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高中数学第三章函数的应用阶段复习课第4课函数的应用课件新人教A版必修1_图文

阶段复习课 第四课 函数的应用

[核心速填]
1.函数的零点与方程的根的关系: (1)方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?y=f(x)有零点. (2)确定函数零点的个数有两个基本方法:①借助函数单调调性性和零零点点存在性定 理研究图象与x轴的交点个数;②通过移项,变形转化成两 个函数图象的交点 个数进行判断.

2.二分法 (1)图象都在 x 轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求. (2)用二分法求零点近似解时,零点区间(a,b)始终要保持 f(a)·f(b)<0; (3)若要求精确度为 0.01,则当|a-b|≤0.01 时,便可判断零点近似值为 aa或或bb. 3.在同样是增函数的前提下,当自变量变得充分大之后,指数函数、对数函数、 幂函数三者中增长最快的是指数函数,增长最慢的是对数函数数.

[体系构建]

[题型探究]

函数的零点与方程的根

(1)函数 f(x)=lg x-9x的零点所在的大致区间是( )

A.(6,7)

B.(7,8)

C.(8,9)

D.(9,10)

(2)函数 y=????12????|x|-m 有两个零点,则 m 的取值范围是________. 【导学号:37102398】

(1)D (2)(0,1) [∵f(6)=lg 6-96=lg 6-32<0,f(7)=lg 7-97<0,f(8)=lg 8-89<0, f(9)=lg 9-1<0, f(10)=lg 10-190>0, ∴f(9)·f(10)<0. ∴f(x)=lg x-9x的零点的大致区间为(9,10). (2)在同一直角坐标系内,画出 y1=????12????|x|和 y2=m 的图象,如 图所示,由于函数有两个零点,故 0<m<1.]

[规律方法] ?.方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零 点,在解决函数与方程问题时,要注意三者之间的关系,在解题中要充分利用 这个关系实现问题的转化,同时还要注意使用函数的性质,如函数的单调性、 奇偶性等.? ?.确定函数零点的个数或所在区间的两个基本方法:???利用零点的存在性定 理,???数形结合转化为函数图象的交点问题.?

[跟踪训练]

1.已知函数 f(x)=ln x-????12????x-2 的零点为 x0,则 x0 所在的区间是(

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

C [∵f(x)=ln x-????12????x-2 在(0,+∞)是增函数, 又 f(1)=ln 1-????12????-1=ln 1-2<0, f(2)=ln 2-????12????0<0, f(3)=ln 3-????12????1>0, ∴x0∈(2,3).]

二分法求方程的近似解 求方程 x2-2x-1=0 的一个大于零的近似解.(精确度 0.1)
【导学号:37102399】 [解] 设 f(x)=x2-2x-1,先画出函数图象的草图,如图所 示. ∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴在区间(2,3)上,方程 x2-2x -1=0 有一解,记为 x1,取 2 和 3 的中间数 2.5, ∵f(2.5)=0.25>0,所以 x1∈(2,2.5),再取 2 与 2.5 的中间数 2.25,

因为 f(2.25)=-0.437 5<0,所以 x1∈(2.25,2.5),如此继续下去,得 f(2.375)<0, f(2.437 5)>0, 则 x1∈(2.375,2.437 5), ∵|2.437 5-2.375|=0.062 5<0.1. ∴此方程大于零的近似解为 x1≈2.437 5.

[规律方法] 用二分法求函数零点的近似值关键有两点:一是初始区间的选取,符合条件? 包括零点?,又要使其长度尽量小;二是进行精确度的判断,以决定是停止计算 还是继续计算??

[跟踪训练] 2.证明函数 f(x)=2x+3x-6 在区间(1,2)内有唯一一个零点,并求出这个零 点.(精确度为 0.1) [解] 设函数 f(x)=2x+3x-6.∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0.∴f(x)在区间(1,2)内有零 点.又∵f(x)是增函数,∴函数 f(x)=2x+3x-6 在区间(1,2)内有唯一的零点.设 该零点为 x0,则 x0∈(1,2),取 x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f(1)·f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5). 取 x2=1.25,f(1.25)=0.128>0,f(1)·f(1.25)<0,

∴x0∈(1,1.25). 取 x3=1.125,f(1.125)=-0.44<0,f(1.125)·f(1.25)<0,∴x0∈(1.125,1.25). 取 x4=1.187 5,f(1.187 5)=-0.16<0,f(1.187 5)·f(1.25)<0.∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴可取 x0=1.25,则该函数的零点近似解可取 x0=1.25.

函数模型的建立

某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对

(t,P),点(t,P)落在图 3-1 中的两条线段上;该股票在 30 天内的日交易量 Q(万

股)与时间 t(天)的部分数据如表所示:

第t天

4

10

16

22

Q/万股

36

30

24

18

图 3-1 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函 数关系式. (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系 式. (3)用 y 表示该股票日交易额(万元),写出 y 关于 t 的函数关系式,并 求在这 30 天中第几天日交易额最大,最大值是多少.

[解]

(1)P=?????15-t+1102t+,08<,t≤202<0t,≤30

(t∈N*).

(2)设 Q=at+b(a,b 为常数),

把(4,36),(10,30)代入得

??4a+b=36, ???10a+b=30.

所以 a=-1,b=40,

所以日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q=-t+40,0<t≤30,

t∈N*.

(3)由(1)(2)可得 y=

?????????????15-t+1102t????+×8?????4×0-?4t0?-,t0?<,t≤202<0t,≤30. 即 y=

??-15?t-15?2+125,0<t≤20, ? ??110?t-60?2-40,20<t≤30

(t∈N*).

当 0<t≤20 时,y 有最大值 ymax=125 万元,此时 t=15; 当 20<t≤30 时,y 随 t 的增大而减少,ymax<110(20-60)2-40=120(万元). 所以,在 30 天中的第 15 天,日交易额取得最大值 125 万元.

[规律方法] 建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤? ?1?对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主被动关系,并用 x,y 分别表示?? ?2?建立函数模型,将变量 y 表示为 x 的函数,此时要注意函数的定义域? ?3?求解函数模型,并还原为实际问题的解??

[跟踪训练] 3.目前某县有 100 万人,经过 x 年后为 y 万人.如果年平均增长率为 1.2%,请回答下列问题: (1)写出 y 关于 x 的函数解析式; (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1 年).
【导学号:37102400】

[解] (1)当 x=1 时,y=100+100×1.2%=100(1+1.2%); 当 x=2 时,y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2; 当 x=3 时,y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3; …… 故 y 关于 x 的函数解析式为 y=100(1+1.2%)x(x∈N*). (2)当 x=10 时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人. (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万,即 100×(1+1.2%)x=120,解得 x= log1.012112000≈15.3. 因为 x 为年份,根据实际意义知,大约 16 年后该县的人口总数将达到 120 万.

函数与方程思想 已知关于 x 的方程 2kx2-2x-3k-2=0 的两实根一个小于 1,另一个 大于 1,求实数 k 的取值范围. 思路探究: 令f?x?=2kx2-2x-3k-2 画――草→图
得???k>0 或???k<0 ―→ 解不等式组即可 ??f?1?<0 ??f?1?>0

[解] 令 f(x)=2kx2-2x-3k-2,为使方程 f(x)=0 的两实根一个小于 1,另一个 大于 1,函数 f(x)的图象只能如图所示.

只需???k>0, ??f?1?<0

或?????fk?<10?>,0,

即?????k2>k-0,2-3k-2<0 或?????k2<k-0,2-3k-2>0,

解得 k>0 或 k<-4.

故 k 的取值范围是 k>0 或 k<-4.

母题探究:1.(变条件)若本例增加条件“k<0”,且“方程的两实根一个小于 0,

另一个大于 1.”求实数 k 的取值范围.

[解] 由题意可知

??f?0?>0, ???f?1?>0,

即?????- -3k-k-4>2>0, 0,

解得 k<-4.

2.(变条件)把本例条件改为“若关于 x 的方程 2x2-2|x|-3k-2=0 有两个不等 实根”,求 k 的取值范围. [解] 关于 x 的方程 2x2-2|x|-3k-2=0 有两个不等实根, 等价于函数 yy==22xx22--22||xx||与与函函数数 yy==33kk++22的的图图象象有有两两个个不同的交点. 不两同函的数交的点图.象如图所示. 两 由由 不函 图图 同数 可可 的的 知知 交图 当当 点象,33kk如对++图应22==所方--示程2121.有或或两33k个k++不22>等>00实时时根,,即.即k=k=--56或56或k>k-> 23时两函数图象有两个 -23时两函数图象有两个不同的交点,对应方程有两个不等实根.

[规律方法] 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例?一般的,关于根的分布问 题,可引入函数,由函数图象的特征联想解决,使问题得到巧妙解决??

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