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高中数学第一轮复习《必修四》三角函数测试


高中数学第一轮复习《必修四》三角函数测试题 2006-8-4 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.命题 p:α是第二象限角,命题 q:α是钝角,则 p 是 q 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2.若角α满足 sinαcosα<0,cosα-sinα<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.集合 M={x|x=

A.M N B.N M C.M=N D.M∩N= ? 4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(1)、(3) D.(2)、(4) 5.设 a<0,角α的终边经过点 P(-3a,4a),那么 sinα+2cosα的值等于( ) A.

k? ? k? ,k∈Z}之间的关系是( ? ,k∈Z}与 N={x|x= 2 4 4

)

)

2 5

B.-

6.若 cos(π+α)=-

1 3 , π<α<2π,则 sin(2π-α)等于( 2 2
B.

2 5

C.

1 5

D.-

1 5
)

A.-

3 2

3 2

C.

1 2

D.±

3 2

7.已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( ) A.若α、β是第一象限角,则 cosα>cosβ B.若α、β是第二象限角,则 tanα>tanβ C.若α、β是第三象限角,则 cosα>cosβ D.若α、β是第四象限角,则 tanα>tanβ 8.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是(

)

2 C.2sin1 sin 1 1 9.如果 sinx+cosx= ,且 0<x<π,那么 cotx 的值是( 5 4 4 3 3 A.B.- 或C.3 3 4 4
A.2 B.

D.sin2 ) D.

4 3 或3 4
)

10.已知①1+cosα-sinβ+sinαsinβ=0,②1-cosα-cosβ+sinαcosβ=0.则 sinα的值为( A.

1 ? 10 3

B.

1? 5 3

C.

2 ?1 2

D.

1? 2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.tan300°+cot765°的值是_______. 2 2 12.已知 tanα=3,则 sin α-3sinαcosα+4cos α的值是______.

? ,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______. 3 1 14.若θ满足 cosθ>- ,则角θ的取值集合是______. 2
13.若扇形的中心角为 三、解答题(本题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 16 分) 设一扇形的周长为 C(C>0),当扇形中心角为多大时,它有最大面积?最大面积是多少?

16.(本小题满分 16 分) 设 90°<α<180°,角α的终边上一点为 P(x, 5 ),且 cosα= 求 sinα与 tanα的值.

2 x, 4

17.(本小题满分 16 分) 2 已知 sinα是方程 5x -7x-6=0 的根,求

3 3 sin( ?? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? tan 2 (2? ? ? ) 2 2 的值. cos(

? ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos 2 (? ? ? ) 2 2

18.(本小题满分 16 分) 已知 sinα+cosα=-

3 5 3 3 ,且|sinα|>|cosα|,求 cos α-sin α的值. 5

19.(本小题满分 16 分) 已知 sin(5π-α)= 2 cos(

7 π+β)和 3 cos(-α)=2

2 cos(π+β),

且 0<α<π,0<β<π,求α和β的值.

三角函数训练题(2)参考答案: 1.解析: “钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为 A; “第二象限角”用集合表示为{α|k·360°+90°<

α<k·360°+180°,k∈Z},令集合为 B.显然 A B. 答案:B 2.解析:由 sinαcosα<0 知 sinα与 cosα异号;当 cosα-sinα<0,知 sinα>cosα.故 sinα>0,cosα<0.∴α在第 二象限. 答案:B 3.解法一:通过对 k 的取值,找出 M 与 N 中角 x 的所有的终边进行判断.
解法二:∵M={x|x=

? ·(2k±1),k∈Z},而 2k±1 为奇数,∴M N. 4

答案:A 4.解析:787°=2×360°+67°,-957°=-3×360°+123°. -289°=-1×360°+71°,1711°=4×360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案:C 5.解析:∵r= ( ?3a ) ? ( 4a ) ? ?5a .α为第四象限. ∴ sin ? ? 答案:A 6.解析:∵cos(π+α)=2 2

y 4 x 3 2 ? ? , cos ? ? ? .故 sinα+2cosα= . r 5 r 5 5 1 1 3 ,∴cosα= ,又∵ π<α<2π. 2 2 2

∴sinα=- 1 ? cos ? ? ?
2

3 3 .故 sin(2π-α)=-sinα= . 2 2

答案:B 7.答案:D 8.解析:∵圆的半径 r= ∴弧度 l=r·α= 答案:B 9.分析:若把 sinx、cosx 看成两个未知数,仅有 sinx+cosx= 解析:∵0<x<π,且 2sinxcosx=(sinx+cosx) -1=∴ cosx<0. 故 sinx-cosx= cotx=2

2 . sin 1

2 ,α=2 sin 1

24 . 25

1 2 2 是不够的,还要利用 sin x+cos x=1 这一恒等式. 5

(sin x ? cos x) 2 ? 4 sin x cos x ?

3 . 4 1 ? cos ? 1 ? cos ? ,cosβ= . 1 ? sin ? 1 ? sin ?
2 2

7 1 4 3 , 结 合 sinx+cosx= , 可 得 sinx= ,cosx=- , 故 5 5 5 5

答案:C 10.分析:已知条件复杂,但所求很简单,由方程思想,只要由①、②中消去β即可. 解析:由已知可得:sinβ=

以上两式平方相加得:2(1+cos α)=1-2sinα+sin α. 即:3sin α-2sinα-3=0.故 sinα= 答案:A 11.解析:原式=tan(360°-60°)+cot (2×360°+45°)=-tan60°+cot45°=1- 3 . 答案:1- 3 12.分析:将条件式化为含 sinα和 cosα的式子,或者将待求式化为仅含 tanα的式子. 2 2 解法一:由 tanα=3 得 sinα=3cosα,∴1-cos α=9cos α. ∴cos α=
2 2

1 ? 10 1 ? 10 或 sinα= (舍). 3 3

1 . 10
2 2 2 2

故原式=(1-cos α)-9cos α+4cos α=1-6cos α= 解法二:∵sin α+cos α=1. ∴原式=
2 2

2 . 5

sin 2 ? ? 3 sin ? cos ? ? 4 cos 2 ? tan 2 ? ? 3 tan ? ? 4 9 ? 9 ? 4 2 ? ? ? 9 ?1 5 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 2 5

答案:

13.分析:扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆. 解析: 设扇形的圆半径为 R, 其内切圆的半径为 r,则由扇形中心角为 故 S 扇∶S 圆=

3 . 2 3 答案: 2

? 1 ? 2 2 ? 2 知: 2r+r=R,即 R=3r.∴S 扇= αR = R ,S 圆= R . 3 2 6 9

14.分析:对于简单的三角不等式,用三角函数线写出它们的解集,是一种直观有效的方法.其过程是:一定终边,二 定区域;三写表达式.

解析:先作出余弦线 OM=要 cosθ>-

1 ,M 点该沿 x 轴向哪个方向移动?这是确定区域的关键.当 M 点向右移动最后到达单位圆与 x 轴正向的交点时, 2 2 2 OP1、OP2 也随之运动,它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2kπ- π<θ<2kπ+ π,k∈ 3 3 Z}. 2 2 答案:{θ|2kπ- π<θ<2kπ+ π,k∈Z} 3 3
15.解:设扇形的中心角为α,半径为 r,面积为 S,弧长为 l,则:l+2r=C,即 l=C-2r.

1 1 ,过 M 作垂直于 x 轴的直线交单位圆于 P1、P2 两点,则 OP1、OP2 是 cosθ= 时θ的终边. 2 2

1 1 C 2 C2 ∴ S ? lr ? (C ? 2r ) ? r ? ?( r ? ) ? . 2 2 4 16
故当 r=

C2 C 时,Smax= , 16 4 l C ? 2r ? ? r r C? C 4 C 2 ? 2.

此时:α=

C2 ∴当α=2 时,Smax= . 16
16.解:由三角函数的定义得:cosα=

x x2 ? 5

,又 cosα=

2 x, 4



x x ?5
2

?

2 x?x?? 3. 4

由已知可得:x<0,∴x=- 3 . 故 cosα=-

6 10 15 ,sinα= ,tanα=. 4 4 3
2

17.解:∵sinα是方程 5x -7x-6=0 的根.

3 或 sinα=2(舍). 5 9 16 9 2 2 故 sin α= ,cos α= ? tan2α= . 25 25 16
∴sinα=∴原式=

cos ? ? (? cos ? ) ? tan 2 ? 9 ? tan 2 ? ? . 2 16 sin ? ? (? sin ? ) ? cot ?

18.分析:对于 sinα+cosα,sinα-cosα及 sinαcosα三个式子,只要已知其中一个就可以求出另外两个,因此本 题可先求出 sinαcosα,进而求出 sinα-cosα,最后得到所求值. 解:∵sinα+cosα=-

3 5 , 5

9 2 ? sinαcosα= . 5 5 1 2 故(cosα-sinα) =1-2sinαcosα= . 5
∴两边平方得:1+2sinαcosα=

由 sinα+cosα<0 及 sinαcosα>0 知 sinα<0,cosα<0. 又∵|sinα|>|cosα|,∴-sinα>-cosα cosα-sinα>0. ∴cosα-sinα=

5 . 5
3

因此,cos α-sin α=(cosα-sinα)(1+sinαcosα)=
2 2

3

5 2 7 5 ×(1+ )= . 5 5 25

评注:本题也可将已知式与 sin α+cos α=1 联解,分别求出 sinα与 cosα的值,然后再代入计算. 19.分析:运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中,一般都是利用平方关系进行消元. 解:由已知得 sinα= 2 sinβ ① ②
2

3 cosα= 2 cosβ
由① +② 得 sin α+3cos α=2. 2 2 即:sin α+3(1-sin α)=2. ∴sin α=
2 2 2 2

2 2 1 ,由于 0<α<π,所以 sinα= . ? sinα=± 2 2 2

故α=

? 3 或 π. 4 4
3 ? ? 时,cosβ= ,又 0<β<π,∴β= , 4 2 6 3 3 5 π时,cosβ=,又 0<β<π,∴β= π. 4 2 6

当α=

当α=

综上可得:α=

? ? 3 5 ,β= 或α= π,β= π. 4 6 4 6


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