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椭圆离心率求法


离心率的五种求法

离心率的五种求法
椭圆的离心率 0 ? e ? 1 ,双曲线的离心率 e ? 1 ,抛物线的离心率 e ? 1 . 一、直接求出 a 、 c ,求解 e 已知圆锥曲线的标准方程或 a 、 c 易求时,可利用率心率公式 e ? 例 1:已知双曲线 率为( A. )

c 来解决。 a

x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )的一条准线与抛物线 y 2 ? ?6x 的准线重合,则该双曲线的离心 2 a
B.

2 3 3 2 2 3 a c ?1 3 解:抛物线 y 2 ? ?6x 的准线是 x ? ,即双曲线的右准线 x ? ? ? ,则 2c 2 ? 3c ? 2 ? 0 , 2 c c 2 c 2 3 解得 c ? 2 , a ? 3 , e ? ? ,故选 D a 3
C. D. 变式练习 1:若椭圆经过原点,且焦点为 F1 ?1,0? 、 F2 ?3,0? ,则其离心率为( )

3 2

3 2

6 2

3 4 解:由 F1 ?1,0? 、 F2 ?3,0? 知 c c ? 1 ,所以离心率 e ? ? a
A.

2 1 1 C. D. 3 2 4 2c ? 3 ? 1 ,∴ c ? 1 ,又∵椭圆过原点,∴ a ? c ? 1 , a ? c ? 3 ,∴ a ? 2 , 1 .故选 C. 2
B. )

变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( A.

3 2

B.

6 2

C.

3 2

D 2

解:由题设 a ? 2 , 2c ? 6 ,则 c ? 3 , e ?

c 3 ? ,因此选 C a 2

变式练习 3:点 P(-3,1)在椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左准线上,过点 P 且方向为 a ? ?2,?5? 的 a2 b2


光线,经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(

A

3 3

B

1 3

C

2 2

D

1 2

解:由题意知,入射光线为 y ? 1 ? ?

5 ?x ? 3? ,关于 y ? ?2 的反射光线(对称关系)为 5x ? 2 y ? 5 ? 0 , 2

?a2 c 3 ? ?3 则? c 解得 a ? 3 , c ? 1 ,则 e ? ? ,故选 A a 3 ?? 5c ? 5 ? 0 ?
二、构造 a 、 c 的齐次式,解出 e 根据题设条件,借助 a 、 b 、 c 之间的关系,构造 a 、 c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于 e 的 一元方程,从而解得离心率 e 。
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离心率的五种求法

例 2:已知 F1 、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的两焦点,以线段 F1 F2 为边作正三角形 MF1 F2 , a2 b2


若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( A. 4 ? 2 3 B.

3 ?1

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1

解:如图,设 MF1 的中点为 P ,则 P 的横坐标为 ?

c ,由焦半径公式 2

PF1 ? ?ex p ? a ,
2 c ? c? ?c? ?c? 即 c ? ? ? ? ? ? ? a ,得 ? ? ? 2? ? ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2? ?a? ?a? c e ? ? 1 ? 3 ( 1? 3 舍去),故选 D a

变式练习 1:设双曲线

x2 y2 ? ? 1( 0 ? a ? b )的半焦距为 c ,直线 L 过 ?a,0? , ?0, b ? 两点.已知原点到 a2 b2
)

直线的距离为

3 c ,则双曲线的离心率为( 4
B.

A. 2

3

C.

2

D.

2 3 3

解:由已知,直线 L 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,由点到直线的距离公式,得

ab a2 ? b2
4 2

?

3 c, 4

2 2 2 2 4 又 c ? a ? b , ∴ 4ab ? 3c ,两边平方,得 16a c ? a ? 3c ,整理得 3e ? 16e ? 16 ? 0 ,
2 2 2

?

?

2 得e ? 4或e ?
2

4 c2 a2 ? b2 b2 2 ? 1 ? 2 ? 2 ,∴ e 2 ? 4 ,∴ e ? 2 ,故选 A ,又 0 ? a ? b ,∴ e ? 2 ? 3 a a2 a

变式练习 2:双曲线虚轴的一个端点为 M ,两个焦点为 F1 、 F2 , ?F1 MF2 ? 1200 ,则双曲线的离心率 为( A )

3

B

6 2

C

6 3

D

3 3

解:如图所示,不妨设 M ?0, b? , F1 ?? c,0?, F2 ?c,0? ,则

MF1 ? MF2 ? c 2 ? b 2 ,又 F1 F2 ? 2c ,
在 ?F1 MF2 中, 由余弦定理,得 cos?F1 MF2 ?

MF1 ? MF2 ? F1 F2
2 2

2

2 MF1 ? MF2

,

即?

b2 ? c2 1 1 c 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 4c 2 ?? , ,∴ 2 ? 2 2 2 2 b ?c 2 2 c ?b

?

? ? ?

?

?

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离心率的五种求法

∵ b ? c ? a ,∴
2 2 2

3 ? a2 1 6 ? ? ,∴ 3a 2 ? 2c 2 ,∴ e 2 ? ,∴ e ? ,故选 B 2 2 2 2 2 2c ? a

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例 3:设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 PF2 为等腰直角 三角形,则椭圆的离心率是________。 解: e ?

c 2c 2c 2c 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 a 2a PF1 ? PF2 2 2c ? 2c 2 ?1

四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 a2 b2
.

且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

解:如图所示, AB 是过 F1 且垂直于 x 轴的弦,∵ AD ? l1 于 D ,∴ AD 为 F1 到准线 l1 的距离,根据椭

1 AB 1 ? 2 ? 圆的第二定义, e ? AD AD 2 AF1
变式练习:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1 ,则该椭圆的 离心率为( ) A

2
AF2 AD ?

B

2 2

C

1 2

D

2 4

解: e ?

2 2 2 ? 1 2

五、构建关于 e 的不等式,求 e 的取值范围 例 5:设 ? ? ? 0,

A.

1 2
2

? ?? ? ,则二次曲线 x 2 cot? ? y 2 tan? ? 1 的离心率的取值范围为( ? 4? ?1 2 ? ? 2 ? ? ? B. ? , C. ? D. ?2,??? ?2 2 ? ? 2 ,2 ? ? ? ? ?
2



另:由 x cot? ? y tan? ? 1 , ? ? ? 0,

? ?? 2 2 ? ,得 a ? tan? , b ? cot? , ? 4?
c 2 tan? ? cot? ? ? 1 ? cot2 ? tan? a2

∴ c ? a ? b ? tan? ? cot? ,∴ e ?
2 2 2

2

∵ ? ? ? 0,

? ?? 2 2 ? ,∴ cot ? ? 1 ,∴ e ? 2 ,∴ e ? 2 ,故选 D ? 4?

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离心率的五种求法

例6:如图,已知梯形 ABCD 中, AB ? 2 CD ,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? ,双曲线过 C 、 D 、

E 三点,且以 A 、 B 为焦点.当

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率 e 的取值范围。 3 4

解:以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系

xoy ,则 CD ? y 轴.因为双曲线经过点 C 、 D ,且以 A 、 B 为焦点,由双曲线
的对称性知 C 、 D 关于 y 轴对称.依题意,记 A?? c,0? , C ? , h ? , E?x0 , y0 ? , 其中 c ?

?c ?2

? ?

1 AB 为双曲线的半焦距, h 是梯形的高. 2

由定比分点坐标公式得 x 0 ?

?c???

c 2 2 2 ? ?? ? 2 ?c , y ? ?h ,设双曲线的方程为 x ? y ? 1 ,则离 0 1? ? 2?1 ? ? ? 1? ? a2 b2

心率 e ?

c c2 h2 ? 2 ? 1① ,由点 C 、 E 在双曲线上,所以,将点 C 的坐标代入双曲线方程得 a 4a 2 b
2 2

c2 ? ? ? 2 ? h2 ? ? ? 将点 E 的坐标代入双曲线方程得 ? ? ? ? ? ? 1② 4a 2 ? 1 ? ? ? b 2 ? 1 ? ? ?
再将 e ?

c e2 h2 h2 e2 ? 2 ? 1 ,∴ 2 ? ?1③ ①、②得 a 4 b 4 b
2

e2 4

h2 ?? ?2? ? ? ? 2 ? 1? ? ? b

? ? ? ? ? ? 1④ ?1? ? ?
2

e2 ?4 ? 4? ? ? 1 ? 2? ,∴ ? ? 1 ? 2 3 ,由题设 2 ? ? ? 3 得: 将③式代入④式,整理得 3 4 e ?2 4
2 3 3 ? 1? 2 ? ,解得 7 ? e ? 10 ,所以双曲线的离心率的取值范围为 3 e ?2 4

? 7, 10?

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离心率的五种求法

配套练习

x2 y2 1. 设双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率为 3 , 且它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线重合, a b
则此双曲线的方程为( A. ) B.

x2 y2 ? ?1 12 24

x2 y2 ? ?1 48 96

C.

x2 2y2 ? ?1 3 3


D.

x2 y2 ? ?1 3 6

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.

1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2


3.已知双曲线

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( 2 3 a b
B

A

5 3

4 3

C

5 4

D

3 2

4.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为

A

2

B

2 2

C

1 2

D

2 4
1 ,则该双曲线的离心 2

5.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 率为( A ) B 2 C

2 2

2

D 2 2

6. 如图,F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心, OF1 以 a2 b2


为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 ?F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为(

A

3

B

5

C

5 2

D

3 ?1

7. 设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, P 是其右准线上纵坐标为 3c ( c 为 a2 b2


半焦距)的点,且 F1 F2 ? F2 P ,则椭圆的离心率是(

A

3 ?1 2

B

1 2

C

5 ?1 2

D

2 2

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离心率的五种求法

x2 y2 8.设 F1 、 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 ?F1 AF2 ? 900 ,且 a b

AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线离心率为(
A



5 2

B

10 2

C

15 2

D

5

9.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 )的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 600 的直线与双曲线的 2 a b
) D B ?1,2?

右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A ? ,2? 1 C

?2,???

?2,???

10.椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点为 F1 、 F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M 、 N ,若 a2 b2


MN ? 2 F1 F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是(
A. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

B. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ?

? 2 ? ,1? 2 ? ? ?

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离心率的五种求法

答案:1.由

a2 c ? 1 可得 a ? 3, b ? 6, c ? 3. 故选 D ? 3, c a

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,∴ a ? 2b ,椭圆的离心率 e ?

c 3 ,选 D。 ? a 2

3.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得

b 4 c 32 ? 42 5 ? , 可得e ? ? ? ,故选 A a 3 a 3 3

4.不妨设椭圆方程为

x2 y 2 2b2 a2 2 ? 2且 ? c ? 1 ,据此求出 e= ? 2 ? 1 (a?b?0) ,则有 2 a c a b 2

x2 y 2 2b 2 a2 1 ? 2且c ? ? ,据此解得 e= 2 ,选 C 5.不妨设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a?0,b?0) ,则有 a c 2 a b
6.解析:如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 r 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 a2 b2

O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, 且△ F2 AB 是等边三角形, 连接 AF1, ∠AF2F1=30° |AF1|=c, ,
|AF2|= 3 c,∴ 2a ? ( 3 ? 1)c ,双曲线的离心率为 1? 3 ,选 D。 7.由已知 P(

a2 a2 c 2 , 3c ) ,所以 2c ? ( ? c) 2 ? ( 3c) 2 化简得 a 2 ? 2c 2 ? 0 ? e ? ? c a 2 . c x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点。 若双曲线上存在点 A, 使∠F1AF2=90? 且|AF1|=3|AF2|, , a 2 b2
2 2

8.设 F1, 2 分别是双曲线 F

设 |AF2|=1 , |AF1|=3 , 双 曲 线 中 2a ?| AF | ? | AF2 |? 2 , 2c ? | AF1 | ? | AF2 | ? 10 , ∴ 离 心 率 1

e?

10 ,选 B。 2

9.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与双曲线的右支有且只 2 a b
b ,∴ a b ≥ 3 ,离心率 a

有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

e2=

c2 a 2 ? b2 ? ≥ 4 ,∴ e≥2,选 C a2 a2

x2 y 2 a2 2 10.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 ,F2 , 两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N , | MN| ? 若 , a b c

| F1F2 |? 2c , MN ≤ ? F1F2 ,则

a2 2 ? 2c ,该椭圆离心率 e≥ ,选 D c 2
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离心率的五种求法

椭圆离心率 e ? 的求法
1.椭圆方程 C :

c a

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,直线 l 的倾 a 2 b2

斜角为 60°, AF ? 2 FB ,求椭圆的离心率?(焦半径公式 PF ? a ? ex1 ,PF2 ? a ? ex2 的应用左加右减, 1 弦长公式 d ? 1 ? k x1 ? x2 , k为直线的斜率 )
2

2.椭圆方程 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的右焦点为 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A ,在椭圆上存在点 P 满足 a 2 b2 b2 的应用) c

线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆的离心率的范围?(焦准距

3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是?(关于 a, c 的二元二次 方程 ma ? nac? pc ? 0 解法)
2 2

4.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴上的一个端点, 线段 BF 的延长线交 C 于 D ,且 BF ? 2 FD ,则 C 的离心率为?(相似三角形性质:对应边成比例 的应用)

x2 y2 5.过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的左焦点 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 BF ? x 轴,直线 AB 交 y a b
轴于点 P ,若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率为?(相似三角形性质的应用) 6.过 椭 圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的 左 焦 点 F1 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P , F2 为 右 焦 点 , 若 a 2 b2

?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为?(椭圆焦三角形面积 S ? b 2 tan

?
2

(? ? ?F1 PF2 ) )
2 2 2

7.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率?(椭圆基本性质 a ? b ? c 的应用) 8.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为?(椭圆基本性质 a ? b ? c 的应用)
2 2 2

9.椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点为 M , N ,若 MN ? 2 F1F2 , a 2 b2
2 2 2

则该椭圆的离心率的取值范围是?(椭圆基本性质 a ? b ? c 的应用)

x2 y2 10.设 F1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的左、 右焦点, 若在其右准线上存在点 P , 使线段 PF1 的 a b
中垂线过点 F2 ,则椭圆的离心率的取值范围是?(焦准距

b2 ;垂直平分线性质:垂直平分线上的点到线 c

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离心率的五种求法

段两端距离相等;三角形性质:两边之和大于第三边 应用) 11.在给定椭圆中, 过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 , 焦点到相应准线的距离为 1, 则该椭圆的离心率为? (通径

2b 2 a2 ,焦准距 ) c a x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 椭 圆 上 存 在 点 P 使 a 2 b2

12.已 知 椭 圆 C :

a b c a c ? ? ? 2 R ,第 ,则该椭圆的离心率的取值范围是?(正弦定理 ? sin A sin B sin C sin PF1F2 sin PF2 F1
一定义 PF ? PF2 ? 2a ) 1 13.在平面直角坐标系中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆的四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1 B2 与直线 B1F 相交于 点 T ,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为? (直线方程交点坐标) 14.在 ?ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?
2 2 2

7 .若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率为?(余 18

弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,第一定义)

15.已知正方形 ABCD ,则以 A, B 为焦点,且过两点 C, D 的椭圆的离心率为?(通径

2b 2 ) a

16.已知椭圆的焦距为 2c ,以点 O 为圆心, a 为半径作圆 M 。若过点 P? ? c ,0 ? 作圆 M 的两条切线相互垂 ? ? ? 直,则该椭圆的离心率为?(基本性质) 17.已知 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,满足 MF ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取 1 值范围是?(圆周角:圆直径所对的圆周角等于 90°) 18.过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线交椭圆于 A, B 两点,若 FA ? 半径公式,弦长公式 1 ? k x1 ? x2 )
2

? a2

?

3 FB ,则椭圆的离心率为?(焦 2

19.已知椭圆的短轴长为 6,焦点到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆的离心率为? 20.椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上,则此椭圆的离心率为? 21.已 知 椭 圆 的 短 轴 的 上 下 端 点 分 别 为 B1 , B2 , 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 长 轴 右 端 点 为 A , 若

F2 A ? F2 B ? F2 B2 ? 0 ,则椭圆的离心率为?(向量坐标加减)
22.若以椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的右焦点 F 为圆心, a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两 a 2 b2

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离心率的五种求法

a2 点,则该椭圆的离心率的取值范围是?(焦准距 ) c
23.已知点 A?0, b ? , B 为椭圆 C : 上,则该椭圆的离心率为? 24.若斜率为

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左准线与 x 轴的交点,若线段的中点 C 在椭圆 a 2 b2

2 x2 y2 的直线 l 与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 有两个不同的交点,且这两个交点在 x 轴上的 a b 2

2b 2 射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为?(通径 ) a
25.已知 A, B 两点分别是椭圆的左顶点和上顶点,而 F 是椭圆 C 的右焦点,若 AB ? BF ? 0 ,则椭圆 C 的 离心率为?(两直线垂直,有 k1 ? k2 ? ?1 )

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