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【2013日照二模】山东省日照市2013届高三第二次模拟考 数学文 Word版含答案


绝密★启用前

试卷类型:A

山东省日照市 2013 届高三第二次模拟考 文 科 数 学 2013.5
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号 、准考证号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上。 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3、第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4、填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 参考公式: 锥体的体积公式: V ?
1 3 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)设全集 U ? { ? 2 , ? 1, 0 ,1, 2 }, 集合A ? { ? 1,1, 2 }, B ? { ? 1,1}, 则A ? ( (A){1,2} (B){1} (C){2}
z1 z2

)为

(D){-1,1}

(2)设复数 z 1 ? 1 ? 3 i , z 2 ? 3 ? 2 i , 则

在复平面内对应的点在

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)某校选修乒乓课程的学生中, 高一年级有 30 名, 高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法 在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学 生中应抽取的人数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (4)“ x ? 2 x <0”是“ 0 ? x ? 4 ”的
2

(A)充分条件 (C)必要而不充分条件

(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)设 a、b 是不同的直线, a 、 ? 是不同的平面,给出下列命题: ①若 a ? b , a // a , 则b // ? ; ③ a ? ? , a ? ? , 则a // a ; ②若 a // a , a ? ? , 则a ? ? ;

④ a ? b , a ? a , b ? ? , 则a ? ? ; 其中真命题的个数是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (6)执行如图所示的程序,若输出的结果是 4, 则判断框内实数 m 的值可以是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (7)在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0 且 a≠1,则下列
x

图象中可能正确的是

(8)在区间[ ? (A)
1 2

? ?
, 6 2 3 4

]上随机取一个数 x ,则 sin x ? cos x ? [1, 2 ] 的概率是 (C)
3 8

(B)

(D)

5 8

(9) 如图(Ⅰ)是反映某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 之间关系的图象.由于目前 该条公交线路亏损,公司有关人员提出两种调整建议,如图(Ⅱ)(Ⅲ)所示. 、 (注:收支差额=营业所得的票价收入-付出的成本)

给出以下说法: ①图(Ⅱ)的建议是:提高成本,并提高票价 ②图(Ⅱ)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(Ⅲ)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(Ⅲ)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中说法正确的序号是 (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ (10) 已知关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? b ? 0 ( a ? 0 ) 的解集是 ? x x ? ?
2

? ?

? ,x ? R? , a ? b, 且 a ? 1



a ?b
2

2

a ?b

的最小值是

(A) 2 2

(B)2

(C)

2
x a
2 2

(D)1
y b
2 2

(11)已知 F1、F

分别是双曲线 2

?

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、右焦点,过 F 2 与双曲线的

一条渐进线平行的直线交另一条渐进线于点 M ,若 ? F1 MF 2 为锐角,则双曲线离心率的取 值范围是 (A) (1, 2 ) (B)( 2 ,+ ? ) (C)(1,2) (D) (2,+ ? )

(12)已知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 的导函数为 f ? ( x ) ,满足 f ? ( x ) < f ( x ) , f ( x ? 2 ) 为 且 偶函数, f ( 4 ) ? 1 ,则不等式 f ( 4 ) ? e 的解集为
x

(A) ( ? 2,? ? )

(B)(0,+ ? ) (C)(1,+ ? )

(D) (4,+ ? )

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)已知 a 为第二象限角, cos a ? ?
ab cd
k , m , n , r 成等比数列,则 k .r 的值为

4 5

,则 sin 2 a ?
x ?1 ? x 2 x ? 3

.

(14)定义运算

? ad ? bc ,函数 f ( x ) ?

图象的顶点坐标是( m , n ) ,且

.

(15)若 x,y 满足 ?

?? x ? y ? 0, ?? x ? 2 y ? 2,

则 C ? log 1 ( x ? y )的最大 值 为
2

.

(16)如图,A、B 分别是射线 OM、ON 上的点,给出下列以 O 为起点 的向量:① OA ? 2 OB ;② ④
3 4 OA ? 1 5 OB ;⑤ 3 4 1 2 OA ? BA ? OA ? 1 3 2 3 OB ; ③ 3 4 OA ? 1 3 OB ;

OB .其中终点落地阴影区域

内的向量的序号是 (写出满足条件的所有向量的序号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? ) ( ? ? 0,0 ? ? ? ? )在一个周期上的一系列对应值如下表: X y ? ?
?

?
4

0 1

?
6 1 2

?
4

?
2

3? 4

? ?

0

0

-1

0

(Ⅰ) 求 f ( x ) 的解析式;

(Ⅱ)在 ? ABC 中,AC=2,BC=3,A 为锐角,且 f ( A ) ? ? (18) (本小题满分 12 分)

1 2

,求 ? ABC 的面积.

设数列 ?a n ? 的各项都是正数, 且对任意 n ? N , 都有 ( a n ? 1)( a n ? 3 ) ? 4 S n , 其中 S n 为
*

数列 ?a n ? 的前 n 项和。 (Ⅰ)求证数列 ?a n ? 是等差数列; (Ⅱ)若数列 ?
? ? 1 ? 的前 n 项和为 Tn,试证明不等式 ? T n ?1 成立. 2 ? an ? 1? 4
2

(19) (本小题满分 12 分) 某市芙蓉社区为了解家庭月均用水量 (单位: , 吨) 从社区中随机抽查 100 户, 获得每户 2013 年 3 月的用水量,并制作了频率分布表和频率分布直方图(如图). (Ⅰ)分别求出频率分布表中 a、b 的值,并估计社区内家庭月用水量不超过 3 吨的频率; (Ⅱ)设 A1、A 2、A
3

是月用水量为[0,2)的家庭代表. B1、B

2

是月用水量为[2,4]的家庭代

表.若从这五位代表中任选两人参加水价听证会,请列举出所有不同的选法,并求家庭代表
B1、B
2

至少有一人被选中的概率.

(20) (本小题满分 12 分) 如图是一直三棱柱(侧棱 CD ? 底面ABC )被削去上底后的直观图与三视图的侧(左)视

图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,N 是 BC 的重点,侧(左视图是直角梯形,俯视图是等 腰直角三角形,有关数据如图所示. (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:AN//平面 CEM; (Ⅲ)求证:平面 BDE⊥平面 BCD。 (21) (本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 过点 D (1,

2 2

) 焦点为 F1、F ,

2

, 满足 DF 1 DF 2 ?

.

1 2

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A、B,P 为椭圆上一点,且满足
OA ? OB ? t OP (其中 O 为坐标原点),求整数 t 的最大值.

(22) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? a ( x ? 1) ? 1 nx ( a ? R ) .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x 2 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? ?
1 4

时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间;
? x ? 1, ?y ? x ?1

(Ⅲ) x ? [1, ?? ) 时, 当 函数 y ? f ( x ) 图象上的点都在不等式组 ? 求 a 的取值范围。

所表示的区域内,

2013 届高三模拟考试
2013.05 说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,均应参照本标准相应评分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—5CDCAB 6—10BDBCA 11—12DB (1)解析:答案 C, B ? { ? 1,1} , ( ? B ) ? { ? 2 , 0, 2} , A ? ( ?U B ) = {2} .
U

文科数学参考答案及评分标准

(2)解析: 答案 D,

z1 z2

=
6 30

1 ? 3i 3 ? 2i

=

9 ? 7i 13

.

(3)解析: 答案 C, 由

=

x 40

,求得在高二年级的学生中应抽取的人数 x ? 8 .

(4)解析:答案 A, x ? 2 x ? 0 解得 0 ? x ? 2 ,可以推出 0 ? x ? 4 ,反之不成立,充分不必 要条件. (5)解析:答案 B, ①若 a ? b , a // ? , 推不出 b / / ? ;②若 a // ? , ? ? ? , 则 a ? ? 错,可能
2

a

// ?



③ 若 a ? ? , ? ? ? , 则 a // ?

错 , 可 能 a

在 ?

内 ; ④ 若

a ? b , a ? ? , b ? ? , 则 ? ? ? 正确,过 a 与 ? 的交点作 b 的平行线 c 必在 ? 内,则 c ? ? ,

所以 ? ? ? . (6)解析:答案 B, m =1 时,输出 1, m =2 时,输出 4. (7)解析: 答案 D, a ? 1 时, y ? sin ax 周期小于 2 π ,0 ? a ? 1 时, y ? sin ax 周期大于 2 π .
π

(8)解析:答案 B.由于 x ? [ 0 ,

π 2

] 时, sin x ? cos x ? [1,

2] ,故要求概率为

2 π 2 ? (? π 6 )

?

3 4

.

(9)解析:答案 C,图(Ⅰ)中函数为 y ? kx ? b ,其中 k 为票价, b 为付出的成本.则图(Ⅱ) 是:降低成本,并保持票价不变;图(Ⅲ)是:提高票价,并保持成本不变.

(10)解析: 答案 A.由已知方程 a x ? 2 x ? b ? 0 ( a ? 0 ) 有相等的实数解, ? ? 0 , a b ? 1 . ∴ 即
2

a ?b
2

2

a?b

?

(a ? b) ? 2ab
2

(a ? b )

? (a ? b) ?
c 2 ? , bc 2a

2 (a ? b )

,因为 a ? b ,所以 ( a ? b ) ?

2 (a ? b)

? 2

2 .

(11)解析: 答案 D.易得 M (

)当 ? F1 MF 2 为锐角时, . 必有 O M ? O F1 ? O F 2 成立.因 (
?c ? ? bc ? ? ? ??? ? ?2? ? 2a ?
2 2

为点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外) .即: 整理得: e ? 1 ?
2

? c,

b a

2 2

? 4 ,即: e ? 2 .

(12)解析:答案 B.? y ? f ? x ? 2 ? 为偶函数,? y ? f ? x ? 2 ? 的图象关于 x ? 0 对称,
? y ? f

? x ? 的图象关于 x
f

? 2

对称,?

f (4) ? f ? 0 ? ? 1 .

设 g (x) ? 又?
? f

?x?
e
x

( x ? R ) ,则 g ? ( x ) ?

x f ?? x? e ? f

?x?e

x

e

2x

?

f ?? x? ? f e
x

?x?



f ?? x? ? f

? x ? ,?

f ?? x? ? f

?x? ?
e
0

0 ? g ?( x ) ? 0 , y ? g ( x ) 故

在定义域上单调递减. B.

?x? ?
24 25

e ,? g ( x ) ? 1, 又 g (0 ) ?
x

f ?0?

? 1,? g ( x ) ? g (0 ), ? x ? 0 . 故选

二、本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13) ? ; (14)14;
24 25

(15)-2; , s in ? ?
3 5

(16)①③. ,则 sin 2 ? ? ?
x ?1 ?x 2 x?3
24 25

(13)解析:答案. ?

.

(14) 解 析 : 答 案 14 , f ( x) ?
m ? ?2, n ? ?7 , k ? r = mn =14.

2 = ( x ? 1)( x ? 3) ? 2 x = x ? 4 x ? 3 ,

(15)解析:答案-2,设 z ? x ? y , y ? ? x ? z , 直线 ? x ? y ? 0 与 ? x ? 2 y ? 2 交于(2,2) , 由图象知 z ? x ? y 的最小值为 4,从而 C ? log 1 ( x ? y ) 的最大值为-2.
2

(16) 解 析 : 答 案 ① ③ . 根 据 向 量 加 法 法 则 — 平 行 四 边 形 法 则 知 ①③ 正 确 , 对 于 ⑤ 将 ??? ? ??? ??? ? ? B A ? O A ? O B 代入由平行四边形法则得起终点在阴影区域外. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解:由表知, f ( 0 ) ? 1, f ( ) ? ? 1 ,又 f ( x ) ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , 0 ? ? ? π ) ,
2 π





2 ? f ( x ) ? cos 2 x .

?

? 2?(

π

? 0 ), sin ? ? 1 ,从而 ? ? 2 , ? ?

π 2

. ??????????6 分

? S ? ABC ?

1 2

? AC ? BC ? sin C ?

3 2 ? 2

3

.

…………………………12 分

(18)解: (Ⅰ)∵ ( a n ? 1)( a n ? 3 ) ? 4 S n ,当 n ? 2 时, ( a n ? 1 ? 1)( a n ? 1 ? 3 ) ? 4 S n ? 1 , 两式相减,得 a n ? a n ? 1 ? 2 a n ? 2 a n ? 1 ? 4 a n ,即
2 2

( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ? 2 ) ? 0 ,又 a n ? 0 ,∴ a n ? a n ? 1 ? 2 .

??????4 分 ??????6 分

当 n ? 1 时, ( a 1 ? 1)( a 1 ? 3 ) ? 4 a 1 ,∴ ( a 1 ? 1)( a 1 ? 3 ) ? 0 ,又 a 1 ? 0 ,∴ a 1 ? 3 . 所以,数列 { a n } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ), a 1 ? 3 , d ? 2 ,∴ a n ? 2 n ? 1 . 设 bn ?
4 an ? 1
2

, n ? N ; ∵ a n ? 2 n ? 1 , ∴ a n ? 1 ? 4 n ( n ? 1)
4 ? 1 n ( n ? 1) ? 1 n
1 2

?

2

∴ bn ?

4 n ( n ? 1)

?

1 n ?1
1 2 ? 1 3 )?? ? ( 1 n ? 1 n ?1 ) =1 ?

??????9 分
1 n ?1 ? 1 .?11 分

? T n ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? ? ? b n = (1 ?

)?(

又? T n ? 1 ? T n ?

n ?1 n?2

?
1 2

n n ?1

?

1 ( n ? 2 )( n ? 1)

? 0 , ? T n ? 1 ? T n ? T n ? 1 ? ? ? T1 =

1 2

,

综上所述:不等式

? T n ? 1 成立.

????12 分 ????? 2 分

(19)解:(Ⅰ)由频率分布直方图可得 a

? 0 .5 ? 0 .5 ? 0 .2 5 ,

∴月用水量为 [1 .5, 2 ) 的频数为 25. 故 2 b ? 1 0 0 ? 9 2 ? 8 ,得 b ? 4 . ?????????? 4 分 由频率分布表可知,月用水量不超过 3 吨的频率为 0 .9 2 , 所以,家庭月用水量不超过 3 吨的频率约为 0 .9 2 . ??? 6 分 (Ⅱ)由 A1 、 A 2 、 A 3 、 B 1 、 B 2 五代表中任选 2 人共有如下 1 0 种不同选法,分别为:
( A1, A 2 ) , ( A1, A3 ) , ( A1, B 1 ) , ( A1, B 2 ) , ( A 2, A 3 ) , ( A 2, B 1 ) , ( A 2, B 2 ) , ( A3, B1 ) , ( A 3, B 2 ) , ( B 1, B 2 ) .

?????????? 8 分

记“ B 1 、 B 2 至少有一人被选中”的事件为 A ,事件 A 包含的基本事件为:
( A1, B 1 ) , ( A1, B 2 ) , ( A 2, B 1 ) , ( A 2, B 2 ) , ( A3, B1 ) , ( A 3, B 2 ) , ( B 1, B 2 ) ,

共包含 7 个基本事件数. 又基本事件的总数为 1 0 ,所以 P ( A ) ?
7 10

?????? 10 分 .
7 10

即家庭代表 B 1 、 B 2 至少有一人被选中的概率为

.

???????? 12 分

(20)解: (Ⅰ)由题意可知:四棱锥 B-ACDE 中,平面 ABC⊥平面 ACDE,AB⊥AC,

AB⊥平面 ACDE,又 AC=AB=AE=2,CD=4, 则四棱锥 B-ACDE 的体积为: V ? S 梯 形 A C D E ? A B ? ?
3 3 1 1 (4 ? 2) ? 2 2

????2 分
?2?4

, ????4 分

即该几何体的体积为 4. (Ⅱ)证明:由题图知,连接 MN,则 MN∥CD, 且MN ?
1 2 CD

.又 AE∥CD,且 A E ?

1 2

CD

, ………6 分

∴ M N ∥ A E , M N = A E ,∴四边形 ANME 为平行四边形, ∴AN∥EM. ∵AN ? 平 面 CME , EM ? 平 面 CME , ∴AN∥ 平 面 CME. ……………8 分 (Ⅲ)证明:∵AC=AB,N 是 BC 的中点,∴AN⊥BC, 又平面 ABC⊥平面 BCD,∴AN⊥平面 BCD.…………10 分 由(Ⅱ)知:AN∥EM, ∴EM⊥平面 BCD, 又 EM ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BCD. ???12 分 (21)解: (Ⅰ)解析:由已知过点 D (1,
2 2
???? D F 1 =(-c-1,-

) ,得

1 a
2

?

1 2b
2

? 1 ,①

记 c= a2-b2,不妨设 F1(-c,0),F2(c,0),则
2 2

), D F 2 =(c-1,-
2 2
2
2

???? ?

2 2

),
2 2 2

由 D F 1 ? D F2 ?

????

???? ?

1 2
2

? ( ? c ? 1)( c ? 1) ? ( ?

) ,得 c =1,即 a -b =1.②

由①、②,得 a ? 2 ,b =1. 故椭圆 C 的方程为
x
2

? y

2

? 1 .?????????????????? 5 分

2

(Ⅱ)由题意知,直线 A B 的斜率存在. 设 A B : y ? k ( x ? 2 ) , A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y ) ,
? y ? k ( x ? 2 ), ? 2 2 2 2 由? x2 得 (1 ? 2 k ) x ? 8 k x ? 8 k ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1. ? ? 2
? ? 6 4 k ? 4 ( 2 k ? 1)(8 k ? 2 ) ? 0 , k
4 2 2

2

?

1 2

.

x1 ? x 2 ?

8k

2

2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ??? ??? ? ? ??? ? x ? x2 8k ∵ O A ? O B ? t O P ,∴ ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? t ( x , y ) , x ? 1 , ? 2 t t (1 ? 2 k )
2

, x1 x 2 ?

8k ? 2
2

,???????????????????8 分

y ?

y1 ? y 2 t

?

1 t

[ k ( x1 ? x 2 ) ? 4 k ] ?

?4k t (1 ? 2 k )
2

.
? 2,

∵点 P 在椭圆上,∴
2 2 2

(8 k )
2

2

2 2 2

t (1 ? 2 k )

?2

(?4k )
2

2 2 2

t (1 ? 2 k )

∴ 1 6 k ? t (1 ? 2 k ) ,?????????????????????????12 分
t ?
2

16k

2 2

1 ? 2k

?

16 1 k
2

?

16 2?2

? 4, 则 - 2 ? t ? 2 ,∴ t 的最大整数值为 1. ???13 分

?2

(22)解: (Ⅰ)由已知函数的定义域为 (0, ? ? ) , f ? ( x ) ? 2 a ( x ? 1) ?

1 x

?

2 a ( x ? 1) x ? 1 x

由已知 f ? ( x ) ? 0 两个相异正实数根 x 1 , x 2 ,即 2 a x ( x ? 1) ? 1 ? 0 有两相异正根,则必有
? a ? 0, a ? 0 ,从而 ? 解得 a ? 2 . 2 ? ? ? 4 a ? 8a ? 0,

…………………………………4 分

(Ⅱ) a ? ?
f ?( x ) ? ? 1 2

1 4

, f (x) ? ?

1 4

( x ? 1) ? ln x , ( x ? 0 ) ,
2

x?

1 2

?

1 x

?

?x ? x ? 2
2

?

? ( x ? 2 )( x ? 1)

,

2x 2x 所以,当 0 ? x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , 2 ) ; 当 x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 的单调递减区间是 ( 2 , ? ? ) .…………………8 分

(Ⅲ)由题意得 a ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 对 x ? [1, ? ? ) 恒成立,
2

2 设 g ( x ) ? a ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1, x ? [1, ? ? ) 则使 g ( x ) m a x ? 0 , x ? [1, ? ? ) 成立,

求导得 g ? ( x ) ?

, x x (1)当 a ? 0 时,若 x ? 1, 则 g ? ( x ) ? 0 , 所以 g ( x ) 在 [1, ? ? ) 单调递减,∴ g ( x ) ? g (1) ? 0 .

2 a x ? ( 2 a ? 1) x ? 1
2

?

( 2 a x ? 1)( x ? 1)

(2)当 0 ? a ? 存在
1 a ?[ 1

1 2

时, x ?

1 2a

? 1 ,则 g ( x ) 在 [1,

1 2a

] 单调递减, [

1 2a

, ? ? ) 单调递增,

1 1 1 1 2 , ? ? ) ,有 g ( ) ? a ( ? 1) ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , 2a a a a a
1

所以不成立.
? 1 则 g ? ( x ) ? 0 , 所以 g ( x ) 在 [1, ? ? ) 单调递增, 2 2a 所以存在 x ? 1, 使得 g ( x ) ? g (1) ? 0 , 则不符合题意.

(3)当 a ?

时, x ?

1

综上所述 a ? 0 .

…………………………………13 分

2013 届高三模拟考试
2013.05 说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,均应参照本标准相应评分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—5CDCAB 6—10BDBCA 11—12DB 二、本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13) ?
24 25

文科数学参考答案及评分标准

;

(14)14;

(15)-2;
π

(16)①③.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解:由表知, f ( 0 ) ? 1, f ( ) ? ? 1 ,又 f ( x ) ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , 0 ? ? ? π ) ,
2





?

? 2?(

π 2

? 0 ), sin ? ? 1 ,从而 ? ? 2 , ? ?

π 2

. ??????????6 分

? f ( x ) ? cos 2 x .

? S ? ABC ?

1 2

? AC ? BC ? sin C ?

3 2 ? 2

3

.

…………………………12 分

(18)解: (Ⅰ)∵ ( a n ? 1)( a n ? 3 ) ? 4 S n ,当 n ? 2 时, ( a n ? 1 ? 1)( a n ? 1 ? 3 ) ? 4 S n ? 1 ,
2 2 两式相减,得 a n ? a n ? 1 ? 2 a n ? 2 a n ? 1 ? 4 a n ,即

( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ? 2 ) ? 0 ,又 a n ? 0 ,∴ a n ? a n ? 1 ? 2 .

??????4 分

当 n ? 1 时, ( a 1 ? 1)( a 1 ? 3 ) ? 4 a 1 ,∴ ( a 1 ? 1)( a 1 ? 3 ) ? 0 ,又 a 1 ? 0 ,∴ a 1 ? 3 . 所以,数列 { a n } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ), a 1 ? 3 , d ? 2 ,∴ a n ? 2 n ? 1 . 设 bn ?
4 an ? 1
2

??????6 分

, n ? N ? ; ∵ a n ? 2 n ? 1 , ∴ a n ? 1 ? 4 n ( n ? 1)
2

∴ bn ?

4 4 n ( n ? 1)

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n
1 2

?

1 n ?1
1 2 ? 1 3 )?? ? ( 1 n ? 1 n ?1 ) =1 ?

??????9 分
1 n ?1

? T n ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? ? ? b n = (1 ?

)?(

? 1 .?11 分

又? T n ? 1 ? T n ?

n ?1 n?2

?

n n ?1

?

1 ( n ? 2 )( n ? 1)

? 0 , ? T n ? 1 ? T n ? T n ? 1 ? ? ? T1 =

1 2

,

综上所述:不等式

1 2

? T n ? 1 成立.

????12 分 ????? 2 分

(19)解:(Ⅰ)由频率分布直方图可得 a

? 0 .5 ? 0 .5 ? 0 .2 5 ,

∴月用水量为 [1 .5, 2 ) 的频数为 25. 故 2 b ? 1 0 0 ? 9 2 ? 8 ,得 b ? 4 . ?????????? 4 分 由频率分布表可知,月用水量不超过 3 吨的频率为 0 .9 2 , 所以,家庭月用水量不超过 3 吨的频率约为 0 .9 2 . ??? 6 分 (Ⅱ)由 A1 、 A 2 、 A 3 、 B 1 、 B 2 五代表中任选 2 人共有如下 1 0 种不同选法,分别为:

( A1, A 2 ) , A1, A3 ) , A1, B 1 ) , A1, B 2 ) , A 2, A 3 ) , A 2, B 1 ) , A 2, B 2 ) , A3, B1 ) , ( ( ( ( ( ( ( ( A 3, B 2 ) , ( B 1, B 2 ) .

?????????? 8 分

记“ B 1 、 B 2 至少有一人被选中”的事件为 A ,事件 A 包含的基本事件为:
( A1, B 1 ) , ( A1, B 2 ) , ( A 2, B 1 ) , ( A 2, B 2 ) , ( A3, B1 ) , ( A 3, B 2 ) , ( B 1, B 2 ) ,

共包含 7 个基本事件数. 又基本事件的总数为 1 0 ,所以 P ( A ) ?
7 10

?????? 10 分 .
7 10

即家庭代表 B 1 、 B 2 至少有一人被选中的概率为

.

???????? 12 分

(20)解: (Ⅰ)由题意可知:四棱锥 B-ACDE 中,平面 ABC⊥平面 ACDE,AB⊥AC, AB⊥平面 ACDE,又 AC=AB=AE=2,CD=4, ????2 分 则四棱锥 B-ACDE 的体积为:
V ? 1 3 S 梯 形 ACDE ? A B ? 1 3 ? (4 ? 2) ? 2 2 ?2?4



即该几何体的体积为 4. ????4 分 (Ⅱ)证明:由题图知,连接 MN,则 MN∥CD, 且MN
? 1 2 CD

.又 AE∥CD,且 A E

?

1 2

CD

, ………6 分

∴ M N ∥ A E , M N = A E ,∴四边形 ANME 为平行四边形, ∴AN∥EM. ∵AN ? 平面 CME,EM ? 平面 CME, ∴AN∥平面 CME. ……………8 分 (Ⅲ)证明:∵AC=AB,N 是 BC 的中点,∴AN⊥BC, 又平面 ABC⊥平面 BCD,∴AN⊥平面 BCD.…………10 分 由(Ⅱ)知:AN∥EM, ∴EM⊥平面 BCD, 又 EM ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BCD. ???12 分 (21)解: (Ⅰ)解析:由已知过点 D (1,
2 2 ) ,得
1 a
2

?

1 2b
2

? 1 ,①

记 c= a2-b2,不妨设 F1(-c,0),F2(c,0),则
???? D F 1 =(-c-1,-
2 2

), D F 2 =(c-1,-

???? ?

2 2

),

由 D F 1 ? D F2 ?

????

???? ?

1 2

? ( ? c ? 1)( c ? 1) ? ( ?

2 2

) ,得 c =1,即 a -b =1.②

2

2

2

2

2 由①、②,得 a ? 2 ,b2=1.

故椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

? 1 .?????????????????? 5 分

2

(Ⅱ)由题意知,直线 A B 的斜率存在. 设 A B : y ? k ( x ? 2 ) , A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y ) ,
? y ? k ( x ? 2 ), ? 由? x2 得 (1 ? 2 k 2 ) x 2 ? 8 k 2 x ? 8 k 2 ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1. ? ? 2
? ? 6 4 k ? 4 ( 2 k ? 1)(8 k ? 2 ) ? 0 , k
4 2 2

2

?

1 2

.

x1 ? x 2 ?

8k

2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?
??? ?

8k ? 2
2

1 ? 2k

2

,???????????????????8 分

∵ O A ? O B ? t O P ,∴ ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ? t ( x , y ) , x ?
y1 ? y 2 t ?4k t (1 ? 2 k )
2

??? ?

??? ?

x1 ? x 2 t

?

8k

2 2

t (1 ? 2 k )



y ?

?

1 t

[ k ( x1 ? x 2 ) ? 4 k ] ?

.

∵点 P 在椭圆上,∴

(8 k )
2

2

2 2 2

t (1 ? 2 k )

?2

(?4k )
2

2 2 2

t (1 ? 2 k )

? 2,

∴ 1 6 k 2 ? t 2 (1 ? 2 k 2 ) ,?????????????????????????12 分
t
2

?

16k

2 2

1 ? 2k

?

16 1 k
2

?

16 2?2

? 4, 则 - 2 ? t ? 2 ,∴ t 的最大整数值为 1. ???13 分

?2

(22)解: (Ⅰ)由已知函数的定义域为 (0, ? ? ) , f ? ( x ) ? 2 a ( x ? 1) ?

1 x

?

2 a ( x ? 1) x ? 1 x

由已知 f ? ( x ) ? 0 两个相异正实数根 x 1 , x 2 ,即 2 a x ( x ? 1) ? 1 ? 0 有两相异正根,则必有
? a ? 0, 解得 a ? 2 . a ? 0 ,从而 ? 2 ? ? 4 a ? 8a ? 0, ?

…………………………………4 分

(Ⅱ) a ? ?
f ?( x ) ? ? 1 2

1 4

, f (x) ? ?

1 4

( x ? 1) ? ln x , ( x ? 0 ) ,
2

x?

1 2

?

1 x

?

?x ? x ? 2
2

?

? ( x ? 2 )( x ? 1)

,

2x 2x 所以,当 0 ? x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , 2 ) ; 当 x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 的单调递减区间是 ( 2 , ? ? ) .…………………8 分

(Ⅲ)由题意得 a ( x ? 1) 2 ? ln x ? x ? 1 对 x ? [1, ? ? ) 恒成立, 设 g ( x ) ? a ( x ? 1) 2 ? ln x ? x ? 1, x ? [1, ? ? ) 则使 g ( x ) m a x ? 0 , x ? [1, ? ? ) 成立, 求导得 g ? ( x ) ?
2 a x ? ( 2 a ? 1) x ? 1
2

?

( 2 a x ? 1)( x ? 1) x

,

x

(1)当 a ? 0 时,若 x ? 1, 则 g ? ( x ) ? 0 , 所以 g ( x ) 在 [1, ? ? ) 单调递减,∴ g ( x ) ? g (1) ? 0 . (2)当 0 ? a ? 存在
1 a ?[ 1 1 2

时, x ?

1 2a

? 1 ,则 g ( x ) 在 [1,

1 2a

] 单调递减, [

1 2a

, ? ? ) 单调递增,

1 1 1 1 2 , ? ? ) ,有 g ( ) ? a ( ? 1) ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , 2a a a a a
1 2

所以不成立. (3)当 a ? 时, x ?
1 2a ? 1 则 g ? ( x ) ? 0 , 所以 g ( x ) 在 [1, ? ? ) 单调递增,

所以存在 x ? 1, 使得 g ( x ) ? g (1) ? 0 , 则不符合题意. 综上所述 a ? 0 . …………………………………13 分


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