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第五讲 函数的定义域与值域


第五讲函数的定义域与值域
一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分共 36 分,将正确答案的 代号填在题后的括号内.) 1.(郑州模拟)函数 y= A.{x|x<0} B.{x|x>0} C.{x|x<0 且 x≠-1} D.{x|x≠0 且 x≠-1,x∈R} 解析:依题意有 ? {x|x<0 且 x≠-1}. 答案:C 2.(山东临沂模拟)下列表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是( x y A.[2,5] C.(0,20] 0<x<5 2 B.N D.{2,3,4,5} 5≤x<10 3 10≤x<15 4 15≤x≤20 5 )
( x ? 1) 0 的定义域是( | x | ?x

)

? x ? 1≤ 0 , 解得 x<0 且 x≠-1,故定义域是 ?| x | ? x ? 0

解析:函数值只有四个数 2?3?4?5,故值域为{2,3,4,5}. 答案:D 3.(2010·天津)设函数

g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x), g(x)=x2-2(x∈R), f ( x) ? ? 则 f(x)的值域是 ? g ( x) ? x, x ≥ g ( x). ?
( )
1

? 9 ? A. ? ? ,0 ? ? (1, ??) ? 4 ? ? 9 ? C . ? ? , ?? ? ? 4 ?

B.[0, ??) ? 9 ? D. ? ? ,0 ? ? (2, ??) ? 4 ?

解析:令 x<g(x),即 x2-x-2>0,解得 x<-1 或 x>2.令 x≥g(x),而 x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.

? x 2 ? x ? 2( x ? ?1或x ? 2), 故函数 f ( x) ? ? 2 ? x ? x ? 2(?1 ≤ x ≤ 2).
当 x<-1 或 x>2 时,函数 f(x)>f(-1)=2;

9 ?1? 当-1≤x≤2 时,函数 f ? ? ≤ f ( x) ≤ f (?1),即 ? ≤ f ( x) ≤ 0. 4 ?2?
故函数 f(x)的值域是 ? ? ,0 ? ? (2, ??). 4 答案:D

? 9 ?

? ?

? x 2 ,| x |≥ 1, 4.设 f ( x ) ? ? g(x)是二次函数,若 f[g(x)]的值域为 ? x,| x |? 1.
[0,+∞),则 g(x)的值域是( A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞) 解析:设 t=g(x),则 f[g(x)]=f(t),∴t=g(x)的值域即为 f(t)的 定义域. 画出函数 y=f(x)的图象(如图).
2

)

∵函数 f[g(x)]值域为[0,+∞), ∴函数 f(t)的值域为[0,+∞). ∵g(x)是二次函数,且 g(x)的值域即为 f(t)的定义域, ∴由图象可知 f(t)的定义域为[0,+∞), 即 g(x)的值域为[0,+∞). 答案:C 5.已知函数 f(x)的定义域为[1,9],且当 1≤x≤9 时,f(x)=x+2, 则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为( A.[1,3] C.[12,36] B.[1,9] D.[12,204] )

解析:∵函数 f(x)的定义域为[1,9],

?1 ≤ x ≤ 9, ∴要使函数 y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须 ? 解得 1 ≤ x 2 ≤ 9, ?
1≤x≤3. ∴函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3]. ∵当 1≤x≤9 时,f(x)=x+2,∴当 1≤x≤3 时,y=[f(x)]2+f(x2)=(x+2)2+(x2+2)=2(x+1)2+4,∴当 x=1 时,ymin=12,
3

当 x=3 时,ymax=36,∴所求函数的值域为[12,36],故答案选 C. 答案:C 评析:本题容易忽视复合函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域,而错误 地把 f(x)的定义域[1,9]当作函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域,从而得 出错误的结果 D. 6.若函数 y=x2-6x-16 的定义域为[0,m],值域为[-25,-16],则 m 的取值范围( A.(0,8] C.[3,6] ) B.[3,8] D.[3,+∞)

解析:函数 y=(x-3)2-25,因为函数的定义域为[0,m],值域为 [-25,-16],而当 x=0 时,y=-16,当 x=3 时,y=-25,由二次函数的对称性 可得 m 的取值范围为[3,6],故选 C. 答案:C 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案 填在题后的横线上.) 7.若函数 f(x+1)的定义域是[1,2],则函数 f ( x ) 的定义域为 ________. 解析:∵f(x+1)的定义域是[1,2], ∴f(x)的定义域为[2,3], 对于函数 f ( x ) 满足 2 ≤ ∴4≤x≤9. ∴ f ( x ) 的定义域为[4,9].
4

x ≤ 3,

答案:[4,9] 8.函数 y ? 为________. 解析:∵y≤0 或 y≥4,∴

2x ? 5 的值域是{y|y≤0 或 y≥4},则此函数的定义域 x?3

2x ? 5 2x ? 5 ≤ 0或 ≥ 4. x?3 x?3

∴ ≤ x ? 3或3 ? x ≤ . 答案: ? 5

5 2

7 2

? ? 7? ,3 ? ? ? 3, ? ?2 ? ? 2? ?

9.函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则 b-a 的最 小值为________.

解析:由图象可知,[a,b]应为 ? 1 ,3? 的一个子区间.当 a=?,b=1 时 ?3 ? ? ? b-a 取最小值为?. 答案:

?

10.(2010·石家庄模拟)函数 f(x)=log?(x-1)+ 2 ? x 的值域为 ________. 解析:由 ?

?x ?1 ? 0 , 解得 1<x≤2, 2 ? x≥0 ?

∴函数 f(x)的定义域为(1,2].
5

又∵函数 y1=log?(x-1)和 y2= 2 ? x 在(1,2]上都是减函数, ∴当 x=2 时,f(x)有最小值, f(2)=log?(2-1)+ 2 ? 2 =0, f(x)无最大值, ∴函数 f(x)的值域为[0,+∞). 答案:[0,+∞) 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分,13 题 14 分,写出证 明过程或推演步骤.) 11.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1. (1)求函数 f(x)的解析式. (2)求函数 y=f(x2-2)的值域. 解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

?c ? 0 由题意可知 ? 2 2 ?a ( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c ? ax ? bx ? c ? x ? 1, x ? R

1 ? a? ? ? 2a ? b ? b ? 1 2 整理得 ? a ? 0 解得 ? 1 ? ? , ? ?b ? , 2 ?a ? b ? 1 ? ?c ? 0 ?c ? 0 ? ? ?
∴ f ( x) ?

1 2 1 x ? x; 2 2

6

2 (2)由(1)知 y ? f ( x ? 2) ?

1 2 1 ( x ? 2) 2 ? ( x 2 ? 2) 2 2 1? 2 3? 1 ?x ? ? ? , 2? 2? 8
2

1 ? ( x 4 ? 3 x 2 ? 2) ? 2

1 ? , 当 x =?时,y 取最小值 8
2

? 1 ? 故函数值域为 ? ? , ?? ? . ? 8 ?
12.已知函数 y ?

mx 2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R.

(1)求实数 m 的取值范围; (2)当 m 变化时,若 y 的最小值为 f(m),求函数 f(m)的值域. 解:(1)依题意,当 x∈R 时,mx2-6mx+m+8≥0 恒成立.当 m=0 时,x∈R; 当 m≠0 时, ? 即?

? m ? 0,

?m ? 0, ?? ≤ 0,

2 ?( ?6m) ? 4m( m ? 8) ≤ 0.

解之得 0<m≤1,故实数 m 的取值范围是 0≤m≤1. (2)当 m=0 时, y ? 2 2; 当 0<m≤1 时, y ? ∴ ymin ? 8 ? 8m , 因此, f (m) ? 8 ? 8m (0≤m≤1), ∴f(m)的值域为[0, 2 2].

m( x ? 3) 2 ? 8 ? 8m ,

7

? 1 ?1 ? , x ≥ 1, 13.(2011·江苏南通模拟)已知函数 f ( x) ? ? x ? ? 1 ? 1,0 ? x ? 1. ?x ?
(1)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求

1 1 ? 的值; a b

(2)是否存在实数 a、b(a<b),使得函数 y=f(x)的定义域?值域都 是[a,b],若存在,则求出 a、b 的值;若不存在,请说明理由.

? 1 ?1 ? x , x ≥ 1, 解:(1)∵ f ( x) ? ? ? ? 1 ? 1,0 ? x ? 1, ?x ?
∴f(x)在(0,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数. 由 0<a<b,且 f(a)=f(b),可得 0<a<1≤b 且 a ? 1 ? 1 ? b , ∴

1

1

1 1 ? ? 2. a b

(2)不存在满足条件的实数 a、b. 若存在满足条件的实数 a、b,则 0<a<b. ①当 a,b∈(0,1)时, f ( x ) ?

1 ?1 x 在(0,1)上为减函数.

?1 ? f ( a ) ? b, ? ? 1 ? b, 故? 即? a 解得 a=b. f (b) ? a, ? ? ? 1 ? 1 ? a. ?b ?
故此时不存在符合条件的实数 a、b.

1 f ( x ) ? 1 ? 在[1,+∞)上是增函数. ②当 a,b∈[1,+∞)时, x

8

? 1 ? f (a ) ? a, ?1 ? ? a 故? 即? a ? f (b) ? b, ? 1 ?1 ? ? b. ? b ?
此时 a,b 是方程 x2-x+1=0 的根,此方程无实根.故此时不存在符 合条件的实数 a、b. ③当 a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,由于 1∈[a,b],而 f(1)=0?[a,b],故此时不存 在适合条件的实数 a、b.综上可知,不存在适合条件的实数 a、b.

9


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