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2014一轮复习课件 第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示_图文

考纲要求 1.了解平面向量基本定理 及其意义. 2.掌握平面向量的正交分 解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量 的加法、减法与数乘运 算. 4.理解用坐标表示的平面 向量共线的条件. 考情分析 1.从考查内容看,本节重点考查 平面向量的基本定理、向量的 坐标运算及平面向量共线的坐 标表示.另外,平面向量坐标 运算的实质是把几何问题转化 成代数问题,它是“数”和 “形”结合的桥梁. 2.从考查形式看,本节内容多以 选择题、填空题的形式出现, 属于低、中档题. 一、两个向量的夹角 定义 → 已知两个 非零 向量 a, b, 作OA → =b, = a, OB 则∠AOB=θ 叫做 向量 a 与 b 的夹角(如图) 范围 向量夹角 θ 的范围是[0, π].当 θ= 0或π 时,两 π 向量共线;当 θ= 时,两 2 向量垂直,记作 a⊥b 二、平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向 量 , 那 么 对于这一平面内的任意向量a, 有且只有 一 对 实 数 λ1 , λ2 , 使 a =λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的 一组 基底 . 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直的向量,叫做把向量正交分 解. 3.平面向量的坐标表示 (1) 在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两 个单位向量 i ,j 作为基底,对于平面内的一个向量 a ,有且只有 一对实数x,y,使a=xi+yi,把有序数对 (x,y) 叫 做 向 量 a 的 坐标,记作a= (x,y) ,其中x叫做a在x轴上的坐标, y 叫做a在 y轴上的坐标. → → (2)设OA=x i+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是 点A 的坐 → =(x,y),则 A 点坐标为 (x,y) ,反之亦成立(O 标,即若OA 是坐标原点). 1.向量的坐标与点的坐标有何不同? 提示:向量的坐标与点的坐标有所不同,相等向量的坐标 是相同的,但起点、终点的坐标可以不同.只有以原点 O 为起 → 的坐标与点 A 的坐标相同. 点的向量OA 2.平面的基底唯一吗? 提示: 平面的基底不唯一,平面内任意两个不共线的向量 都可作为平面的一个基底. 三、平面向量的坐标运算 1.加法、减法、数乘运算 向量 坐标 a b a+b a-b λa (λx1, λy1) ( x1 + ( x1 - (x1,y1) (x2,y2) x2,y1+ x2,y1- y2 ) y2 ) 2.向量坐标的求法 → = (x -x ,y -y ) .即 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB 2 1 2 1 向量的坐标等于该向量 终 点的坐标减去 起 点的坐标. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 其中 b≠0,则 a 与 b 共线?a=λb? x1y2-x2y1=0 . 3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件能表 x1 y1 示成 = 吗? x2 y2 提示:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不 x1 y1 能表示成x =y ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2 2 2 -x2y1=0.同时, a∥b 的充要条件也不能错记为: x1x2-y1y2=0, x1y1-x2y2=0 等. 对平面向量基本定理的理解 (1) 平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基 底,单位正交基底是最简单的一组基底. (2) 平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合,并 且表示方法是唯一的,但同一向量用不同的基底表示的结果是 不同的. (3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算. 1 .若已知 e1 、 e2 是平面上的一组基底,则下列各组向量中 不能作为基底的一组是( A.e1与-e2 C.e1+e2与e1-e2 ) B.3e1与2e2 D.e1与2e1 解析: 由题意知向量 e1 与 2e1 共线,故不能作为平面的基 底. 答案:D 2.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( ) A.3a+b C.-a+3b B.3a-b D.a+3b 解析:设 c=xa+yb, ? ?x-y=4, 则? ? ?x+y=2, ? ?x=3, ∴? ? ?y=-1. ∴c=3a-b. 答案:B 3.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数, (a+λb)∥c,则 λ=( 1 A.4 C.1 ) 1 B.2 D.2 解析:∵a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4), ∴a+λb=(1,2)+(λ,0)=(1+λ,2). 1+λ 2 1 又∵(a+λb)∥c,∴ 3 =4,解得 λ=2. 答案:B 4.在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD的边 AB∥DC, AD∥BC. 已 知 A( - 2,0) , B(6,8) , C(8,6) , 则 D 点 的 坐 标 为 ________. 解析:设 D 点的坐标为(x,y),由题意知 B→ C =A→ D, 即(2,-2)=(x+2,y), 所以 x=0,y=-2,∴D(0,-2). 答案:(0,-2) →, 5.(理)已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 C→ D =2DB → +sAC → ,则 r+s 的值是________. C→ D =rAB 解析:C→ D =A→ D -A→ C ,D→ B =A→ B -A→ D, ∴C→ D =A→ B -D→ B -A→ C 1 → → → =A B -2C D -A C , 3 → ∴ C D =A→ B -A→ C, 2 2 → 2 → → ∴C D =3A B -3A C . 2

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