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数学教学:教什么和怎么教


数学教学:教什么和怎么教
李祎 福建师范大学 数学与计算机科学学院

目 录 ? 一、数学教师应具备的素质 ? 二、数学教学“为什么教” ? 三、数学教学“教什么” ? 四、数学教学“怎么教” ? 五、数学教学“教得怎么样”

一、数学教师应具备的素质
? 庸师:如同庸医,不仅不能教好学,反而会把学 生越搅越糊涂,甚至会贻误学生终生。 ? 教书匠:知识的搬运工,把自己会的东西简单的 搬运给学生,没有智慧,没有思维火花,不会贻 误学生一生,但也没有太大发展。 ? 经师:不仅能教给学生知识和技能,并且能培养 学生一定的能力,属于较高水平的教师。 ? 人师:不仅给学生知识和能力,还能给学生智慧, 更能在思想上、人格上影响学生,使学生在获得 知识、培养能力的同时,还产生了智慧,形成了 健康人格。

? 深入深出型,自己的知识很丰富、很深奥,交给 学生的知识也很深奥,学生听得不明所以然。

? 浅入深出型,自己的知识很贫乏,但却要装得很
有学问,把本来浅显的问题讲得云山雾罩。

? 浅入浅出型,自己懂得并不多,但能用通俗的语
言教给学生,虽说学生不会有太多提高,但能学 到一些知识。 ? 深入浅出型,自己的学问很深,但能把晦涩难懂 的知识通俗化,学生听得懂、学得会。

? 如何做到“深入浅出”呢? ? 教师的知识结构:本体性知识,条件性知识,实 践性知识,一般文化知识。 ? 数学教师“两手抓,两手硬”:数学素养与教育 理论素养。 ? 数学教学“三吃透”:吃透教材、吃透学生和吃 透理论。

? 数学教学设计的关键:理解数学与稚化思维;先 解构,再建构;处理好历史序、逻辑序与心理序 的关系。

? 如何提高自身素养呢——以数学素养为例 ? (1)从微观上对数学知识的准确、深刻理解

? (2)从宏观上对数学知识整体结构的正确把握
? (3)对显性知识背后隐性的思想方法的认识

? (4)对中小学数学中某些拓展性知识的认知
? (5)对数学知识 “来龙去脉”的过程性把握

? (6)从高观点对中小学数学的居高临下的认识
? 通过“追问”:形成正确认识,获得深层理解,

拓展学科知识,获得较高观点。

二、数学教学“为什么教”
? 数学教育:以数学学科为载体培育人
? 教育是一把“双刃剑” ? 对中美教育的比较和反思 ? 数学教育现象反思:懂而不会和会而不懂 ? 真正的教育是什么?——西点军校的启示 ? 数学教育仅仅是为了考试和分数吗? ? 数学教育已退化和沦陷为单纯的解题训练——

解题教学新八股
猜题 解 题 教 学
押题 做模拟试题 教得分方法
讲类型化例题 练公式化步骤

动手能力差 高 分 低 能

考 试

应用能力弱

创造水平低

三、数学教学“教什么”
? 教学的本质 ? 教学:就是“教学生学”。 ? 学生:学什么;怎么学。 ? 教师:“教什么”是指“教学生学什么”和“教 学生怎么学” 。 ? 教师:“怎样教”是指“怎样教学生学什么”和 “怎样教学生怎么学” 。

? 高水平教师与普通教师的差别在哪里?

? (一)教学生学“本质”
? (二)教学生学“过程” ? (三)教学生学“思想”

? (四)教学生学“结构”

(一)教学生学“本质”
? 1.数学概念的本质
? 概念是反映事物本质属性的思维产物. ? 数学:空间形式和数量关系. ? 数学概念:反映数学对象的本质属性的思维产物. ? 本质属性:共有性,特有性,整体性。 ? 示例1:集合的本质 ? 幼儿园小孩子学集合

? 示例2:距离
? 初中 阶 段学 过 的“ 距 离” : “两 点 之间 的距 离” ; “直 线 外一 点 到已 知 直线 的 距离 ”; “两平行线之间的距离”。 ? 距离的本质:图形 P 内的任一点与图形 Q 内的任 一点间的距离中的最小值,叫做图形 P 与图形 Q 的距离。 ? 把握住这一本质,高中阶段学习“点到平面的 距离”“直线到与它平行的平面的距离”“两 个平行平面的距离”“异面直线的距离”的概 念时,学生也能做到不教自明。

? 示例3:概率的统计定义 ? 一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的 频率会稳定在某个常数p附近,那么事件发生的 概率P(A)=p。(九年级上册) ? 频率稳定于概率,不是说频率的极限是概率, n 稳定于p不能写成:
lim
n ??

? n

?n
n

?p

? “

?n n

稳定于p”意味着对 ?? ? 0 ,有 ?n lim P(| ? p? ?) ?1 n ?? n

? 即是说只要n充分大,那么频率充分接近概率 的概率就是1。 ? 大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定 性。就是说当 n很大时,事件发生的频率与概 率有较大偏差的可能性很小。 ? 实验目的在于体验用大数次实验的频率来估计 概率的方法,而不在于验证可能性相等。

? 示例4:方程 ? 方程的定义“含有未知数的等式叫方程”,并没

有反映方程的本原思想。教师在方程定义的黑体
字上大做文章,反复举例,咬文嚼字地学习,朗

朗上口地背诵,没有实质性的意义。绝对没有学
生因为背不出这句话而学不会“方程”的。 ? 方程的本质在于对已知数和未知数一视同仁,通 过建立起已知数和未知数之间的等式关系,从而 求得未知数。

? 理解方程的本质,首先要理解等式的意义。
? 例如,3+2=5和3+2=1+4虽然都是等式,但

是两个“=”却可以有着完全不同的意义:
? 前者的“=”表示的是“求取解答”的过程, 它的方向是从左到右,等号两边并不具有同等 的地位,这就是等式的“程序性观点”; ? 后者的“=”表示两边的计算结果相等,等号 两边具有同等的地位,它们都是 3 + 2 = 1 + 4 这 一整体性数学“结构”的一个部分,这就是等

式的“结构性观点”。

? 学习用字母表示数之前,是过程层面的思维方 式,其思维定式是列出算式就要算出确定结果。 这种思维方式对将一个代数式作为思考对象是 不能接受的,总觉得“这样还没算完”。
? 对象层面的思维方式更多地关注算法本身,结 果是次要的。学习用字母表示数的难点是:既 要体会用字母表示数的概括性,更要体会含字 母的式子也能看做最后结果。

? 学生认识方程本质的最大困难就在于受“程序 性观点”的影响,始终拘泥于具体的运算,而 不能把方程看成一个两边相等的整体结构。 ? (“连等”现象:x-5=8=x=8+5=x=13. )

? 认识方程的意义,需要从两个方面入手: ? 一是认识方程的显性特征,即“含有未知数”和

“等式”。可以采用两次分类的方法,通过比较
帮助学生认识方程的外部特征。

? 二是认识方程的隐性特征。认识方程的意义,更
为重要的是要帮助学生逐步克服算术思想的影响,

逐步实现学生对等式的“程序性观点”向“结构
性观点”的转变,使学生体会到方程是表示已知 量和未知量之间相等关系的一种数学模型。

? 更一般地看,算术运算与代数运算的区别在于:
? 区别一:算术运算处理具体数字,而代数运算处理抽象 符号。算术运算针对已知量进行操作,每个数字代表确 定的意义;代数运算用抽象的符号表示未知量,再对符 号进行运算变换。 ? 区别二:算术思维是特殊化思维,而代数思维是一般化 思维。算术针对特定情境中的具体问题进行具体分析, 采用的是特殊化思维方式;代数则可以脱离具体情境, 概括问题的一般化特征。

? 区别三:算术关注解决问题的程序,而代数则重视问题 的结构。算术关注解决问题的具体方法和策略;代数则 关注从问题中抽象出来的结构关系式,并对该关系式进 行形式化操作。

? 2.数学结论的本质 ? (1)人为约定的结论 ? 数学知识不是“铁板一块” ? 示例5: 0为什么不能作除数

? 示例6:分数为什么要这样相加减?
? 示例7:为什么要“先乘除后加减”

? 示例8:为什么要规定a0=1?
? 示例9:集合的“三性” ? (教学之可为;教学之不可为)

? (2)可以证明的结论 ? 思考:什么样的数学结论,有资格成为数学定 理或公式? ? 经常用到,推证不易,形式简单。

? 经常不用:
? 梅涅劳斯定理:如果在△ABC的三边BC、CA、

AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点
共线,则
BD CE AF ? ? DC EA FB

=1

? 塞瓦定理:设O是△ABC内任意一点,AO、BO、CO 分别交对边于N、P、M,则
AM BN CP ? ? ?1 MB NC PA

? 推证容易:
? 弧长公式 ?
l? n? R 180

; , S ? 1 lR 。
2

2 n ? R 扇形面积公式 S ? 360

? 形式复杂:

? 正切定理:设
下面的结论:
B ?C tan b?c 2 ? b ? c tan B ? C 2

?ABC

的三边分别为 a、b、c

,则有

A? B tan a ?b 2 ? a ? b tan A ? B 2

C?A c?a 2 ? c ? a tan C ? A 2 tan

? 理解命题的功用:
? 示例10:平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2

? 平方差公式是乘法公式的一种。多项式的乘法法则
是一个一般性的法则,乘法公式是整式乘法法则的

下位,是一般法则形式下特殊形式的特征。
? 将“特例”作为“公式”,主要基于以下考虑: ? 第一,为符合公式特征的整式乘法运算带来方便; ? 第二,为后续学习奠定基础,如“用公式法分解因 式”“分式的运算与化简”“解一元二次方程”等。

? 方法论意义: ? 其一是“特殊化”思想。建立在“多项式乘以

多项式”基础之上的“平方差公式”,承载的
不仅仅是一个数学公式本身,它反映了从“一 般”到“特殊”的研究数学问题的基本策略。 ? 其二是“归纳”思想。通过观察一系列具有某 种结构特征的“多项式乘以多项式”的结果, “归纳”出符合这种“结构特征”的共同“规 律”,这就是平方差公式,其中的符号可以代

表任何“数字”、“字母”、“式子”。

? 理解命题的内容: ? 示例11:三角形面积公式的理解 ? 三角形面积公式的得出。 ? 三角形面积公式另解: ? 在三角形中,AD和BE是三角形两条边上的高, 通过相似三角形原理,得到下面的性质: ? 三角形的底边与高的乘积是一常数,只与三角形 本身有关,而与所选的底边无关。

? 把这个乘积与某一常数 k 的乘积称为三角形的面积。 对于k的取值,一旦确定后就不再变更。这个k应如

何取?为此,要做一些规定, k 的取值必须使得边
长为1的正方形的面积为1。
A D

B

C

? 正方形可以分割成两个直角三角形, S=k+k=1 ,所 以k=1/2.则三角形的面积公式为:S=1/2底×高。

? 示例12:三角形全等的条件 ? 三角形全等,即看所给条件能否完全的、唯一 的确定一个三角形。 ? “隐藏”掉三角形的任意一条边或任意一个角, 确定三角形的基本条件并没有改变;但再继续 减少条件,就不能保证完全确定这个三角形了。

?

? 不妨称实线部分为描述 ?ABC

的“最简条件” 。

? 事实上,正是因为“边边边”、“边角边”、 “角 边 角” 等 条件 都 能描 述 出这 个 “最 简条 件”,所以它们成为证明三角形全等的充分条 件,而“边边角”却不能。

? 进一步探究可发现,当满足以下条件时,“边边角” 可作为三角形全等的判定条件:

? ( 1 )若两个三角形均为直角三角形,则它们全等。
? ( 2 )若两个三角形均为钝角三角形,则它们全等。

? ( 3 )若两个三角形均为锐角三角形,则它们全等。
? (4)若已知两边相等时,则它们全等。

? ( 5 )若已知角的对边为已知两边中的大边时,则
它们全等。(正弦定理求解时得一解)

? 理解命题的证明: ? 波利亚:你能否检验这个论证?你能否用别 的方法导出这个结果?你能否一下子看出它 来? ? 示例13:多边形外角和定理

? 凹多边形的外角和:凹角形成的顶点处,角是顺 时针旋转;凸角形成的顶点处,角是逆时针旋转。 把逆时针旋转的角度视为正角,把顺时针旋转的 角度视为负角。 ? 闭曲线的 “外角和”:行走方向时时在改变。

A

? 结论: “角度 改变量 的代数 和是 360 度”,或 “方向改变量的代数和是360度”

? 3.数学方法的本质 ? 示例14:十字相乘法

? 不仅适用于二次三项式(八上“观察与猜想”):
? ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2) ? 将任意代数式分成三项之和:f(x)=A+B+C ? 若A=ab,C=cd,且ad+bc=B, ? 即有下面的十字关系: ? 则f(x)=(a+c)(b+d)
b d a c

? 示例15:反证法的实质(九上“圆”) ? 反证法的逻辑基础是排中律。
p?q
p ? ?q ? r ? ?r

?q ? ? p

? 矛盾律:同一对象的两个互相矛盾的判断不能同

真, 至少有一个是假的(a大于b, a小于b);
? 排中律:同一对象的肯定判断和否定判断必有一

个是真的。
? 反证法有效性的原因:有效增设 ? 反证法就是等价于证明原命题的逆否命题吗?

二、教学生学“过程”
? 过程与结果的辩证关系:科学意义,教学意义
? 过程性是追求的目标:三个层次 ? 过程性作为目标的意义:本质,方法,理解,能力 ? 过程性的完整含义:知识的,思维的,活动的 ? “谁”的过程性:教师,还是学生? ? 怎样的过程性:结果的,还是过程的? ? 过程性观下之审视:预习、作业、备课

? 弗赖登塔尔:“火热的思考”变成“冰冷的美 丽”,教材是“教学法的颠倒”。

? 数学的形态:原始形态、学术形态和教育形态。
? “学术形态”转化为“教育形态” ——稚化思维的策略 ? 教学时不以知识丰富的教师自居,而是把自己的 思维降格到学生的思维水平上,有意识地退回到 与学生相仿的思维状态,设身处地地揣摩学生的 学习水平、状态等,以与学生同样的思维情境、 共同的探究行为来完成教学的和谐共创。

? 1.过程性中揭示本质 ? 示例16:圆周角定义的教学 (链接)

? 2.过程性中掌握方法
? 示例17:判别式只适用于一元二次方程吗?
? 在实数范围内解方程:

x ? 2 x sin
2

?x
2

?1 ? 0

? 判别式的“来龙去脉”——配方法 ? A(x)x2+B(x)x+C(x)=0

? 3.过程性中加强理解 ? 示例18:“负负得正”的教学

? (4)故事模型 ? 好人(正数)或坏人(负数),进城(正数)或出城 (负数),好(正数)与坏(负数)。 ? 如果好人(+)进城(+),对于城镇来说是好事(+), 即(+)×(+)= +;

? 如果好人(+)出城(-),对于城镇来说是坏事(-),
即(+)×(-)= -; ? 如果坏人(-)进城(+),对城镇来说是坏事(-),即 (-)×(+)= -; ? 如果坏人(-)出城(-),对于城镇来说是好事(+),所以

(-)×(-)= +。

? 模型不足以让聪明孩子完全信服,还可用其他方法
来解释为何“负负得正”:

? 0 =(-5)×0=(-5)×[(-3)+3]
=(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×(-3)+(-15) ? 而只有15与(-15)的代数和才为0, 故(-5)×(-3)=15 ? 研究表明:教师最倾向于使用归纳模型,学生最倾 向于使用相反数模型。师生均不喜欢形式化的模型, 比如分配律模型。

? 4.过程性中培养能力 ? 示例19:二次根式重要公式的教学 ? 稚化思维的教学策略——探究和启发

? 引导式探究;发现式探究。
? 由易到难启发;由远及近启发。 ? (链接——
a2 ? a

的教学)

示例20:函数单调性的教学

? 多快好省地直接呈现形式化的定义,其余的更
多时间,便是:咬文嚼字式的强调,细枝末节 的提示,解题程式的归纳,题海战术的训练。 ? 让学生参与形式化、符号化和数学化的过程: 由图象直观特征,到自然语言描述,再到数学

符号描述 ;从直观到抽象、从文字到符号、
从粗疏到严密的建构过程。

(三)教学生学“思想”
? 数学思想是对数学对象的本质认识,是对具体 的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程 中概括的基本观点。 ? 数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、 手段、策略等。 ? 显性的知识是写在教材上的一条明线,隐性的 思想是潜藏其中的一条暗线。

? “数学课程标准”指出,数学课程应返璞归真, 努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本 质,让学生体会蕴涵在知识中的数学思想方法。 ? 数学问题可以千变万化,而其中运用的数学思想 方法却往往是相通的。学习数学重在掌握这种具

有普遍意义和具有迁移价值的、能反映数学本质
的策略性知识。

米山国藏: ? 学生所学的数学知识,在进入社会后几乎 没有什么机会应用,因而这种作为知识的 数学,通常在走出校门后不到一两年就忘 掉了。然而不管他们从事什么工作,唯有 深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随 时地发生作用,使他们受益终身。

? 2004 年高考数学上海卷有一道不需要“解”而 需要“理解”的填空题: ? 教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”

两章内容体现出解析几何的本质是



? 当前数学教学中存在的问题:重术轻道,即只重 视对知识点的记忆和解题技巧的训练,而忽略 了对数学基本原理和思想方法的理解掌握。

基本思想 基本活动经验 基本技能 基础知识 数学活动

? 1.思想方法具有相通性 ? 示例21:度量思想

? 线段长→多边形周长→圆周长→弧长;
? 两直线的夹角→线与面的夹角→面与面的夹角;

? 单位正方形面积→长方形与正方形面积→其他多边
形面积→圆面积→多面体表面积; ? 单位正方体体积→长方体与正方体体积→圆柱体积 →圆锥体积。 ? 逻辑结构:定义几何量→确定度量单位→简化算法。

? 2.思想方法具有迁移性
? 示例22:各种函数性质的研究

? 通过图像研究函数的性质——数形结合思想;
? 通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质——

从特殊到一般的归纳思想;
? 区分情况来讨论函数的性质——分类讨论思想; ? 通过对比来研究函数性质——类比的思想方法; ? 函数性质应用实例——数学模型思想方法。 ? 例如:反比例函数,单调性,指数函数,对数函数

? 3.在教学中挖掘思想方法 ? 示例23:绝对值中的思想方法

? (1)数形结合思想
? 新教材中的绝对值的定义,是从几何角度给出

的:一个数a的绝对值,就是数轴上表示数a的点
与原点的距离。 ? 新教材突出绝对值的几何定义,渗透了数形结 合的思想方法,将绝对值的代数定义淡化为计 算数的绝对值的需要。

? (2)分类思想 ? 代数定义:通过揭示其外延来完成,即分别阐明一 个正数、负数或零的绝对值是什么: ? 数学概念的定义一般都是充分必要的。 ? 正数、零、负数这三个概念的关系是对立关系,但 它们的绝对值的关系却是交叉的。 ? 即绝对值等于其本身的数是正数或零,而绝对值等 于其相反数的是负数或零。 ? 学会对绝对值正确分类,让学生克服不是正数就是 负数,不是负数就是正数的错误观念。

? (3)化归思想
? 有理数大小的比较是通过数的绝对值转化为算术 数的比较;(规定性与争议性) ? 有理数的运算也是通过绝对值的概念转化为算术 数的运算;(运算法则)

? 解决含绝对值的问题 ( 如方程、不等式、函数等 ) , 总是化归为不含绝对值的问题来解决。
? 但绝对值的运算,不同于四则运算,结果不唯一。 ? 数a的内涵非常丰富,绝对值概念从数抽象到字母, 从字母抽象到代数式,从代数式抽象到解析式, 要经历逐级抽象的过程。

? 4.通过思想方法加强数学理解
? 示例24:数形结合,多元表征

? 初中数学 :
? (1)平方差公式: ? (a+b)(a-b)=a2-b2

(2)完全平方和公式:

(3)完全平方差公式:

b

ab

b?
a

b

ab

b?

a

(a+b)? a? ab
a b

a? ab
(a-b)?
b

a

( a ? b) 2 ? a 2 + 2ab + b 2

( a ? b) 2 ? a 2 ? ab ? ab ? b 2 ? a2 ? ? b2 – 2ab +

? ( 4 )一元二次方程 ax2+bx+c=0 为何判别式△ =b24ac≥0时有解?

? 从数形结合思想及函数与方程思想来进行理解:
? 函数y=ax2+bx+c的顶点坐标: ? ?
y x
b 4ac ? b 2 ? , ? ? 2 a 4 a ? ?

0

? 高中数学: ? (1)等差数列求和公式:
a1 +a2 + n(a1 +an ) +an = 2

? (2)绝对值不等式: a ? b ? a?b ? a ? b
y ? x ? b , y ? x?b , y ? x ? b
a?b ? ab ? (3)基本不等式: 2

? (4)设 x,y,z >0, 则

x 2 -xy +y 2 + y 2 -yz +z 2 > z 2 -xz +x 2

? 5.在解题中揭示思想方法
? 示例25:裂项法分解因式的实质 ? 解法1
a 3 ? 8a ? 7 ? a3 ? a ? 7a ? 7 ? a(a 2 ? 1) ? 7(a ? 1) ? (a ? 1)(a 2 ? a ? 7)

? 解法2

a 3 ? 8a ? 7 ? a 3 ? 8a ? 8 ? 1 ? (a 3 ? 1) ? 8(a ? 1) ? (a ? 1)(a 2 ? a ? 7)

? 解法3

a ? 8a ? 7
3

? 8a3 ? 7a 3 ? 8a ? 7 ? (8a3 ? 8a) ? (7a 3 ? 7) ? 8a(a ? 1)(a ? 1) ? 7(a ? 1)( a 2 ? a ? 1) ? (a ? 1)(a ? a ? 7)
2

? 多解归一是指把多种解法相互比较,进行抽象,挖
掘本质,达到赏玩于股掌之上的程度。

? 比较解法 1 和解法 2,发现有着共同的必然,就是欲
“拆”某项时,要视另外两项的系数而定,使拆后

和另外两项配组后,组与组之间有公因式可提,恰
如“言左右而顾他”,这就是“多解归一”的 “一”。有了这个“归一”,才会产生解法3。 ? 甚至运用照顾另两项的思想,可不可以填上所缺的 a2项呢?这就产生了解法4。

? 解法4

a ? 8a ? 7
3

? a ? a ? a ? 8a ? 7
3 2 2

? a (a ? 1) ? (a ? 1)(a ? 7)
2

? (a ? 1)(a ? a ? 7)
2

? 示例26:正弦定理的各种证明方法 ? 证法1:作高法

? 证法2:面积法
? 证法3:外接圆法

? 证法4:角平分线法

? 数学中究竟有哪些思想方法? ? A.数学思想方法的系统分类—— ? 哲学的视角:形式与内容;运动与静止;偶然与 必然 ;现象与本质 ;原因与结果 ;整体与局部; 有限与无限;等。 ? 思维的视角:观察与实验;类比与猜想;归纳与 演绎 ;分析与综合 ;抽象与概括 ;特殊与一般 ; 比较与分类 ;等。

? 数学的视角:
? 1 、全局性的方法:数学模型方法;关系映射 反演方法 ;公理化方法 ;坐标方法;等。

? 2 、技巧性的方法:解题策略层面;解题方法 层面;解题技巧层面。 ? 高考考试大纲:函数与方程思想;数形结合思 想;分类与整合思想;化归与转化思想;特殊 与一般思想;有限与无限思想;必然与或然思 想。
? B.数学抽象的思想;数学推理的思想;数学模 型的思想。

数学抽象的思想派生出的有:
? 分类的思想; ? 集合的思想; ? 数形结合的思想;

? 变中有不变的思想;
? 符号表示的思想;

? 对称的思想;
? 对应的思想; ? 有限与无限的思想等。

数学推理的思想派生出的有:
? 归纳的思想; ? 演绎的思想;

? 公理化思想;
? 转换与化归的思想; ? 联想与类比的思想; ? 逐步逼近的思想; ? 代换的思想; ? 特殊与一般的思想等。

数学模型的思想派生出的有:
? 简化的思想; ? 量化的思想;

? 函数的思想;
? 方程的思想;

? 优化的思想;
? 随机的思想;

? 抽样统计的思想等。

四、教学生学“结构”
? 对内容进行设计时,不能“就事论事”,仅考虑 到这一“点”知识,这样可能会“见木不见林”。 ? 在对教材进行分析时,要树立“整体观”,要从 教学系统的“宏观视野”的显现状况与课堂运行 的“微型框架”两方面进行结构化设计。 ? 学习理论的现代研究表明,组织良好的知识是围 绕核心概念或“大观点”组织的。

? 布鲁纳认为,学习的实质是一个人把同类事物联 系起来,并把它们组织成赋予它们意义的结构。

学习就是认知结构的组织和重新组织。
? 知识的学习就是在学生的头脑中形成各学科的知

识结构。这种知识结构是由学科知识中的基本概
念、基本思想或基本原理组成的。 ? 布鲁纳:学习知识就是学习事物是怎样相互关联 的。“不论我们选教什么学科,务必使学生理解 各门学科的基本结构”。

? 华罗庚:“既要能把书读厚,又能把书读薄”。 读厚,就是要把每一逻辑关系,每一个细节搞 清楚,想清楚;读薄,就是能抓住课程的主线, 基本脉络,抓住课程的内在联系,形成整体认 识。

? 孙维刚:“使学生发现知识之间盘根错节,又 浑然一体,而到后来,知识好像在手心里,了 如指掌,不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望 而生畏的戈壁滩。”
? 应从系统的角度学习知识,置知识于系统中, 着眼于知识之间的联系和规律,从而深入本质, 因为联系和规律就是本质。

? 1.宏观结构与微观结构 ? 宏观结构 ? 示例27:几何结构与代数结构 ? 直观几何:对平面图形、立体图形的认识; ? 度量几何:求长度、角度、面积、体积等问题; ? 演绎几何:垂直、平行、全等、相似

? 运动几何:如平移、旋转和对称等;
? 坐标几何。

? 代数:数式运算和方程求解。 ? 两种数:实数,复数;

? 三种式:整式,分式,根式;
? 六种运算:加,减,乘,除,乘方,开方; ? 四类方程:整式方程,分式方程,根式方程,方 程组。 ? 进一步发展:未知数更多的方程,次数更高的方 程。 ? 从代数式(符号代表数),到方程(符号代表未 知数),到函数(符号代表变数)

? 微观结构
? 示例28:面积公式 ? 面积学习的顺序:长方形、正方形→平行四边形 →三角形→梯形。 ? 学完面积公式以后,需要融汇贯通,从整体上看 它们之间的关系: ? 梯形的面积公式:S=(a+b)h/2; ? 三角形是上底为零的梯形:S=ah/2; ? 平行四边形是上底和下底相等的梯形: S=(a+a)h/2=ah; ? 长方形是边与高重合的平行四边形:S=ab; ? 正方形是两边相等的长方形:S=a2

? 2.知识结构与方法结构 ? 示例29:知识结构——圆与方程

? 单墫:学好数学要经历几个“会”。 ? 首先要“学会”,即学习数学的一些常识,包 括常用的定义、定理和公式。

? 其次要“领会”,即加强对数学概念和结论的
理解,理解越深刻,运用就越自如。 ? 最后是“融会”,即触类旁通,举一反三。

? 示例30:方法结构——九年级上册“圆”
? (1)用量化思想方法研究了圆的度量性质 ? 所谓度量性质,指几何图形可以用某种单位来计量 (即予以数量化)的属性,——如长度、角度、面 积、体积之类。

? 圆周长、圆面积和角在小学已经学习。本章用量化 方法进一步研究了圆心角与圆周角、弧长、扇形面 积这些度量性质。
? 研究圆的度量性质时,不但要用量化思想方法,而 且要用化归思想方法。弧长被化归为圆周长的一部 分;扇形面积被化归为圆面积的一部分。

? (2)用逻辑化思想方法研究了与圆有关的图形结构
? ①圆与其内部各图形的关系结构 ? 圆心、半径、弦和直径都不是圆的组成部分,而是 圆内部的其他图形(点和线段),它们分别(或联 合)与圆组成一种关系结构。什么关系呢?

? 一是位置关系:圆心在圆的中心、直径是圆的对称 轴、圆的内接三角形、点在圆上或圆内。 ? 二是长度的数量关系:半径等于同圆直径的一半、 垂直于弦的直径平分这条弦及它所对的两条弧、同 圆中相等圆心角 (或圆周角)所对的弧和弦等长 (反之亦然)。

? ②圆与其外部各图形的关系结构
? 即圆与外部各图形的位置关系结构:点在圆外;

直线与圆的相离、相切、相交;三角形的三边均
与同一个圆相切(三角形的内切圆);圆与圆的 外离、外切、相交、内切、同心内含、不同心内 含、重合。 ? 上述各种位置关系分别导致某些长度数量关系

(反之亦然):如果点在圆外则该点与圆心的距
离大于半径(反之亦然),……(描述此类关系

的定理很多,不一一列举)

? 对这些图形结构的研究方法是什么呢?或曰,描

述这些图形结构性质的定理是用什么方法得出的
呢?主要是逻辑化的思想方法。 ? 研究图形结构不但运用了逻辑化思想方法,还运 用了量化思想方法:对某种位置关系的几何定性 描述←→对该位置关系的代数定量描述。

? 3.纵向联系形成结构 ? 示例31:对称性

? 小学数学:二年级上“美丽的对称图形”(认识 并画出:画一画);五年级“图形的变换——轴 对称”(方格纸上研究轴对称的特征和性质:量 一量,数一数)
? 初中数学:初二上“轴对称”(坐标系中研究轴 对称的特征和性质) ? 高中数学:函数的对称性——奇偶性;方程曲线 的对称性

? ?点关于点的对称 ? ? ?直线关于点的对称 ?中心对称问题(点对称问题) ?曲线关于点的对称 ? ? ? 对称问题 ? ?点关于直线的对称 ? ? ?轴对称问题(线对称问题) 直线关于直线的对称 ? ? ?曲线关于直线的对称 ? ? ?

函数图象的对称性:

方程曲线的对称性:

? 4.横向联系形成结构 ? 示例32:从等角定理到平行线定理 ? 定理:如果一个角的两边分别平行于另一角的两 边,那么这两个角相等或互补。

? 如果把角的边的射线方向都加以标注,则不难得
到结论:当两组平行边的射线方向全相同或全相

反时,这两个角相等;两组平行边的射线方向一
同一反时,这两个角互补。 ? 进一步:如果再把两条射线方向相同的关系规定 为“+”,方向相反的关系规定为“-”;把两个 角相等的关系规定为“+”,互补的关系规定为

“ -”。则有理数乘法的符号法则:“+”“+”
得 “ +” , “ +”“-” 得 “ -” , “ -”“+” 得 “-”,“-”“-”得“+”。

? 更进一步:如果将直线 EF 平移,使它与 OA 所在 直线重合,这时有:

? “两直线平行,同位角相等”;
? “两直线平行,内错角相等” ;

? “两直线平行,同旁内角互补”。

? 再进一步:把CD平移,使与OB所在直线重合。则: ∠ AOB 和∠ 3 的相等,就是角相等的定义;∠ AOB 分 别和∠ 2 及∠ 4 的互补,就是平角的定义;而∠ AOB 和∠1的相等,可同时认为是对顶角相等!

? 分散在课本里的 6 条定义、定理 ( 角相等定义,平 角定义,对顶角相等,两直线平行则同位角相等、

同旁内角互补、内错角相等),竟全包括在一个等
角定理内。

? 这1条定理是那6条定义、定理的联合推广;那6条
定义、定理则是这1条定理的特例。因为,它们原 本是一个系统。 ? 融汇贯通的过程,使我们透过繁杂的现象,抓住 了本质,同时简化了记记。

? 更重要的是接触到了一种崭新的认识问题的思想
方法:由寻找联系入手,运用平移变换、特殊与

一般的思想方法,把个别的、离散的现象构造成
浑然一体的系统。

? 这标志着能力的提高和素质的发展。以这种提高
和发展,去学习、去解题,将与过去不可同日而 语。因为解题的过程的本质,就是以敏锐的观察、 分析,去发现和建立已知条件和结论之间的联系。

四、数学教学“怎么教”
? 袁隆平:“我最喜欢外语、地理、化学,最不喜 欢数学,因为在学正负数的时候,搞不清为什么 负负相乘得正,就去问老师,老师说‘你记得就 是’;学几何时,对一个定理有疑义,去问,还 是一样回答,我由此得出结论,数学不讲道理, 于是不再理会,对数学兴趣不大,成绩不好”。 ? 数学原本就是这样?还是数学教师的教学使然?

? 知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地
赶到杭州,去与一群刚在高考中取得好成绩的数 学尖子见面。结果却让他颇为失望:

? “大多数学生对数学根本没有清晰的概念,对定
理不甚了了,只是做习题的机器。这样的教育体 系,难以培养出什么数学人才。”

? 理念的重要性之一——观念决定行动
? 示例33:“分母有理化”的教学 ? 教师甲:“今天我们学习分母有理化”,然后板 书课题,依次讲什么是分母有理化,怎样使分母 有理化,举例,练习,最后布置作业。

? 教师乙:首先板书一道题“计算(精确到0。 01)”,指定两位同学板演,一同学先把分母分 子同乘以,很快算出结果;另一同学直接用 1 被 的近似值1.414除,列竖式算得繁。
? 为此,教师问学生,那种方法简便,学生一致肯 定了前者,从而自然引入了分母有理化课题。

? 理念的重要性之二——具有概括性和普遍性 ? 庸俗化理解:教育理论应 “拿来即可用”“一用 即显灵”。 ? 理论与实践之间存在一定程度的距离,是由理论 自身的特点造成的,不超越现实的理论,就不可 能具有前瞻性和创新性。 ? 理论理论总是具有抽象性和普遍性,愈是贴近实 践的理论就愈不像理论。理论适度远离实践是必 然的,也是必要的。 ? 教育理论的首要目的在于帮助人们认识问题,而 不是处方式地去解决问题。

? 教育理论具有层级性:操作层面的理论是为了求 得理性的行动,观念层面的理论是为了达到对理

性的理解与解释。
? 理论研究者要“屈身下嫁”教育实践,教育实践 者也必需“躬身迎接”教育理论。 ? 重要的在于用教育理论去武装实践工作者的头脑, 把理论转化成实践者的思想、智慧和精神。 ? 借鉴教改经验的什么? ? 学模,仿模,造模,无模

? (一)建构性数学教学思想 ? (二)理解性数学教学思想 ? (三)过程性数学教学思想 ? (四)启发式数学教学思想 ? (五)问题式数学教学思想 ? (六)情境式数学教学思想

? (七)主体性数学教学思想
? (八)生成性数学教学思想

(一)建构性数学教学思想
? 1、建构主义发展概述
? 行为主义→认知主义→建构主义

? 建构主义是在整合了皮亚杰、维果茨基、布鲁纳、
奥苏伯尔、加涅等认知主义理论的核心思想,并

赋予新的意义而构建起来的,因此它是认知主义
的进一步发展。

? 2、建构主义观的辨析 ? (1)激进建构主义 ? 知识不是对客观事物本来面目的反映,知识只是

适应和体现主体的经验,知识不能传递,只能由
个体建构。

? 把内部建构的作用推到极至的地位。它虽然并不
排斥教师的帮助,但认为教师的作用是次要的。

? (2)社会建构主义 ? 学习是个体内部建构与外部建构相互作用的过程。

? 社会建构主义也强调个体建构,但认为社会对个
体的学习所起到的支持和促进作用必不可少。

? 与激进建构主义轻视教师的作用相比,社会建构
主义更重视教师的作用; ? 与激进建构主义认为知识不是对客观事物本来面 目的反映相比,社会建构主义强调个体建构要与 知识的客观意义趋于一致。

? (3)信息加工建构主义

? 学习不仅是人对外部信息的加工,而且意味着外
来信息与已有知识之间存在双向的相互作用; ? 新经验意义的获得要以原有的知识经验为基础, 超越所给的信息,而原有经验又会在此过程中被 调整或改造。

? 不同的建构主义差异,可概括为“外部输入 — 内部生成”和“个体建构 — 社会建构”两个维 度。 ? 在“外部输入 — 内部生成”的维度上,外部输 入的倾向性越大,学习中接受的成分越多;内 部生成的倾向性越大,学习中建构的成分越多。

? 在“个体建构 — 社会建构”的维度上,不同建
构主义反映出在 “个体的建构”、“个体间的 建构”、“社会性建构”之间的差异,

? 3、建构主义的知识观 ? 建构主义认为,知识并不是对现实的准确表征, 而只是一种解释和假设。 ? 学习者根据自己的经验背景,以自己的方式建构 对知识的理解,不同人看到的是事物的不同方面。 ? 因此对于世界的理解和赋予意义由每个人自己决 定,而不存在惟一标准的理解。

? 同样一段程序在不同电脑中运行的结果是一致的, 但同样一段以语言文字为载体的公众知识在不同 个体的头脑中意义却是不一样的。

? 4、建构主义的学习观 ? 建构主义认为,学习不是知识由外到内的转移和传

递,而是学生建构自己的知识的过程。
? 外部信息本身没有意义,意义是学习者通过新旧知

识经验间反复的、双向的相互作用而建构成的。
? 与情境中各种因素建立联系,与相关的各种已有 经验建立联系,与认知结构中有关知识建立联系。 ? 建构新知识的过程,既建构了新知识的意义,又 使原认知结构得到了重建。

? “心理建筑物”的建立和构造,都是内部心理上 的思维创造过程。

? 这是外界力量所不能达到的,当然也是教师所不
能传授的,教师的传授实际是向学生的头脑里嵌

入一个外部结构。
? 外部结构嵌入的过程,是被动活动的过程,模仿

复制的过程,最终所获得的意义缺少生动的背景,
缺少经验支撑,缺少广泛知识的联系,也就缺少 迁移的活力。

? 比如在一元二次方程求根公式的学习中:
? 学习者要建立未知数、常数、次数、方程等概念

之间的联系;
? 学习者要建立方程与求根公式、根与系数之间的 逻辑联系; ? 要建立一元二次方程与一元一次方程的联立; ? 要与随后学习的一元二次函数、一元二次不等式 建立起联系; ? 最终建构起一个有机联系的“心理建筑物”.

? 5、建构主义的教学观 ? 教学不是传递东西或者产品。教师充其量只是传

递了语言文字符号信息,至于这些信息在学生头
脑中是什么意思,最终是由学习者决定的。(类 似但又不同于电报的收发) ? 教学就是创设一定的环境和支持条件,促进学习 者主动建构知识的意义。 ? 教学不能无视学习者的已有知识经验,强硬地从外 部实施知识的“填灌”,而是应把学习者原有的知

识经验作为生长点,引导学习者生长新的知识经验。

(二)理解性数学教学思想
? 1、什么是数学理解
? 有人认为,能够用自己的语言来叙述一个概念或 原理就叫理解;有人认为,能够运用自己所学的 知识才叫理解等。 ? 从心理层面给理解进行定义: ? 理解是指在已有知识和经验的基础上,建构新知 识的个人心理意义,不断完善和发展头脑中的知 识网络,并能将纳入知识网络中的新知识灵活地 加以提取和应用。

? 理解的过程,主要涉及三方面的工作: ? ( 1 )必须将原始信息改造成适应个人认知结构 特点、便于存入和提取的形式,因此,建立的表 象越熟悉、越细致、越准确,理解程度就越好; ? ( 2 )新知识结点与其它结点的连线越多,该结 点的入口就越多,经由这些通道进入该结点的机 会也就增多;

? ( 3 )本质性的联系越多,准确性越强,这些联 系就越紧密和牢固,这样,经由其它结点激活该 节点的可能性越大,回忆必然越方便越迅速。

? 2、理解的意义 ? (1)理解有助于个体知识结构的完善 ? 理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰 富联系。 ? 希伯特教授:“认为一个数学的概念、方法或 事实是理解了,是指它成了内部网络的一个部 分。理解的程度是由联系的数目和强度来确定 的。” ? (2)理解能够减轻学习者的记忆负担 ? 网络的结构越强,需要单独记忆的就越少,相 对而言组块数量就越少。 ? (3)理解有助于知识的灵活迁移和应用 ? 案例:斜坐标系

? 3、理解的类型与层次
? ( 1 )“不知其然者”,全无理解,这是理解的 零层次; ? ( 2 )“知其然”,即知道结果、结论,相当于 第一层次理解;

? ( 3 )“知其所以然”,即知道结论之因,即上 升到理解的第二层次;(求根公式)
? ( 4 )“何由以知其所以然”,即怎样想到这样 定义、这个解法或证明的,这就涉及到思想方法, 从而达到了理解的第三层次。 ? 案例:“老师,我忘了”

(三)过程性数学教学思想
? 1、什么是过程性
? 结果是指教学活动发展的最终产物,而过程则是 指为获得教学结果所必须经历的活动程序。 ? 结果的价值在于它的“消费”价值或使用价值。 过程的价值在于它所具有的“生产性”或发展性。 ? 从科学角度来看过程与结果的辩证关系; ? 从教学角度来看过程与结果的关系。

? 对“过程”与“结果”关系的认识,有以下三种 观点: ? 第一种观点:只要结果,不要过程;

? 第二种观点:重视过程,但重视的目的,是为了更
好地掌握知识与技能,过程本身的价值被忽略;

? 第三种观点:过程本身就是一个教学目标。
? 过程某种意义上也是一种结果。

? 过程与结果是相互促进的关系。

? 2、“谁”的过程性 ? 在以往的教学中,经常用教师的过程性来代替学 生的过程性。 ? 把教师的问题当成学生的问题,用教师的演示来 代替学生的动手,用教师的讲解来代替学生的活 动,用教师的分析来代替学生的思维。 ? 还经常存在另外一种现象,即用一些学生的过程 性来代替另一些学生的过程性。(病态数学教学)

? 替代型的“过程性”,已不具有真实的过程性 所具有的价值。 ? 真实的教学过程充满着变数,充满着无法预知

的“附加价值”和有意义的“衍生物”,这正
是过程性的价值之所在。

? 教师教的过程就只是手段,学生应然的思维过
程才是目标。

? 3、怎样的过程性? ? 过程性经常是全预设的,其过程在过程实施之前

就已经有了理性设计和程序规定,从而“过程”
演变成了“流程”。 ? 预设的过程性,是作为结果的过程性,而不是作 为过程的过程性。 ? 因为在这种过程性中,一切都是现成的:现成的 问题,现成的论证,现成的说明,现成的讲解。 ? 它从源头上就剥离了过程与结果的内在联系。

? 在教学设计中,教师需要重点考虑的是:

? 通过怎样的引导来帮助学生进行探索性的思考,
而不是通过精心预设的过程来代替学生的思考; ? 通过搭建脚手架来协助个体知识的建构与生成, 而不是便捷地呈现结果性知识以期让学生快速地 吸收和接纳。

? 即使是暴露或呈现他人的过程性,为了使这种 过程性契合或顺应学生的思维,使两种过程性 “合拍”,教师也需要设身处地的从学生实际 出发来进行教学。 ? 当教师的思维带上了学生的色彩,甚至达到

“学生话”之后,教的过程就与学的过程融为
一体。

? 退位思考;换位心里;“稚化”思维。

? 4、过程观下对预习的审视 ? 对预习处理不当,会带来一些负面影响。 ? 没有耐心退到思维的“零起点”去重新思考; ? 遇到新鲜结论,总是满足于结论而停滞不前;

? 学生的思想全被课本提供的想法所束缚和限制。
? 预习之后的教学,应通过“追问”等手段,引发 更高层次的深入思考。 ? 应提倡一种探究型的预习观,为教学提供可贵的 动态生成的资源。

? 5、过程观下对备课的审视 ? 只备“课”不备“人”,只备“形”不备“神”, 只备“结果”不备“过程”。 ? 教案过于精细和充分,危害性有时可能更大。 ? 萧荫堂: “有时教授备课不足,笨手笨脚地算错了

数,从他搔着首、念念有词的改正中,反而可以
看出他的思路,真正学到些东西。”

? 教师在备课时需要注意以下几个问题: ? (1)要挖掘和揭示其产生与形成的思维过程。 ? ( 2 )善于“稚化”自己的思维,通过“心理换 位” 使教案中呈现的教学思路贴近学生的实际。

? ( 3 )提倡教师写简案,使整个预设留有更大的
包容度和自由度。

? ( 4 )革新备课的形式。备课未必都形之于纸上,
关键是要准备在教师头脑里。

? 6、过程观下对作业的审视 ? 对学生作业的评价,宜少些量化打分,多一些质 性评价。 ? 了解学生的真实思维过程,有两种办法值得尝试: ? 一是在作业中反对草稿纸的使用,倡导作业的 “随便”书写; ? 二是对草稿纸的充分利用。 “草稿纸是思考过程 的履历表”。

(四)启发式数学教学思想
? 1、启发的重要性
? 教师在教学中的主要任务是“引导”,而“启发” 则是教师引导学生学习的基本方法。

? 孔子:“吾有知乎哉?无知也。有鄙夫问于我, 空空如也。我叩其两端而竭焉。” ? 苏格拉底:从来都没有教给别人什么,只不过是 象一个灵魂的接生婆那样,帮助人们产生自己的 思想、观点。

? 2、二重启发原理解析

? 从内容的角度来看,这种启发性的帮助应由易到 难,以符合认知规律; ? 从思维的角度来看,这种启发性的帮助应由远及 近,以提高思维强度。 ? 简单、容易的内容在启发时,距离目标的起点可 远些,以提高思维强度; ? 复杂、困难的内容在启发时,距离目标的起点可 近些,以节约学习的时间。

? 3、启发的适度性策略分析 ? 不能过于直白,也不能过于含蓄。 ? 言近而旨远,言有尽而意无穷,话里有话或弦外 有音;举一而寓三,一语而多关,或迂回设问。 ? 语忌直,意忌浅,脉忌露,味忌短。 ? 启发的主要作用在于给学生以暗示。 ? 暗示不成再明讲。

? 波利亚:“你能不能应用勾股定理啊?” ? a. 如果学生已经接近于问题的解答,可是他已不 需要这项帮助了。反之,他就很可能完全不明白 这一提问的作用。 ? b. 它把所有的奥秘都显露出来,几乎没有留下什 么可给学生做了。 ? c. 即使学生能应用它来解决手头的这个题目,但 对以后会碰到的题目他们根本没有学到什么。 ? d. 就算学生懂得这提问的作用,可是他很难体会 到教师凭什么会想到它的。

? 4、启发的适时性策略分析

? 当启处启,当发处发,“启”在关键处,“发”
在要害处,防止超前启发和滞后启发。

? “ 首 先 是 不 是 该 ?? 呢 ? ” , “ 接 下 来 是 不
是??呢?”,“然后是不是??呢?” ? 启发的时间等待理论。

(五)问题式数学教学思想
? ? ? ? 1、什么是问题? 数学问题是数学思维目的性的体现; 问题性是思维的本质属性。 问题的实质:从初始状态到目标状态之间的障碍, 现有水平与客观需要之间的矛盾。 ? “练习题”(Exercise) ? “问题”(Problem):接受性,障碍性,探究 性

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2、问题的特征与类型 (1)问题的特征 问题的矛盾性: “问题”促进着个体的成长; 问题的相对性: x2+x-5=0,x3+x2-5x=0, x3+x2-5x=1 (2)问题的类型 数学题系统:条件、结论、求解过程,解题依据。 数学问题:集合(S,R),其中R(Y,O,Z,P)。 问题型问题;探索型问题; 训练型问题;标准型问题. (量与质)

? 3、什么是问题解决?
? 数学证明题的实质;数学求解题的实质。

? 传统意义的“解题”,注重结果、注重答案;
? 现代意义的“问题解决”,更注重解决问题的过 程、策略以及思维的方法。 ? 一个学生拿到一道习题之后,通过翻看习题集的 答案得到了解决,但能否认为他解决了问题呢?

? 一个教师讲解一条几何定理时,小黑板一挂,辅 助线作好了,证明和盘托出了,也是一个不成功 的“解题”。

? 4、数学问题解决的教学

? (1)注重非常规问题解决的教学
? (2)数学教学设计中“问题链”的构建 ? 案例:函数零点定理的教学

(六)情境式数学教学思想
? 1、情境认知理论
? 知识视为个人和社会或物理情境之间联系的属性 以及互动的产物。

? 在特定情境中获得的知识比所谓的一般知识更有 力和更有用。 ? 基于情境的行动
? 合法的边缘参与 ? 实践共同体的建构

? 2、什么是数学问题情境 ? 从认知的角度看,情境可被视为一种信息载体; 能为数学问题的提出和解决提供信息和依据。 ? 可以是:故事情境、图片情境、操作情境、活动 情境、利用多媒体创设的直观情境,但: ? 首先是有“问题”,即认知矛盾或冲突; ? 其次才是“情境”,即数学知识产生或应用的环

境。

? ? ? ?

3、问题情境创设应注意的几个问题 (1)问题情境应具有“数学味” 二次根式; 买白糖:小王与小李总是一起去买白糖。小李 每次总是买一元钱的白糖,小王每次总是买一 斤白糖。假设白糖价格经常变动。问哪种买白 糖更合算?

a1 ? a2 ? n

? an

? a1a2
n

an ?

n 1 1 ? ? a1 a2 1 ? an

? (2)问题情境应具有“关联性” ? 为情境而情境的“标签”和“包装”不可取;

? “三句不离本行”的数学眼光 。
? (3)问题情境应具有“引领性” ? 敲门砖;激发、推动、维持、强化和调整。 ? (4)问题情境应具有“真实性” ? “独立事件同时发生的概率”:

? “三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮吗” 。
? (5)情境中问题的难易应适当 ? 最近发展区理论

(七)主体性数学教学思想
? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、谁是教学的主体? 教与学关系的认识 学生是主体,教师是主导 2、主体性的三层含义 主动性,自主性,创造性 3、数学教学的“二十四”字方针 精力内容,大作功夫; 少占多让,少扶多放; 绝对主动,相对自主。

(八)生成性数学教学思想
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、生成性教学的内涵 (1)什么是“生成” 所谓“生”,指产生、出生; 所谓“成”,为形成之“成”和成果之“成”; 产生→生长→形成→成果 (2)什么是生成性教学 教的意义上:静态预设,动态生成 学的意义上:被动接受,自主生成 生成性教学是对“预设性”的补充和修正; 生成性教学是对“接受性”的批判和超越。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2、从教的意义上解读生成 (1)教学系统的复杂性 “人—人”双向系统 (2)动态生成资源 引发教学目的、策略、方法等的生成性 (3)弹性预设的重要性 以解题为例,形成弹性化方案 (4)动态生成教学的特点 动态生成资源:生长点或脚手架 动态生成资源:持续生成与利用 静态预设资源:参照和索引

? 3、从学的意义上解读生成 ? (1)知识意义的生成过程 ? ①创造知识生成的“沃土”:夯实知识基础,盘

活已有经验,激发学生思维,调动个人智慧;
? ②寻找或播种知识生成的“种子”:已有知识和

经验,或先行组织者策略(锚);
? ③精心呵护, “施肥”“浇灌”,捕捉、判断与 利用。

? (2)知识意义的生成机制

无知

未知

有知

真知

(不知且不知其不知)(不知且知其不知)(“知”且知其“知”)(知且知其知或不知其知)

? 4、教师应具有的“应然”素质 ? (1)教师应具有引导“生成”的教学能力; ? (2)教师应具有强烈的教学资源意识;

? (3)教师应具有应对“生成”的教学机智和教
学智慧; ? (4)学程设计,弹性设计,动态设计。

五、数学教学“教得怎么样”
? 综合研析。对一节课从整体上作出全面、系统、 综合性评价。先分析后综合。 ? 单项研析。选择一个体会最深、感触最大、认识 深刻的角度或侧面来进行评课。

? 挖掘亮点。寻找和抓住被观察者的教学特点或教 学风格来进行评课。
? 以果溯因。透过表面现象,从现象到本质、从表 象到规律,概括教学的突出特点和主要问题。 ? 教学诊断。诊:发现和提出问题;断:分析问题 产生原因;治:对症下药,提出改进意见。

? (1)常规评课视角 ? 教学的目标与效果; ? 教学的内容与加工; ? 教学的重点与难点; ? 教学的方法与手段;

? 教学的过程与结构;
? 教师教学的基本功。

? (2)教学理论分析视角
? 各种教学理论、认知理论的视角。

? 寻找和开拓更多的视角:
? 知识意义的生成视角:无知,未知,有知,真知 ? 问题提出与解决的视角——问题链的构建 ? 数学教学设计的新视角——学程设计,弹性设计, 动态设计,意义设计

? 数学课堂有效提问的视角——启发性与探究性
? 数学教学资源利用的视角——预设性资源,携带 性资源,生成性资源

? (3)学科理论分析视角
? “教什么”始终是课堂教学的中心;当“怎么教” 凌驾于“教什么”之上时,这就是课堂“华而不 实”的典型表现。 ? 教学内容决定着活动的形式,活动的形式服务于 教学内容,教学内容的核心是数学本质,活动的 最终目的是揭示数学本质。 ? 一堂好课主要的标志是教学内容正确并使学生有 所收获和发展,在此前提下,课堂组织散漫一点, 教学中出现一些弯路插曲,都是常态,无伤大雅, 课堂教学形态应该走向相对地宽松乃至有节制的 随意。

? ①数学概念本质的揭示水平 ? ②数学命题实质的理解水平 ? ③数学过程形态的展现水平

? ④数学思想实质的领悟水平
? ⑤数学知识结构的把握水平 ? ⑥数学试题价值的负载水平(具体展开)

? ⑥数学试题价值的负载水平
? 示例:圆的对称轴

? 观点 1 :认为“圆的直径就是圆的对称轴”是错
的,因为圆的直径是条线段,而圆的对称轴应是 条直线,应该说“直径所在的直线是圆的对称轴” 才是正确的。 ? 观点 2 :“圆的直径是圆的对称轴”是正确的,

原因是直径具备对称轴的属性,即:一个图形沿
着它对折,两边的图形能够完全重合。

? 三角形中,三条线段组成的就不是角了吗?

? ? ? ? ?

一般地,函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 叫做指数函数。 一般地,函数y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 叫做对数函数。 思考: y ? 2 2x?1 是指数函数吗? 1 y ? log y ? 2log x ? log x ? log x 是对数函数吗? x 呢?
x

2

2

2

1 22

a

? x=x是不是方程?x/2x是不是分式?
? 含有未知数的等式叫做方程; ? 一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有 字母,那么式子A/B叫做分式。

? 反思:究竟看实质,还是看形式?
? 数学是人为的,也是为人的,完全可以根据研 究问题的需要,作出判断和取舍。 ? 其实,无论从解决实际问题的角度来看,还是 从数学内部的运演来看,以上争议都没有太大

意义,都是教条主义和八股化的具体表现。
? 要“淡化形式,注重实质”。

? 不好的题目: ? 圆的所有直径都相等,圆的所有半径都相等。 ? 等式的两边同时乘以或者除以一个不为0的数,

所得的式子仍然是等式。
? 求方程中未知数的值的过程,叫做方程的解。 ? 考试考出来的知识;作为考试的数学。

? “良构型”问题多,“劣构型”问题少; ? 重解题技能技巧,轻普适性思考方法的概括, 导致机械模仿多,独立思考少,思维层次不高。 ? 解题教学“讲逻辑而不讲思想”,强调细枝末

节多,关注基本概念、核心思想少。
? 题型的教学是最没有效果的教学,原因就在于

这种教学只是在外在形式上做文章,没有触到
数学思维的本质,是僵化的思维,是对学生理 解数学问题、领会数学思想的误导。

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