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www.mg6735.com:高中数学:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件.ppt_图文

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2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角

复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义:

复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量a 和 b,它们的
夹角为? ,我们把数量| a || b | cos? 叫做
a 与 b 的数量积(或内积) .

复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量a 和 b,它们的
夹角为? ,我们把数量| a || b | cos? 叫做
a 与 b 的数量积(或内积) .
记为:a ?b , 即 a ? b ? | a || b | cos? .

复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量a 和 b,它们的
夹角为? ,我们把数量| a || b | cos? 叫做
a 与 b 的数量积(或内积) .
记为:a ?b , 即 a ? b ? | a || b | cos? .
规定: 零向量与任一向量的数量积 为0,即a ? 0 ? 0 .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量, e 是与 b
同向的单位向量.

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量, e 是与 b
同向的单位向量.
(1) e ? a ? a ? e ? a ? cos? .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量, e 是与 b
同向的单位向量.
(1) e ? a ? a ? e ? a ? cos? .
(2) a ? b ? a ? b ? 0 .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b . 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a ? b .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b . 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a ? b .
2
特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b . 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a ? b .
2
特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a .
(4) cos? ? a ? b .
ab

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b . 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a ? b .
2
特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a .
(4) cos? ? a ? b . (5) a ? b ? a b .
ab

复习引入
3. 练习: (1) 已知 a ? 1, b ? 2, 且(a ? b)与a垂直, 则 a 与 b 的夹角是( )
A. 60o B. 30o C. 135o D. 45o

复习引入
3. 练习: (2) 已知 a ? 2, b ? 1, a 与 b 之间的夹角
为? , 那么向量 m ? a ? 4b 的模为 ( )
3
A. 2 B. 2 3 C. 6 D. 12

讲授新课
探究: 已知两个非零向量a ? ( x1, y1 ),
b ? ( x2 , y2 ), 怎样用 a 和 b 的坐标 表示 a?b?

1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即

1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

2.平面内两点间的距离公式:
(1) 设 a ? ( x , y), 则

2.平面内两点间的距离公式:
(1) 设 a ? ( x , y), 则
2
a ? x2 ? y2或 a ? x2 ? y2 .

2.平面内两点间的距离公式:
(2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1, y1 ), ( x2 , y2 ), 那么

2.平面内两点间的距离公式: (2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1, y1 ), ( x2 , y2 ), 那么
| a |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
(平面内两点间的距离公式)

3.向量垂直的判定:
设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则

3.向量垂直的判定:
设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则
a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

4.两向量夹角的余弦:

4.两向量夹角的余弦:

讲解范例:
例1. 已知A(1,2),B(2,3),C(?2,5), 试判断△ABC的形状,并给出证明.

讲解范例:
例2. 设 a ? (5, ?7), b ? (?6, ?4), 求
a ? b 及 a、b 间的夹角? (精确到1o ).

讲解范例:
例3. 已知 a ? (1, 3), b ? ( 3 ? 1, 3 ? 1),
则 a 与 b 的夹角是多少?

讲解范例:
例3. 已知 a ? (1, 3), b ? ( 3 ? 1, 3 ? 1),
则 a 与 b 的夹角是多少?
评述:已知三角形函数值求角时, 应注重角的范围的确定.

练习:
1.教材P.107练习第1、2、3题.

练习:

1.教材P.107练习第1、2、3题.

2. 已知A(3,2),B(-1,-1),若点

P (1 x, ? 1 )在线段AB的中垂线上,则

2

2

x=

.

课堂小结
1. a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
2. 平面内两点间的距离公式: | a |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
3. 向量垂直的判定:
a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

课后作业
1. 阅读教材P109到P112; 2. P108 A组 第9、10、11题

课后思考:
1. 以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角 △OAB,使?B=90?,求点B和向量 的坐标.
2. 在△ABC中, 且△ABC的一个内角为直角,求k值.


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