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2015年秋新人教B版高中数学选修2-2:2.2.2《反证法》ppt课件_图文

成才之路 ·数学 人教B版 ·选修2-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 推理与证明 第二章 2.2 直接证明与间接证明 第2课时 反证法 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 甲、乙、丙三人站成一列,甲 在前,丙在后,乙在中间.有 3 红 2 黑 5 顶帽子,现在随机抽取 3 顶分 别戴在甲、乙、丙三人头上.只有 站在后面的人才可以看见前面的人 头上帽子的颜色.让这三人各自猜自己头上帽子的颜色,结果 丙先说不知道,然后乙也说不知道,最后甲猜出自己头上帽子 的颜色是红色的.你知道甲是怎么推理的吗? 1.命题有几种形式?什么样的命题具有相同的真假性? 2.你知道如何将“他俩说的都对”否定吗? 答案:1.命题有:原命题、否命题、逆命题、逆否命题四 种形式,一个命题和它的逆否命题具有相同的真假性. 2.他俩说的不都对. 一、反证法 1.反证法的定义 一般地,由证明 p?q 转向证明? q?r???t,t 与假设矛 盾,或与某个真命题矛盾,从而判定? q 为假,推出 q 为真的方 法,叫做反证法. 2.反证法的证题步骤 3.注意的问题 (1)反证法中的“反设”是应用反证法的第一步,也是关键 的一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条 件.“反设”是否正确、全面,将直接影响下一步的证明.要 做好“反设”必须正确分清题设和结论;对结论实施正确的否 定;对结论否定时,找出其所有的分类情况. 在否定命题的结论时,当命题的结论的反面非常明显并且 只有一种情形时,比较容易作出否定,但命题的结论的反面是 多种情形或者比较隐晦时,就不太容易作出否定.这时必须认 真分析、仔细推敲,在提出“假设”后,再回过头来看看“假 设”的对立面是否恰是命题的结论. (2)反证法的“归谬”是反证法的核心,其含义是:从命题 的结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题 的条件出发,引用一系列的论据进行正确推理,推出与已知条 件、定义、定理、公理等相矛盾的结果. 3.常见的“原结论词”与“假设词” 原结论词 只有一个 对所有 x 成立 对任意 x 不成立 假设词 没有或至 少有两个 存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立 原结论词 假设词 都是 一定是 p或q ? p 且? q p且q ? p 且? q 不都是 一定不是 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 假设词 一个也没有 (不存在) 至少有两个 至多有 (n-1)个 至少有 (n+1)个 已知p3+q3=2,求证:p+q≤2. [证明] 假设 p+q>2,则 q>2-p, 从而 q3>8-12p+6p2-p3, 即 q3>2+6(p-1)2-p3, 于是 p3+q3>2+6(p-1)2. 又∵(p-1)2≥0,∴p3+q3>2. 此结论与已知 p3+q3=2 矛盾,因此 p+q>2 不成立,即 p +q≤2. 二、反证法的适用范围 反证法不是直接证明命题结论正确,而是利用“原命题的 否定不成立,则原命题一定成立”来进行证明的.因而如果结 论的反面比结论本身更具体、更明确、更简单,则适宜用反证 法.反证法证题主要有以下几种类型: 1.唯一性命题的证明可考虑使用反证法. 2 .当命题中涉及“至少”“至多”“无限”时,可考虑 使用反证法. 3.直接证明较繁琐或较困难时,可考虑使用反证法. 4 .当问题的结论是以否定形式出现的否定性命题时,可 考虑使用反证法. 5.结论的反面为简单明确的命题,可考虑使用反证法. 1 1 1 证明:不论 x、y 取任何非零实数,等式 x+y= 总不成 x+y 立. 1 1 1 [证明] 假设存在非零实数 x1、y1,使得等式x +y = 成 x+y 立,则有 y1(x1+y1)+x1(x1+y1)=x1y1, y1 2 3 2 2 2 ∴x1+y1+x1y1=0,∴(x1+ ) + y1=0, 2 4 y1 2 3 2 ∵x1,y1≠0,∴(x1+ 2 ) +4y1>0, 从而得出矛盾,故原命题成立. 课堂典例探究 用反证法证明存在性命题 证明:二次函数 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx +a, y=cx2+2ax+b(a, b, c≠0)(a, b, c 是互不相同的实数). 它 们的图象至少有一个与 x 轴有两个交点. [解析] 假设三个图象都不与 x 轴有两个交点. ?Δ1=?2b?2-4ac≤0 ? 2 则?Δ2=?2c? -4ab≤0 ?Δ =?2a?2-4cb≤0 ? 3 ?b2≤ac ? 2 ∴?c ≤ab ?a2≤cb ? . 三个式子相加得,a2+b2+c2≤ab+bc+ca. ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. ∴a-b=b-c=c-a=0. ∴a=b=c 与已知矛盾. 所以三个图象至少有一个与 x 轴有两个交点. [方法总结] (1)反证法是利用原命题的否命题不成立则原 命题一定成立来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中 罗列出与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,反证法都是 不完全的. (2) 对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、 “不可能”等字样时,常用反证法. π π 2 若 a、b、c 均为实数,且 a=x -2y+2,b=y -2z+3,c π 2 =z -2x+6.求证:a、b、c 中至少有一个大于 0. [证明] 假设 a,b,c 都不大于 0, 2 即 a≤0,b≤0,c≤0,则 a+b+c≤0. π 2 π 2 π 而 a+b+c=x -2y+2+y -2z+3+z -2x+6 2 =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3. ∵π-3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0. ∴a+b+c>0,这与 a+b+c≤0 矛盾, 因此 a,b,c 中至少有一个大于 0

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