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仁和区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

一、选择题
1. 若复数 z= A.3 B.6

仁和区高中 2018-2019 学年高三下学期第三次月考试卷数学
(其中 a∈R,i 是虚数单位)的实部与虚部相等,则 a=( ) C.9 D.12

2. 若多项式 x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则 a8=(



A.45 B.9 C.﹣45 D.﹣9

3. 已知 A.

, B.

,那么 C.﹣2

夹角的余弦值( ) D.﹣

4. 已知圆 M 过定点 (0,1) 且圆心 M 在抛物线 x2 ? 2 y 上运动,若 x 轴截圆 M 所得的弦为| PQ |,则弦长

| PQ |等于( )

A.2

B.3

C.4

D.与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质,对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高,

难度较大.

5. 方程 x ?1 ? 1? ? y ?1?2 表示的曲线是(



A.一个圆

B. 两个半圆

C.两个圆

6. 已知复数 z 满足 zi=1﹣i,(i 为虚数单位),则|z|=( )

A.1 B.2 C.3 D.

7. 已知全集U ? R , A ? {x | 2 ? 3x ? 9} , B ? {y | 0 ? y ? 2},则有( )

A. A ? B B. A B ? B

C. A (?R B) ? ?

D. A (?R B) ? R

8. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1, 0) , c ? (3, 4) ,若 ? 为实数, (a ? ?b) / /c ,则 ? ? (

A. 1 4

B. 1 2

C.1

9. 下列满足“? x∈R,f(x)+f(﹣x)=0 且 f′(x)≤0”的函数是( )

A.f(x)=﹣xe|x| B.f(x)=x+sinx

D.半圆
) D.2

C.f(x)=

D.f(x)=x2|x|

10.为了解决低收入家庭的住房问题,某城市修建了首批 108 套住房,已知 A, B, C 三个社区分别有低收入家

庭 360 户,270 户,180 户,现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数,则应从 C 社

区抽取低收入家庭的户数为( )

A.48

B.36

C.24

D.18

【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用,在抽样考查中突出在实际中的应用,属于容易题.

11.已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE 与平面 A1ED1

所成角的大小为( )

A.60°

B.90°

C.45°

D.以上都不正确

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12.设 p 、 q 是两个命题,若 ?( p ? q ) 是真命题,
那么( )
A. p 是真命题且 q 是假命题 B. p 是真命题且 q 是真命题 C. p 是假命题且 q 是真命题 D. p 是假命题且 q 是假命题 二、填空题

13.已知(ax+1)5 的展开式中 x2 的系数与

的展开式中 x3 的系数相等,则 a=



14.已知直线 l:ax﹣by﹣1=0(a>0,b>0)过点(1,﹣1),则 ab 的最大值是



15.若圆

与双曲线 C:

的渐近线相切,则 _____;双曲线 C 的渐近线方程是

____. 16.设 为单位向量,①若 为平面内的某个向量,则 =| |? 与 平行且| |=1,则 = .上述命题中,假命题个数是

;②若 .

与 平行,则 =| |?

;③若

17.已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 7a 在 x ?1处取得极小值 10,则 b 的值为 a

▲.

18.一个算法的程序框图如图,若该程序输出的结果为 ,则判断框中的条件 i<m 中的整数 m 的值





三、解答题
19.已知函数 f (x) ? 3x , x ??2,5? .
x ?1 (1)判断 f (x) 的单调性并且证明;
(2)求 f (x) 在区间?2,5? 上的最大值和最小值.

20.(本小题满分 12

分)已知

F1

,

F2

分别是椭圆

C



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的两个焦点,P(1,

2 ) 是椭圆上 2

一点,且 2 | PF1 |,| F1F2 |, 2 | PF2 | 成等差数列.

(1)求椭圆 C 的标准方程;、

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(2)已知动直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A、B 两点,试问 x 轴上是否存在定点 Q ,使得 QA ? QB ? ? 7 16
恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

设椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的离心率 e

?

1 2

,圆 x2

?

y2

? 12 与直线 7

x a

?

y b

? 1相切, O 为坐标原

点.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)过点 Q(?4, 0)任作一直线交椭圆 C 于 M , N 两点,记 MQ ? ?QN ,若在线段 MN 上取一点 R ,使

得 MR ? ?? RN ,试判断当直线运动时,点 R 是否在某一定直一上运动?若是,请求出该定直线的方

程;若不是,请说明理由.

22.【镇江 2018 届高三 10 月月考文科】已知函数

,其中实数 为常数, 为自然对数的底数.

(1)当 时,求函数

的单调区间;

(2)当 时,解关于 的不等式



(3)当 时,如果函数

不存在极值点,求 的取值范围.

23.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,已知角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c ,边 c ? 7 ,且 2

tan A ? tan B ?

3 tan A tan B ?

3

,又 ?ABC 的面积为 S?ABC

?

33 2

,求 a ? b

的值.

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24.已知数列{an}满足 a1= ,an+1=an+ (n∈N*).证明:对一切 n∈N*,有

(Ⅰ)

<;

(Ⅱ)0<an<1.

25.已知等差数列{an},满足 a3=7,a5+a7=26. (Ⅰ)求数列{an}的通项 an;

(Ⅱ)令 bn=

(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

26.已知函数



(Ⅰ)若函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值.

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仁和区高中 2018-2019 学年高三下学期第三次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A

【解析】解:复数 z= =

=



由条件复数 z= (其中 a∈R,i 是虚数单位)的实部与虚部相等,得,18﹣a=3a+6,
解得 a=3. 故选:A. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力.

2. 【答案】A

【解析】解:a8 是 x10=[﹣1+(x+1)]10 的展开式中第九项(x+1)8 的系数, ∴a8= =45, 故选:A. 【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式,二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质,属于 基础题.

3. 【答案】A 【解析】解:∵ ∴ = ,| |= ,





=﹣1×1+3×(﹣1)=﹣4,

∴cos<

>=

=

=﹣ ,

故选:A. 【点评】本题考查了向量的夹角公式,属于基础题.

4. 【答案】A
【解析】过 M 作 MN 垂直于 x 轴于 N ,设 M (x0, y0 ) ,则 N (x0,0) ,在 Rt?MNQ 中,| MN |? y0 , MQ 为 圆的半径, NQ 为 PQ 的一半,因此
| PQ |2 ? 4 | NQ |2 ? 4(| MQ |2 ? | MN |2) ? 4[x02 ? ( y0 ?1)2 ? y02] ? 4(x02 ? 2y0 ?1) 又点 M 在抛物线上,∴ x02 ? 2 y0 ,∴| PQ |2 ? 4(x02 ? 2y0 ?1) ? 4 ,∴| PQ |? 2 .

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5. 【答案】A 【解析】
试题分析:由方程 x ?1 ? 1? ? y ?1?2 ,两边平方得 x ?1 2 ? ( 1? ? y ?1?2 )2 ,即 (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,所
以方程表示的轨迹为一个圆,故选 A. 考点:曲线的方程. 6. 【答案】D

【解析】解:∵复数 z 满足 zi=1﹣i,(i 为虚数单位),

∴z= =﹣i﹣1,

∴|z|=

=.

故选:D.

【点评】本题考查了复数的化简与运算问题,是基础题目.

7. 【答案】A
【解析】解析:本题考查集合的关系与运算, A ? (log3 2, 2] , B ? (0, 2] ,∵ log3 2 ? 0 ,∴ A ? B ,选 A.
8. 【答案】B 【解析】
试题分析:因为 a ? (1, 2) , b ? (1, 0) ,所以 (a ? ?b) ? ?1? ?, 2? ,又因为 (a ? ?b) / /c ,所以 4?1? ? ? ? 6 ? 0, ? ? 1 ,故选 B.
2
考点:1、向量的坐标运算;2、向量平行的性质. 9. 【答案】A

【解析】解:满足“?x∈R,f(x)+f(﹣x)=0,且 f′(x)≤0”的函数为奇函数,且在 R 上为减函数, A 中函数 f(x)=﹣xe|x|,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数,

且 f′(x)=

≤0 恒成立,故在 R 上为减函数,

B 中函数 f(x)=x+sinx,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数,但 f′(x)=1+cosx≥0,在 R 上是增函数,

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C 中函数 f(x)=

,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数;

D 中函数 f(x)=x2|x|,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数, 故选:A.

10.【答案】 C

【解析】根据分层抽样的要求可知在 C 社区抽取户数为108?

180

? 108? 2 ? 24 .

360 ? 270 ?180

9

11.【答案】B

【解析】解:∵E 是 BB1 的中点且 AA1=2,AB=BC=1, ∴∠AEA1=90°, 又在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD⊥平面 ABB1A1, ∴A1D1⊥AE, ∴AE⊥平面 A1ED1, 故选 B 【点评】本题考查线面角的求法,根据直线与平面所成角必须是该直线与其在这个平面内的射影所成的锐角, 还有两个特殊角,而立体几何中求角的方法有两种,几何法和向量法,几何法的思路是:作、证、指、求,向 量法则是建立适当的坐标系,选取合适的向量,求两个向量的夹角.

12.【答案】D
二、填空题

13.【答案】



【解析】解:(ax+1)5 的展开式中 x2 的项为



的展开式中 x3 的项为

∴10a2=5,

即 a2= ,解得 a=



=10a2x2,x2 的系数为 10a2, =5x3,x3 的系数为 5,

故答案为:



【点评】本题主要考查二项式定理的应用,利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键.

14.【答案】



【解析】解:∵直线 l:ax﹣by﹣1=0(a>0,b>0)过点(1,﹣1), ∴a+b﹣1=0,即 a+b=1,

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∴ab≤

=

当且仅当 a=b= 时取等号,

故 ab 的最大值是

故答案为: 【点评】本题考查基本不等式求最值,属基础题.

15.【答案】 , 【解析】【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线

【试题解析】双曲线的渐近线方程为:



的圆心为(2,0),半径为 1.

因为相切,所以

所以双曲线 C 的渐近线方程是:
故答案为: , 16.【答案】 3 .

【解析】解:对于①,向量是既有大小又有方向的量, =| |? 的模相同,但方向不一定相同,∴①是假 命题; 对于②,若 与 平行时, 与 方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时 =﹣| |? ,∴②是假命 题; 对于③,若 与 平行且| |=1 时, 与 方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时 =﹣ ,∴③是 假命题; 综上,上述命题中,假命题的个数是 3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题,解题时应把握向量的基本概念是什么,是基础题目.
17.【答案】 ? 1 2

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点:函数极值 【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)知图判断函数极值的情况.先找导数为 0 的点,再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求 f′(x)―→求方程 f′(x)=0 的根―→列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根的附近两侧 的符号―→下结论. (3)已知极值求参数.若函数 f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则 f′(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数 值符号相反. 18.【答案】 6 .

【解析】解:第一次循环:S=0+ = ,i=1+1=2;
第二次循环:S= + = ,i=2+1=3;
第三次循环:S= + = ,i=3+1=4;
第四次循环:S= + = ,i=4+1=5;
第五次循环:S= + = ,i=5+1=6;输出 S,不满足判断框中的条件; ∴判断框中的条件为 i<6? 故答案为:6. 【点评】本题考查程序框图,尤其考查循环结构.对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律.本题属于 基础题

三、解答题

19.【答案】(1)增函数,证明见解析;(2)最小值为,最大值为 2.5 .

【解析】

试题分析:(1)在?2,5 ? 上任取两个数

x1

?

x2 ,则有

f

(x1) ?

f

(x2 )

?

3(x1 ? x2 ) (x1 ?1)(x2 ?1)

?

0

,所以

f

(x)

在 ?2, 5?

上是增函数;(2)由(1)知,最小值为 f (2) ? 2 ,最大值为 f (5) ? 5 . 2

试题解析:

在?2,5? 上任取两个数 x1 ? x2 ,则有

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f

(x1) ?

f

(x2 )

?

3x1 ? x1 ?1

3x2 x2 ?1

?

3(x1 ? x2 ) (x1 ?1)(x2 ?1)

?0,

所以 f (x) 在?2,5? 上是增函数.

所以当 x ? 2 时, f (x)min ? f (2) ? 2 ,

当 x ? 5 时,

f

( x)max

?

f

(5)

?

5 2

.

考点:函数的单调性证明.

【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间,考查化归与转化的数学思想方法.

先在定义域内任取两个数 x1 ? x2 ,然后作差 f (x1) ? f (x2 ) ,利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成
几个因式的乘积,判断最后的结果是大于零韩式小于零,如果小于零,则函数为增函数,如果大于零,则函数

为减函数.1

20.【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识,意

在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力,以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用.

下面证明 m ? 5 时, QA ? QB ? ? 7 恒成立.

4

16

当直线 l 的斜率为 0 时,结论成立;

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当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x ? ty ?1, A? x1, y1 ? , B? x2, y2 ? ,

由 x ? ty ?1及 x2 ? y2 ? 1,得 (t2 ? 2) y2 ? 2ty ?1 ? 0 , 2

所以 ?

?

0 ,∴

y1

?

y2

?

?

2t t2 ?

2

,

y1 y2

?

?

t2

1 ?

2



x1 ? ty1 ?1, x2 ? ty2 ?1,

∴ (x1

?

5, 4

y1) ? (x2

?

5 4

,

y2

)

? (ty1

?

1 4

)(ty2

? 1)? 4

y1 y2 = (t 2

? 1)

y1 y2

?

1 4

t

(

y1

?

y2

)

?

1 16



?(t 2

1 ?1) t2 ?

2

?

1t 4

2t ? t2 ?

2

?1 16

?

?2t2 ? 2 ? t2 2(t2 ? 2)

?1 16

?

?7 16



综上所述,在 x 轴上存在点 Q(5 , 0) 使得 QA ? QB ? ? 7 恒成立.

4

16

21.【答案】(1) x2 ? y2 ? 1;(2)点 R 在定直线 x ? ?1 上. 43

【解析】



题解析:

(1)由 e

?

1 2

,∴

e2 a2

?

1 4

,∴ 3a2

? 4b2 ,又

ab ? 2 21 ,

a2 ? b2

7

解得 a ? 2, b ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1. 43

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设点 R 的坐标为 (x0 , y0 ) ,则由 MR ? ?? ? RN ,得 x0 ? x1 ? ??(x2 ? x0 ) ,

解得 x0

?

x1 ? ? x2 1? ?

?

x1

?

x1 x2

?4 ?4

?

x2

1? x1 ? 4

?

2x1x2 ? 4(x1 ? x2 ) (x1 ? x2 ) ? 8

x2 ? 4

又 2x1x2

? 4(x1

?

x2 )

?

2

?

64k 2 ?12 3 ? 4k 2

?

4

?

?32k 2 3 ? 4k2

?

?24 3 ? 4k2



( x1

?

x2 )

?

8

?

?32k 2 3 ? 4k 2

?

8

?

24 3 ? 4k2

,从而

x0

?

2x1x2 ? 4(x1 ? x2 ) (x1 ? x2 ) ? 8

?

?1 ,

故点 R 在定直线 x ? ?1 上.

考点:1.椭圆的标准方程与几何性质;2.直线与椭圆的位置关系.

22.【答案】(1)单调递增区间为

;单调递减区间为

.(2)

【解析】试题分析:把 代入由于对数的真数为正数,函数定义域为

求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间;代入 ,

(3)

,所以函数化为

,分



, 两种情

况解不等式;当 时, 恒成立,根据这个要求得出 的范围. 试题解析:

,求导

,函数 不存在极值点,只需

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(2) 时,



当 时,原不等式可化为



,则

当 时,



所以 在

单调递增,又



时,原不等式可化为

综上,原不等式的解集为



. ,
,故不等式解为 ; ,显然不成立,

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23.【答案】 11 . 2
【解析】

题解析:由 tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 可得 tan A ? tan B ? ? 3 ,即 tan( A ? B) ? ? 3 .
1? tan A tan B ∴ tan(? ? C) ? ? 3 ,∴ ? tan C ? ? 3 ,∴ tan C ? 3 . ∵ C ?(0,? ) ,∴ C ? ? .
3
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又 ?ABC 的面积为 S?ABC

?

33 2

,∴

1 2

ab sin C

?

33 2

,即

1 2

ab ?

3 ? 3 3 ,∴ ab ? 6 . 22

又由余弦定理可得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC ,∴ (7)2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos ? ,

2

3

∴ (7)2 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab ,∴ (a ? b)2 ? 121 ,∵ a ? b ? 0,∴ a ? b ? 11 .1

2

4

2

考点:解三角形问题.

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题,其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面

积、正弦定理和余弦定理,以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问

题的能力,以及推理与运算能力,其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键,属于中档试题.

24.【答案】

【解析】证明:(Ⅰ)∵数列{an}满足 a1= ,an+1=an+ (n∈N*),

∴an>0,an+1=an+ >0(n∈N*),an+1﹣an= >0,

∴ ∴对一切 n∈N*,

, <.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对一切 k∈N*,









∴当 n≥2 时,

=

>3﹣[1+

]

=3﹣[1+

]

=3﹣(1+1﹣ )

=



∴an<1,又



∴对一切 n∈N*,0<an<1. 【点评】本题考查不等式的证明,是中档题,解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用,注意不等式性质

的灵活运用.

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25.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)设{an}的首项为 a1,公差为 d, ∵a5+a7=26

∴a6=13,



∴an=a3+(n﹣3)d=2n+1;

(Ⅱ)由(1)可知







26.【答案】

【解析】解:(1)由已知得:f′(x)=



要使函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,只需

结合 a>0 可知,只需 a ,x∈[1,+∞)即可.

易知,此时

=1,所以只需 a≥1 即可.

≥0 在[1,+∞)上恒成立.

(2)结合(1),令 f′(x)=

=0 得 .

当 a≥1 时,由(1)知,函数 f(x)在[1,e]上递增,所以 f(x)min=f(1)=0;



时,

,此时在[1, )上 f′(x)<0,在

上 f′(x)>0,

所以此时 f(x)在

上递减,在

上递增,所以 f(x)min=f( )=1﹣lna﹣ ;



时, ,故此时 f′(x)<0 在[1,e]上恒成立,所以 f(x)在[1,e]上递减,

所以 f(x)min=f(e)=



【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路,以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数 在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法.

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