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高一数学—数列与不等式(二)—答案

高一数学—数列与不等式专题二
数列专题
1.已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公 式及其前 n 项 和 Tn .

2、等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前项和. ? bn ?
2

2 3 2 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

1 。有条件可知 a>0, 9

故q ?

1 。 3 1 1 。故数列{an}的通项式为 an ? n 。 3 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? (Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

3.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3? 2n?1 2 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn 解(Ⅰ)由已知,当 n≥1 时, an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ?? (a2 ? a1 )] ? a1

? 3*2*(22n ?1 ? 22n ?3 ? ? ? 2) ? 2 ? 22( n?1) ?1 。
而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1
从而 ①-②得 即



22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ?? n ? 22n?1 ② (1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ?? 22n?1 ? n ? 22n?1 。

1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

4. 在数列 ?an ?中,a1 ? 1,an ? 表达式.

?1? 2S n2 (n ? 2) 证明数列 ? ? 是等差数列,并求出 S n 的 2S n ? 1 ? sn ?
2 2S n (n ? 2). 2S n ? 1

【证明】∵ an ? S n ? S n?1 , ∴. S n ? S n?1 ? 化简,得

Sn-1-Sn= 2 Sn Sn-1

两边同除以. Sn Sn-1,得

1 1 ? ? 2 (n ? 2). S n S n?1

∴数列 ?

?1? 1 1 ? 1 为首项,2 为公差的等差数列. ? 是以 ? a1 S1 ? Sn ?
∴ Sn ?



1 ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1, Sn

1 . 2n ? 1

5. 已知数列 a n ?

1 2 n ? ??? 2! 3! (n ? 1) !

求 a 2008.

令 bn ?

n 1 1 (裂项) ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

? 1 ? 1 1 1 1 1 a n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ?( ? )? 1! 2 ! 2! 3! ? n ! (n ? 1) ! ? ? 1? 1 (n ? 1) !
1 . 2009!

故有 a 2008= 1?

不等式专题
x?2 x?2 ? x x 1.不等式
2) A. (0,
【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数. 选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。 2.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4 C.

的解集是(



0) B. ( ??,

? C. (2, ?)

? ? D.(-?,0) (0, ?)

x?2 ? 0 ,解得 A。或者 x

9 11 D. 2 2

答案 B 解析:考察均值不等式

? x ? 2y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y ) ? 8 ? ? ? ,整理得 ?x ? 2 y ? ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0 ? 2 ?
2

即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4 3.设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a ?
2

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最 ab a(a ? b)

小值是 (A)2 (B)4 (C) 2 5 (D)5

解析: 2a ?
2

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 ab a(a ? b)
2 2

= (a ? 5c) ? a ? ab ? ab ?

1 1 ? ab a(a ? b)

= (a ? 5c) ? ab ?
2

1 1 ? a ( a ? b) ? ab a ( a ? b)

≥0+2+2=4 当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b= 答案:B 4.已知 a,b,c>0,求证: 证明:因为 a,b,c>0

2 2 ,c= 满足条件. 2 5

a2 b2 c2 ? ? ? a?b?c b c a

a2 a2 所以 ?b ? 2 ? b ? 2a b b
同理

b2 b2 ?c ? 2 ? c ? 2b , c c

c2 c2 ?a?2 ? a ? 2c a a
a2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c ? 2a ? 2b ? 2c 将以上三个不等式左右两边分别相加得 b c a
所以

a2 b2 c2 ? ? ? a?b?c b c a
1

5.设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5?2 则 (A) a ? b ? c (B) b ? c ? a 答案 C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小 的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

【解析 1】 a= log3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log2 3 ? log2 e ? 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 ? 2 ? log2 4 ? log2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5

6.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的 碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐? 解: 设该儿童分别预订 x , y 个 单位的午餐和晚餐, 共花费 z 元,则 z ? 2.5 x ? 4 y 。 可行域为 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42 6 x+10 y ≥54 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 即 3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7 3 x+5 y ≥27 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 作出可行域如图所示: 经试验发现,当 x=4,y=3 时,花费最少,为 z ? 2.5 x ? 4 y =2.5×4+4×3=22 元. 7.解不等式 | 2 ?

答: x ? R ; 分段讨论法(最后结果应取各段的并集) :

3 1 x |? 2? | x ? | 4 2

8.解不等式 | x | ? | x ? 1|? 3 答: (??, ?1) ? (2, ??) ; 数形结合; 9.若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 答: { } 两边平方 10.不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____ (答: a ? 1 ) ; 11.若不等式 2 x ?1 ? m( x ?1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围_____
2

4 3

(答: ( 12.若不等式 (?1) a ? 2 ?
n

7 ?1 3 ?1 , ); ) 2 2

(?1) n ?1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____ n 3 (答: [ ?2, ) ) ; 2 2 13.若不等式 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围. 1 (答: m ? ? ) 2
14.不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1] ? [4, ??) B. (??, ?2] ? [5, ??) C. [1, 2] 答案 解析 A D. (??,1] ? [2, ??) )

1 对 x 1 a 因 为 ?4 ? x ?3 ?x ? ?4 x ?3 ? ? ?
2

?a 任 意 x 恒 成 立 , 所 以 3对

a2 ? 3a ? 4即a2 ? 3a ? 0,解得a ? 4或a ? ?1
15.设 x ? 0, y ? 0 , A ? A. A ? B B 提示:

x? y x y ,B ? ? ,则 A, B 的大小关系是( 1? x ? y 1? x 1? y
C.



B. A ? B

A? B

D. A ? B

A?

x? y x y x y ? ? ? ? ?B 1? x ? y 1? x ? y 1? x ? y 1? x 1? y
a b c a?b ? ,N ? ,Q ? ,则 1? a 1? b 1? c 1? a ? b
( C. )

16.已知三角形的三边长分别为 a, b, c ,设 M ?

M , N 与 Q 的大小关系是
A. M ? N ? Q D B. M ? Q ? N

Q?N ?M

D. N ? Q ? M

提示:由 a ? b ? c ,得

1 1 1 a ? b ?1 c ?1 1 ? ? ? ? 1? ,1 ? a?b c a?b a?b c c

17.设不等的两个正数 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 的取值范围是
3 3 2 2





A. B

(1, ??)

B.
2

4 (1, ) 3
2

C. [1, ]

4 3

D. (0,1]

提 示 : 由 条 件 得 a ? ab ? b ? a ? b , 所 以 (a ? b)2 ? a2 ? ab ? b2 ? a ? b , 故

a ? b ? 1 .又 (a ? b)2 ? 0 ,可得 3(a2 ? ab ? b2 ) ? 4(a2 ? ab ? b2 ) ,从而

3(a ? b)2 ? 4(a ? b) ,所以 a ? b ?

4 3

,故 1 ? a ? b ?

4 . 3
.

18.1) A ? ( 设

1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? ? ? 11 , A 与 1 的大小关系是 则 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1

A < 1/2^10 +1/2^10+1/2^10+...+1/2^10 = 1/2^10 * 2^10 = 1 所以 A<1 (2)设 A ? A<1

1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? ? ? 11 ,则 A 与 1 的大小关系是 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1

.

1/[2^10*(2^10+1)]=1/2^10-1/(2^10+1)>……>1/2^11-1/(2^11+1)

所以 A 小于以 1/2^20 为公差以 1/(2^11+1)为首项的等差数列 A<[1/(2^11+1)+1/2^10]/2* (2^10+2)<(1+1/2^10+1/2+1/2^10)/2=(3/2+1/2^9)/2<(3/2+1/2)/2=1 所以 A<1 19.设 S ? 1 ?

1 1 1 ? ??? ,则 S 的整数部分为 2 3 100

.

提示:因为 n ? 2 时, n ? n ?1 ? 2 n ? n ? n ? 1 ,所以

2 n ? n ?1

?

1 2 1 ? ? 2( n ? n ? 1) ,即 2( n ? 1 ? n ) ? n n ? n ?1 n 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2( 100 ? 1) ? 19 2 3 100

故 18 ? 1 ? 2( 101 ? 2) ? 1 ? 所以所求整数部分为 18.

20.已知 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ,求证:
2 2 2

c3 ? a 3 ? b3 ? c 3 . 2 a 2 ? b2 c 2 ? ,所以 2 2
2 2 2

解:由已知可知, 0 ? a ? c, 0 ? b ? c, a ? b ? c, ab ?

c2 c3 a ? b ? a? ? b? ? c(a ? b ) ? c , a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b ) ? c(c ? ) ? a b 2 2
3 3 2 2 2 2 3
3 3

所以原不等式得证. 21.设 n ? N ,求证:
?

1 1 1 1 ? ?? ? ? . 2 9 25 (2n ? 1) 4

提示:由

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ( ? ) ,累加即得. 2 (2k ? 1) 4k ? 4k ? 1 4k ? 4k 4 k k ? 1
?

1 1 1 1 ? ? ??? ?1. 2 n ?1 n ? 2 2n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? 1. 提示: ? 2 2n 2n 2n 2n n ? 1 n ? 2 2n n n n n
22.设 n ? N ,求证: 23.设 n ? N ? ,求证:

1 1 1 ? 2 ??? ?1. 2 2 4 (2n)2

提示:

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,累加即得. 2 (2n) n n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? Sn ? 对所有的 2 2

24.设 Sn ? 1? ? 2? ? ? n? n ? 1) ,求证:不等式 2 3 ( 正整数 n 都成立. 提示: k ?
2

k (k ? 1) ?

k (k ? 1) 2


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