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2019秋高中数学湘教版必修1练习:第2章 指数函数、对数函数和幂函数 2.1.2 第1课时

2.1.2 指数函数的图象和性质 第 1 课时 指数函数的图象和性质
[学习目标] 1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初 步掌握指数函数的有关性质.

[知识链接] 1.ar· as=ar s;(ar)s=ars;(ab)r=ar· br .


其中 a>0,b>0,r,s∈R. 2.在初中,我们知道有些细胞是这样分裂的:由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,….1 个 这样的细胞分裂 x 次后,第 x 次得到的细胞个数 y 与 x 之间构成的函数关系为 y=2x, x∈{0,1,2,…}. [预习导引] 1.函数 y=ax 叫作指数函数,其中 a 是不等于 1 的正实数,函数的定义域是 R. 2.从图象可以“读”出的指数函数 y=ax(a>1)的性质有: (1)图象总在 x 轴上方,且图象在 y 轴上的射影是 y 轴正半轴(不包括原点).由此,函数的值域 是 R+; (2)图象恒过点(0,1),用式子表示就是 a0=1; (3)函数是区间(-∞,+∞)上的递增函数,由此有:当 x>0 时,有 ax>a0=1;当 x<0 时, 有 0<ax<a0=1. 1?-x 1 ?1?x 的图象关于 y 3.如果底数 a∈(0,1),那么,它的倒数 >1,y=ax=? ,它的图象和 y = ?a? ?a? a 轴对称,可以类似地得到函数 y=ax(0<a<1)的性质: (1)图象总在 x 轴上方,且图象在 y 轴上的射影是 y 轴正半轴(不包括原点).由此,函数的值域 是 R+; (2)图象恒过点(0,1),用式子表示就是 a0=1; (3)函数是区间(-∞,+∞)上的递减函数,由此有:当 x>0 时,有 0<ax<a0=1;当 x<0 时, 有 ax>a0=1.

要点一 指数函数的概念 例 1 给出下列函数: ①y=2· 3x;②y=3x 1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个数是( )


A.0 答案 B

B.1

C.2

D.4

解析 ①中,3x 的系数是 2,故①不是指数函数;②中,y=3x

+1

的指数是 x+1,不是自变量 x,

故②不是指数函数;③中,3x 的系数是 1,幂的指数是自变量 x,且只有 3x 一项,故③是指数 函数;④中,y=x3 的底为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,底数-2<0,不 是指数函数. 规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征:(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数;(2) 指数位置是自变量 x;(3)ax 的系数是 1. 2.求指数函数的关键是求底数 a,并注意 a 的限制条件. 跟踪演练 1 若函数 y=(4-3a)x 是指数函数,则实数 a 的取值范围为________________. 4 答案 {a|a< ,且 a≠1} 3 解析 y=(4-3a)x 是指数函数,需满足:
?4-3a>0, ? 4 ? 解得 a< 且 a≠1. 3 ? 4 - 3 a ≠ 1 , ?

4 故 a 的取值范围为{a|a< ,且 a≠1}. 3 要点二 指数函数的图象 例 2 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小 关系是( )

A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d 答案 B

B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c

解析 方法一 在 y 轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大. 由指数函数图象的升降,知 c>d>1,b<a<1. ∴b<a<1<d<c. 方法二 作直线 x=1,与四个图象分别交于 A、B、C、D 四点,由于 x=1 代入各个函数可得 函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知 b<a<1<d<

c.故选 B.

规律方法 1.无论指数函数的底数 a 如何变化,指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象与直线 x=1 相交于点(1,a),由图象可知:在 y 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大. 2.处理指数函数的图象:①抓住特殊点,指数函数图象过点(0,1);②巧用图象平移变换;③ 注意函数单调性的影响. 跟踪演练 2 (1)函数 y=|2x-2|的图象是( )

(2) 直线 y =2a 与函数 y= |ax - 1|(a > 0 且 a≠1) 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 1 答案 (1)B (2)(0, ) 2 解析 (1)y=2x-2 的图象是由 y=2x 的图象向下平移 2 个单位长度得到的, 故 y=|2x-2|的图象 是由 y=2x-2 的图象在 x 轴上方的部分不变,下方部分对折到 x 轴的上方得到的. (2)当 a>1 时,在同一坐标系中作出函数 y=2a 和 y=|ax-1|的图象(如图(1)).由图象可知两函 数图象只能有一个公共点,此时无解.当 0<a<1 时,作出函数 y=2a 和 y=|ax-1|的图象(如 图(2)).若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,由图象可知 0<2a 1 <1,所以 0<a< . 2

要点三 指数型函数的定义域、值域 例 3 求下列函数的定义域和值域: 1? x2- 2 x- 3. (1)y=2 x ? 4 ;(2)y= 1-2x;(3)y=? ?2? 解 (1)由 x-4≠0,得 x≠4, 故 y=2
1 x?4

1

的定义域为{x|x∈R,且 x≠4}.
1

1 又 ≠0,即 2 x ? 4 ≠1, x-4
1

故 y=2 x ? 4 的值域为{y|y>0,且 y≠1}. (2)由 1-2x≥0,得 2x≤1,∴x≤0, ∴y= 1-2x的定义域为(-∞,0]. 由 0<2x≤1,得-1≤-2x<0,∴0≤1-2x<1, ∴y= 1-2x的值域为[0,1). 1? x2- 2 x- 3 (3)y=? 的定义域为 R. ?2? ∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, 1?x2-2x-3 ?1?-4 ∴? ≤?2? =16. ?2? 1? x2- 2 x- 3 又∵? >0, ?2? 1? x2- 2 x- 3 故函数 y=? 的值域为(0,16]. ?2? 规律方法 对于 y=af(x)(a>0,且 a≠1)这类函数, (1)定义域是使 f(x)有意义的 x 的取值范围; (2)值域问题,应分以下两步求解: ①由定义域求出 u=f(x)的值域; ②利用指数函数 y=au 的单调性求得此函数的值域. 跟踪演练 3 (1)函数 f(x)= 1-2x+ A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] 1 的定义域为( ) x+3

B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

1?x (2)函数 f(x)=? ?3? -1,x∈[-1,2]的值域为____________. 8 答案 (1)A (2)[- ,2] 9

x ? ?1-2 ≥0, 解析 (1)由题意,得自变量 x 应满足? ?x+3>0, ?

?x≤0, ? 解得? ∴-3<x≤0. ?x>-3, ?

1 1?x (2)∵-1≤x≤2,∴ ≤? ≤3, 9 ?3? 8 1?x ?-8,2?. ∴- ≤? - 1 ≤ 2 , ∴ 值域为 ? 9 ? 9 ?3?

1.下列各函数中,是指数函数的是( ) A.y=(-3)x C.y=3x 答案 D 解析 由指数函数的定义知 a>0 且 a≠1,故选 D. 3?x 2.函数 y=? ?4? 的图象可能是( )
-1

B.y=-3x 1?x D.y=? ?3?

答案 C 3 解析 0< <1 且过点(0,1),故选 C. 4 3.函数 y=2x,x∈[1,+∞)的值域是( ) A.[1,+∞) C.[0,+∞) 答案 B 解析 y=2x 在 R 上是增函数,且 21=2,故选 B. 4.函数 f(x)=ax 的图象经过点(2,4),则 f(-3)的值是________. 答案 1 8 B.[2,+∞) D.(0,+∞)

解析 由题意知 4=a2,所以 a=2,因此 f(x)=2x, 1 - 故 f(-3)=2 3= . 8

1? x 2- 1 5.函数 y=? 的值域是________. ?2? 答案 (0,2] 1? x 2- 1 ?1?-1 解析 ∵x2-1≥-1,∴y=? ≤?2? =2, ?2? 又 y>0,∴函数值域为(0,2].

1.指数函数的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),且 f(0)=1. 2.当 a>1 时,a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快.当 0<a<1 时,a 的值越小, 图象越靠近 y 轴,递减的速度越快.

一、基础达标 1.y=2x
-1

的定义域是( ) B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

A.(-∞,+∞) C.[1,+∞) 答案 A

解析 不管 x 取何值,函数式都有意义,故选 A.
? 1 ? + <2x 1<4,x∈Z ?,则 M∩N 等于( ) 2.已知集合 M={-1,1},N=?x? ?2 ? ?

A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0} 答案 B 1 + - + 解析 ∵ <2x 1<4,∴2 1<2x 1<22, 2 ∴-1<x+1<2,∴-2<x<1. 又∵x∈Z,∴x=0 或 x=-1,即 N={0,-1}, ∴M∩N={-1}. 3.函数 y=2x
+1

的图象是( )

答案 A 解析 当 x=0 时,y=2,且函数单调递增,故选 A. 4.当 x∈[-2,2)时,y=3 x-1 的值域是( )


8 A.(- ,8] 9 1 C.( ,9) 9 答案 A

8 B.[- ,8] 9 1 D.[ ,9] 9

8 - - 解析 y=3 x-1,在 x∈[-2,2)上是减函数,∴3 2-1<y≤32-1,即- <y≤8. 9 5.指数函数 y=(2-a)x 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是________. 答案 (1,2) 解析 由题意可知,0<2-a<1,即 1<a<2. 6.函数 y=ax 5+1(a≠0)的图象必经过点________.


答案 (5,2) 解析 指数函数的图象必过点(0,1),即 a0=1,由此变形得 a5 5+1=2,所以所求函数图象必过


点(5,2). 1 - 7.已知函数 f(x)=ax 1(x≥0)的图象经过点(2, ),其中 a>0 且 a≠1. 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)(x≥0)的值域. 1 解 (1)因为 f(x)的图象过点(2, ), 2 1 1 - 所以 a2 1= ,则 a= . 2 2 1 - (2)由(1)知,f(x)=( )x 1,x≥0. 2 由 x≥0,得 x-1≥-1, 1 - 1- 于是 0<( )x 1≤( ) 1=2, 2 2 所以函数 y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2]. 二、能力提升 8.函数 y=5
-|x|

的图象是( )

答案 D 解析 当 x>0 时,y=5
-|x|

1 - =5 x=( )x,又原函数为偶函数,故选 D. 5 )

x ? ?2 ,x>0, 9.已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ?x+1,x≤0. ?

A.-3B.-1C.1D.3 答案 A 解析 依题意,f(a)=-f(1)=-21=-2,∵2x>0, ∴a≤0,∴f(a)=a+1=-2,故 a=-3,所以选 A. 10.方程|2x-1|=a 有唯一实数解,则 a 的取值范围是________. 答案 {a|a≥1 或 a=0} 解析 作出 y=|2x-1|的图象,如图,要使直线 y=a 与图象的交点只有一个,∴a≥1 或 a=0.

1 x2- 2 x ? 2 11.求函数 y=( ) (0≤x≤3)的值域. 2 1 解 令 t=x2-2x+2,则 y=( )t, 2 又 t=x2-2x+2=(x-1)2+1, ∵0≤x≤3, ∴当 x=1 时,tmin=1,当 x=3 时,tmax=5. 1 1 故 1≤t≤5,∴( )5≤y≤( )1, 2 2 1 1 故所求函数的值域[ , ]. 32 2 三、探究与创新 a 12.函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2 解 (1)若 a>1,则 f(x)是增函数, ∴f(x)在[1,2]上的最大值为 f(2),最小值为 f(1). a a ∴f(2)-f(1)= ,即 a2-a= . 2 2 3 解得 a= . 2 (2)若 0<a<1,则 f(x)是减函数, ∴f(x)在[1,2]上的最大值为 f(1),最小值为 f(2), a a ∴f(1)-f(2)= ,即 a-a2= , 2 2 1 解得 a= . 2 1 3 综上所述,a= 或 a= . 2 2

13.设 0≤x≤2,y=4 解 令 t=2x,0≤x≤2, ∴1≤t≤4.

x-

1 2

-3· 2x+5,试求该函数的最值.

1 - 则 y=22x 1-3· 2x+5= t2-3t+5. 2 1 1 又 y= (t-3)2+ ,t∈[1,4], 2 2 1 1 ∴y= (t-3)2+ ,在 t∈[1,3]上是减函数;在 t∈[3,4]上是增函数, 2 2 1 5 ∴当 t=3 时,ymin= ;当 t=1 时,ymax= . 2 2 5 1 故函数的最大值为 ,最小值为 . 2 2


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