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广东省台山市2013-2014学年度第一学期高一数学期末学业水平调研测试


2013-2014 学年度第一学期期末学业水平调研测试

高一 数学
(必修 1、必修 2 的第 1、2、3 章)
说明:1.本试卷共 4 页,考试时间为 120 分钟,满分 150 分; 2.各题均在答题卷指定位置上作答,否则无效;考试结束时,只交回答 题卷.

第Ⅰ卷(选择题部分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个选项 中只有一个是正确的,请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1.已知集合 A={参加校运会的运动员},集合 B={参加校运会的男运动员},集 合 C={参加校运会的女运动员},则下列关系正确的是 A. A ? C B. B ? A C. A ? B D. B ? C ? A

2.直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是 A. 450 B. 600 C. 1200 D. 1350

3.下列函数中,是奇函数的是
2 A. y ? x

B. y ? ln x

C. y ? 2

x

D. y ? x

1 2

4.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的 是 A.若 m // n , n ? ? ,则 m // ? B.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? C.若 m ? ? , n ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ? 5.函数 f ( x) ? 2 x ? 8 的零点是 A.0 B.2 C.3 D.8

高一数学试卷

第1页

(共 9 页)

6.某几何体的三视图如图所示,它的体积为

3 3 正视图 侧视图

1

2 俯视图

A.

5 3

B.5

C.10

D.15

? 1 x 1 ?( ) ,x ? 0, f ( x ) ? 7.已知函数 若 f ( x) ? ,则 x ? ? 2 2 ? ?log2 x,x ? 0,

A.1

B. ? 1

C.

2

D.1 或

2

8.如图所示,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,点 A ? ? ,点 B ? ? , AC ? l 于 C ,
BD ? l 于 D ,且 AC ? BD ? 1 ,直线 AB 与平面 ? 所成的角为 300 ,那么异面

直线 AB 与直线 l 所成的角是 A. 30 C. 60
0

?
l l B D

A C

B. 45

0

0

D.以上都不正确

?

9.在平面直角坐标系内,与点 A(1,2) 的距离为 1,与点 B(3,1) 的距离为 2 的直线 有 A.2 条 B.3 条 C .4 条 D.无数条

10.若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,那么下列函数中在 R 上是增函数的是 A. f ( x) B. f ( x ) C. f ( ? x ) D. ? f (? x)

高一数学试卷

第2页

(共 9 页)

第Ⅱ卷(非选择题部分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把下列各题的正确答案 填写在答题卷相应的位置上) 11.设集合 U ? {1,2,3,4,5,6} , M ? {1,3,5} , N ? {2,3,5} ,则 (CU M ) ? N ? .

12.已知 ?ABC 的顶点 A(1,0) , B(3,2) , C (?2,3) ,则 AB 边上的高所在的直线方 程是 13.函数 y ? lg .
1 的定义域是 1? x



14.用一个半径为 8cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的底面的半 径为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 15.(本小题满分 12 分) (1)设集合 A ? {x x ? 3 ? 2x ? 11 } , B ? {x
2x ? 5 ? x ? 3} ,求 A ? B ; 3

(2)求值: log2 3 ? log3 4 ? log2 6 ? log2 3 .

16. (本小题满分 12 分) 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1) , B(7,3) , C (4,5) , 求顶点 D 的坐标.

17. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正 方形, PA ? 面 ABCD , E 是 PC 上的点. (1)求证:面 PAC ? 面 EBD ; (2)若 AB ? 2 , PA ? 4 ,求点 A 到平面 PBD 的 距离.
B 高一数学试卷 第3页 (共 9 页) A E D P

C

18. (本小题满分 14 分) 某品牌时装店每天的租金、员工工资等固定成本为 1500 元,每件时装的进 价为 150 元,销售单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价(元) 日均销售量(件) 200 35 250 30 300 25 350 20 400 15 450 10 500 5

请根据以上数据作出分析,这个时装店怎样定价才能获得最大利润?

19. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱(底面是正三角形,侧棱与底面垂直 的三棱柱) , D 是 AC 的中点. (1)求证: B1C ∥面 A1 BD ; (2)若 B1C ? A1 B , AB ? 2 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

C1

C D

A1

A

B1
20. (本小题满分 14 分)

B

若函数 f ( x) ? ? x 2 ? 13在区间 [a, b] 上的最小值为 4a , 最大值为 4b , 求 [ a, b] .

2013-2014 学年度第一学期期末学业水平调研测试
高一数学试卷 第4页 (共 9 页)

高一数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) ADADC BCBAD

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. {2} 12. x ? y ? 1 ? 0 13. (??,1) 14. 4cm (没有单位给 3 分)

三、解答题: 15.解:(1)解不等式 x ? 3 ? 2 x ? 11 得 x ? 8
4 2x ? 5 ? x ? 3得 x ? 5 3 4 ∴ A ? {x x ? 8} , B ? {x x ? } 5 4 ∴ A ? B ? {x x ? 8} ? {x x ? } 5

解不等式

………4 分

? {x x ? 8}
(2)原式 log2 3 ?

………6 分 ………9 分

log2 4 6 ? log2 log2 3 3

? log2 4 ? log2 2
? 2 ?1

………11 分 ………12 分

?3

16.解:设平行四边形 ABCD 对角线的交点为 O( x0 , y0 ) ,点 D 的坐标为 D( x1 , y1 ) ………2 分 ∵点 O 是 AC 的中点 ∴ x0 ?
2?4 1? 5 ? 3 , y0 ? ? 3 ,即点 O 的坐标为 O(3,3) 2 2

………6 分 ………7 分

∴点 O 的坐标为 O(3,3) 又∵点 O 是 BD 的中点 ∴3 ?
7 ? x1 3 ? y1 ,3 ? ,解得 x1 ? ?1 , y1 ? 3 2 2

………11 分 ………12 分

∴顶点 D 的坐标为 D(?1,3) 17.(1)证明:∵ PA ? 面 ABCD , BD ? 面 ABCD
高一数学试卷 第5页 (共 9 页)

∴ PA ? BD ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ AC ? BD 又∵ PA ? AC ? A , PA ? 面 PAC , AC ? 面 PAC ∴ BD ? 面 PAC ∵ BD ? 面 EBD ∴面 PAC ? 面 EBD

………1 分

………2 分

………4 分

………6 分

(2)解:设 AC 、 BD 的交点为 O ,点 A 到平面 PBD 的距离为 d ,连接 OP 又(1)知 BD ? 面 PAC ,且 OP ? 面 PAC ∴ BD ? OP 在正方形 ABCD 中, AB ? 2 ∴ BD ? 2 2 , OA ? 2 在 ?PAO 中, PA ? 4 ∴ OP ? PA 2 ? OA 2 ? 4 2 ? ( 2 ) 2 ? 3 2 由 VP? ABD ? V A? PBD 得
1 1 S ?ABD ? PA ? S ?PBD ? d 3 3

………7 分

………9 分

………10 分 ………12 分

1 AB ? AD ? PA 2 ∴d ? 1 BD ? OP 2 1 ? 2? 2? 4 ? 2 1 ?2 2 ?3 2 2 4 ? 3
∴点 A 到平面 PBD 的距离等于
4 3

………14 分

(法二提示:过点 A 作 AF ? PO ,垂足为 F ,可以证 AO ? 面 PBD , 计算得 AF ?
4 ) 3

18.解:设销售单价为 x 元,每天获得的利润为 y 元,依题意知,销售单价每增
高一数学试卷 第6页 (共 9 页)

加 50 元,日均销售量就减少 5 件 ∴日均销售量为: 35 ?
1 ( x ? 200 ) 件 10

………2 分 ………4 分

? x ? 150 ? 由? ,得 150 ? x ? 550 1 35 ? ( x ? 200) ? 0 ? 10 ?

………6 分

∴ y ? [35 ?

1 ( x ? 200 )]( x ? 150 ) ? 1500 10

………10 分

x2 ?? ? 70x ? 9750 10
?? 1 ( x ? 350 ) 2 ? 2500 10

∴当 x ? 350 时, y 有最大值为 2500

………13 分

答:当时装店的销售单价定为 350 元时,就可以获得最大利润为 2500 元. ………14 分 19.(1)证明:连接 AB1 ,设 AB1 、 A1 B 的交点为 O ,连接 OD ∵正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 A1 B1 BA 是矩形 ∴ A1O ? OB 又∵ D 是 AC 的中点 ∴在 ?AB1C 中,有 OD ∥ B1C ∵ B1C ? 面 A1 BD , OD ? 面 A1 BD ∴ B1C ∥面 A1 BD (2)解:取 AB 的中点 E ,连接 B1 E ,设 B1 B ? x ∵ ?ABC 是正三角形,且 AB ? 2 ∴ CE ? AB , CE ? BC ? sin 600 ? 3 , S ?ABC ?
1 ? AB ? CE ? 3 2

………1 分

………3 分

………5 分

………7 分

在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? 面 ABC , A1 A ? 面 A1 B1 BA ∴面 ABC ? 面 A1 B1 BA ∵面 ABC ? 面 A1 B1 BA ? AB , CE ? 面 ABC
高一数学试卷 第7页 (共 9 页)

∴ CE ? 面 A1 B1 BA ∴ CE ? A1 B ………9 分

又∵ B1C ? A1 B , CE ? B1 E ? E , CE ? 面 B1CE , B1C ? 面 B1CE ∴ A1 B ? 面 B1CE ∴ A1 B ? B1 E ………10 分

在矩形 A1 B1 BA 中, ?B1 A1 B ? ?A1 BB1 ? ?BB1 E ? ?A1 BB1 ? 900 ∴ ?B1 A1 B ? ?BB1 E 又∵ ?A1 B1 B ? ?B1 BE ? 900 ∴ Rt?B1 A1 B ∽ Rt?BB1 E ∴

A1 B1 BB1 2 x ,即 ? ,解得 x ? 2 ? x 1 BB1 BE

………12 分

三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为:

VABC? A1B1C1 ? S ?ABC ? BB1 ? 3 ? 2 ? 6


………14
C D

C1

A1
O E B

A

B1

20.解:分三种情况讨论区间 [a, b] :
高一数学试卷 第8页 (共 9 页)

(1)当 0 ? a ? b 时, f ( x) 在区间 [a, b] 上单调递减

………1 分

?? a 2 ? 13 ? 4b ??① ? f (a) ? 4b ∴? ,即 ? 2 ? f (b) ? 4a ?? b ? 13 ? 4a ??②

①-②得 (b ? a)(b ? a ? 4) ? 0
由 a ? b 可得 b ? 4 ? a 代入① ,解得 a ? 1 a ? 3
?a ? 1 ∴? ?b ? 3 ?a ? 3 或 ? (舍去) ?b ? 1

………3 分 ………4 分

∴ [a, b] ? [1,3]

(2)当 a ? 0 ? b 时, f ( x) 在区间 [a,0] 上单调递增,在区间 [0, b] 上单调递减 ∴ f ( x) 在 x ? 0 处取最大值 4b ,在 x ? a 或 x ? b 处取最小值 4a ∴ f (0) ? 4b ,即 4b ? 13 ,解得 b ? 又∵ a ? 0 且 f (b) ? ?(
13 4

13 2 39 ) ? 13 ? ?0 4 16

∴ f ( x) 在 x ? a 处取最小值 4a ,即 ? a 2 ? 13 ? 4a 解得 a ? ?2 ? 17 或 a ? ?2 ? 17 (舍去) ∴ [a, b] ? [?2 ? 17 ,
13 ] 4

………8 分

(3)当 a ? b ? 0 时, f ( x) 在区间 [a, b] 上单调递增

?? a 2 ? 13 ? 4a ? f ( a ) ? 4a ∴? ,即 ? 2 ? f (b) ? 4b ?? b ? 13 ? 4b
根据韦达定理,方程 ? x 2 ? 4 x ? 13 ? 0 的两根异号 ∴故满足 a ? b ? 0 的区间不存在 综上所述, 可得所求区间 [a, b] 为 [1,3] 或 [?2 ? 17 ,
13 ] 4

………12 分 ………14 分

高一数学试卷

第9页

(共 9 页)


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