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1.2命题及其关系、充分条件与必要条件导学案


河曲中学预习案(2015 版)

高二数学一轮复习(文科)

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1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、 【学习目标】

1.理解命题的概念 2.了解“若 p 则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种 命题的相互关系 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义
二、 【自主学习】 基础回扣 1.命题 概念 特点 分类 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的_______ (1)能判断真假.(2)_______ (1)_______.(2)_______

2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:

(2)四种命题中的等价关系:原命题等价于_________,否命题等价于_______,在四种形 式的命题中真命题的个数只能是 0 或 2 或 4 3.充要条件 (1)相关概念: 若 p?q,则 p 是 q 的_____条件,q 是 p 的_____条件 p 是 q 的___________条件 p 是 q 的___________条件 p 是 q 的_____条件 p 是 q 的_________________条件 (2)集合与充要条件: p 成立的对象构成的集合为 A, p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). 第 1 页/共 5 页 q 成立的对象构成的集合为 B A 是 B 的_______ B 是 A 的_______ ____ A,B 互不_____ p?q 且 q p p?q p q且q p p

q 且 q?p

河曲中学预习案(2015 版) 个数是 1.( ) )

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(1)若原命题“若 p,则 q”为真,则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的 (2)已知命题“若 p 成立且 q 成立,则 r 成立”,则其逆否命题是“若 r 不成立,则 p 不成 立且 q 不成立”.( (3)命题“若 p 不成立,则 q 不成立”等价于“若 q 成立,则 p 成立”.( (4)已知集合 A,B,则 A∪B=A∩B 的充要条件是 A=B.( 考点自测 1.有以下命题:①集合 N 中最小的数是 1; ③若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值为 2; 其中真命题的个数为( (A)0 (B)1 (C)2 ) (D)3 ②若-a 不属于 N,则 a 属于 N; ④x
2

)

)

? 1 ? 2 x 的解可表示为{1,1}.

2.有以下命题:①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等” 的否命题;③“若 q≤1,则 x +2x+q=0 有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内 角相等”的逆命题. (A)①② (B)②③
2 2

其中真命题为( (D)③④

)

(C)①③

3.命题“若 x <1,则-1<x<1”的逆否命题是( (A)若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤-1
2 2

)
2

(B)若-1<x<1,则 x <1
2

(C)若 x>1 或 x<-1,则 x >1 (D)若 x≥1 或 x≤-1,则 x ≥1 4.已知 p:-4<k<0,q:函数 y=k x -kx-1 的值恒为负,则 p 是 q 成立的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 三、 【合作探究】 【典例 1】(1)(2012·湖南高考)命题“若α = 的逆否命题是( (A)若α ≠ ) ,则 tanα ≠1 (B)若α = (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
2

)

5.已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的 (

? 4
? 4

,则 tanα =1”

? 4

,则 tanα ≠1

(C)若 tanα ≠1,则α ≠

? 4

(D)若 tanα ≠1,则α =

? 4
)

(2)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( (A)若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 第 2 页/共 5 页

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(B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 拓展提升 1.一些词语及其否定 词语 否定 是 不是 都是 不都是 都不是 至少一个是 等于 不等于 大于 不大于

2.否定的方法 在根据原命题构造其否命题和逆否命题时,首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的 关键词搞清楚.注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指 的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是. 【变式训练】已知:命题“若函数 f(x)= e -mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列 结论正确的是( )
x

(A)否命题是“若函数 f(x)=

e x -mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”,是真命题 e x -mx 在(0,+∞)上是增函数”,是假命题 e x =-mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 e x -mx 在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
)

(B)逆命题是“若 m≤1,则 f(x)=

(C)逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x) (D)逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)= 考向 2 充分条件、必要条件的判断

【典例 2】(1)(2012·北京高考)设 a,b∈R,“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(2)(2012·天津高考)设φ ∈R,则“φ =0”是“f(x)=cos(x+φ )(x∈R)为偶函数”的( (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

)

【拓展提升】充要条件的三种判断方法 (1)定义法:即根据 p?q,q?p 进行判断. (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的充要条件转化为其逆 否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1 或者 y ≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1”的何种条件. 【变式训练】(1)若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的 子集,则( ) (B)“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 (D)“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也 (A)“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 (C)“x∈C”是“x∈A”的充要条件

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河曲中学预习案(2015 版) 不是“x∈A”的必要条件 (2)“m<

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1 4

”是“一元二次方程 x

2

? x ? m ? 0 有实数解”的(

)

(A)充分不必要条件 (C)必要不充分条件

(B)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

考向 3 充分条件、必要条件的探究与证明 【典例 3】已知集合 M={x|x<-3 或 x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件. (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件. 【互动探究】本例中条件不变,求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个必 要不充分条件. 【拓展提升】充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分 “充分性” 和 “必 要性”两个方面进行证明的.这类试题一般有两种设置格式. (1)证明:A 成立是 B 成立的充要条件,其中充分性是 A?B,必要性是 B?A. (2)证明:A 成立的充要条件是 B,此时的条件是 B,故充分性是 B?A,必要性是 A?B. 【提醒】 在分充分性与必要性分别进行证明的试题中,需要分清充分性是什么,必要性是什 么;在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明. 【易错误区】混淆充分性与必要性致误 考题研习 【典例】(2013·太原模拟)若 0<x< ? 2 (A)必要不充分条件 (C)充要条件 四、 【课堂基础达标训练】 1.(2013·菏泽模拟)有以下命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若 m≤1,则 x -2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中真命题为( (A)①② (B)②③ ) (C)④ (D)①②③
3 ≥0”是“(x+2)(x-1)≥0”的( x ?1
2

,则“

x?

1 ”是“ sin x

1 >x”的( sin x

)

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

2.(2013·石家庄模拟)“1+ (A)充分不必要条件 (C)充要条件

)

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
x

3.(2012·山东高考)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)= a

在 R 上是减函数”是“函数

第 4 页/共 5 页

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g(x)=(2-a) x 在 R 上是增函数”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

4.(2013·温州模拟)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要条件是( (A)a>b+1 (B)a>b-1 (C) a
2

)

? b2

(D) a

3

? b3
)

5.(2013·哈尔滨模拟)已知 p:α 是第二象限角,q:sinα >cosα ,则 p 是 q 的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

6.已知命题“函数 f(x),g(x)定义在 R 上,h(x)=f(x)·g(x),如果 f(x),g(x)均为奇函数, 则 h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 7.设 M,N 是两个集合,则“M∪N≠? ”是“M∩N≠? ”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 五、【问题反馈】 )

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