2 2 定义 符号 小写拉丁字母 元素 研究的对象 a,b,c, 大写拉丁字母 集合 一些元素组成的总体 A, B ,C , a? A 元 属于 如果 a 是集合 A 中的元 素与 集合 不属 的关 于 系 素,就说 a 属于集合 A A 中的 A 如果 a 不是集合 元素,就说 a 不属于集合 a? A 1. 确定性: 集合中的元素 是确定的 集合中元素的 性质 2. 无序性: 集合的元素怀 顺序无关 3. 互异性: 集合中的元素 没有相同的 构成两个集合的元素是 集合相等 一样的 1. 自然数集(非负整数 常用的数集 集) 2. 正整数集 3. 整数集 4. 有理数集 5. 实数集 集 列举 合的 法 表示 把集合中的元素一一列 举出来, 并有花括号“ {} ”括起 来表示集合的方法 一 a ? A 与 a ? A 者必居其 {a , b} ? {b , a} 若 a , b ? A,则 a ?b A? B N N ? 或 N? Z Q R {a1 , a2 , a3 , , an } 法 描述 法 用集合中所含元素的共 同特征表法集合的方法 { x ? A | P( x)} 或 { x | p( x), x ? A} (如果从上下文看 是明确的,可以省略) 有限 集 集 集合中元素的个数是有 一般可有列法表示 限个的 无限 集 空集 集合中元素的个数是无 一般用描述法表示 限个的 集合中不含任何元素 x? A 合的 分类 ? 0 是最小的自然数, 首先, 而 ? 与 {0} 集合, 0 , ? 与 {0} 区 分两 类集 合 它们三者不是一回事; ? 是不含有任何元素的 集合, {0} 是以 0 为元素的集合; 0 ? {0} , 0 ? ? , {0} ? ? 它们是三个不同的集合, {(1 , 2)} 是单元素 集,这个集合中只含有一个点 (1 , 2) (或者说 {1 , 2} , {(1 , 2)} 与 { x ? 1 , y ? 2} 数对 (1 , 2) ) ; {1 , 2} 与 { x ? 1 , y ? 2} 是二元 素集, {1 , 2} 的两个元素是自然数 1 与 2 ,而 { x ? 1 , y ? 2} 的两个元素是两个方程(也可 以说等式) 典例精讲剖析 例 1. 已知集合 M x ?1 与 y?2 ? { x | x ? 3k ? 1 , k ? Z } ,用 ? 与 ? 填空: 1 M , ?1 M , 25 M , ?29 M 解:令 3k ? 1 ? 1,得 k 令 3k ? 1 ? ?1 ,得 k 令 3k ? 1 ? 25 ,得 k ? 0 ? Z ,所以 1 ? M ; ? 2 ? Z ,所以 ?1 ? M ; 3 ? 8 ? Z ,所以 25 ? M ; ? ?10 ? Z ,所以 ?29 ? M 令 3k ? 1 ? ?29 ,得 k 例 2. 用描述法和列举法表示下列集合 ( 1 ) 4 的平方根组成的集合; ( 2 )与它的倒数相等的数组成的集合; ( 3 )不等式 ?2 x ? 6 ? 0 的自然数根; ( 4 )方程 解: ( 1 )描述法表示为 { x ? R | x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 解集 x 2 ? 4} 或 { x | x 2 ? 4 , x ? R} 或 { x | x 2 ? 4 } ,列举法表示为 {?2 , 2} ( 2 )描述法表示为 { x ? R | x? 1 1 } 或 { x | x ? , x ? R} 或 x x {x | x ? 1 },列举法表示为 {?1 , 1} x x ? 3 , x ? N } 或 { x ? N | x ?

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