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2004-2005上期高二数学同步单元测试(六)--圆锥曲线方程单元测试(2)


2004- 上期高二数学同步单元测试( 2004-2005 上期高二数学同步单元测试(六)
—圆锥曲线方程单元测试题(2) 圆锥曲线方程单元测试题( 方程单元测试题
1.曲线|x―1|+|y―1|=1 所围成的图形的面积为( A.1 B.2 C.4 ) D. 2 )

2.直线 x+ay―a=0 与直线 ax―(2a―3)y―1=0 互相垂直,则实数 a 的值为( A.2 B.-3 或 1 C.2 或 0 D.1 或 0 3.下列四个命题中的真命题是( ) A.经过点 P ( x0,y 0 ) 的直线一定可以用方程 y y 0 = k ( x x0 ) 表示

B . 经 过 任 意 两 个 不 同 点 心 P ( x1,y1 ) , P2 ( x 2,y 2 ) 的 直 线 都 可 以 用 方 程 1

( y y 1 )( x 2 x1 ) = ( x x1 )( y 2 y 1 ) 表示
C.不经过原点的直线都可以用方程

x y + = 1 表示 a b

D.经过点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 4.圆 x 2 + y 2 4 x + 2 y + c = 0 与 y 轴交于 A,B 两点,圆心为 P,若∠APB=120°, 则实数 c 等于( A.1 ) B.-11

C.9

D.11

5.已知直线 l:y=x+m 与曲线 y = 1 x 2 有两个公共点,则实数 n 的取值范围是 ( ) A. (-2,2) B. (-1,1) C. [1,2 ] D. [ 2,2 ] )

6. 如果动点 P 是△ABC 所在平面上的点, S PBC = S PAB , 且 则点 P 的轨迹为 ( A.两条平行直线 C.∠BAC 的平分线 B.过点 B 的两条直线(除点 B) D.AC 边的中垂线

7.如果实数 x,y 满足等式 ( x 2) 2 + y 2 = 3 ,那么

y 的最大值是( x

)

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D. 3 )

8. 直线 ax+by+c=0 与圆 x 2 + y 2 = 1 相切, abc≠0, 且 则以|a|, |c|为长的三线段 |b|, (

A.可构成直角三角形 B.可构成锐角三角形 C.可构成钝角三角形 D.不能构成三角形 9.已知两点 A(2+x,2+y) ,B(y―4,6―x)关于点 C(1,-1)对称,则实数 x,y 的值分别为_____________________________. 10.设 a+b=2,则直线系 ax+by=1 恒过定点的坐标为___________________________.

1

11.若经过 A(-3,2)和 B(6,1)两点的直线与直线 x+3y-6=0 相交于点 M,则 点 M 分 AB 的比是______________________________________.
2 2 12.已知 P(1,2)为圆 x + y = 9 内一定点,过 P 作两条互相垂直的任意弦交圆于

B,C 两点,求 B,C 中点 M 的轨迹方程.

13.已知两圆 C1 : x 2 + y 2 = 9 , C 2 : ( x 4) 2 + ( y 6) 2 = 1 . (1)若两圆外切线相交于点 P,求点 P 的坐标; (2)求两圆外公切线的方程.

14.试在 x 轴上求点 A,直线 y=x 上求点 B,使△ABC 的周长最小,其中点 C 的坐标为(2, 1) .

15.已知 x+y+1=0,试求 ( x 1) + ( y 1) 的最小值.
2 2

16.设 a,b,c 都是整数,过圆 x 2 + y 2 = (3a + 1) 2 外一点 P (b 3 b,c 3 c ) 向圆引两条 切线,试证明:过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(所谓格点是指:横,纵坐标都 是整数的点) .

2

参考答案 1.B (点评:曲线围成一个以(1,1)为中心的正方形) 2.C (点评:当 a=0 时,一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在,此时它们 垂直;当 a≠0 时,利用它们的斜率之积为-1 可求得 a=2) 3.B (点评:直线的点斜式,斜截式均不能表示没有斜率的直线;而直线的截距式 式不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线) 4 . C ( 点 评 : 作 P 在 y 轴 上 的 垂 足 Q , 则 ∠ APQ=60 ° , 于 是 圆 半 径 为

r =| AP |= | AQ | 2 + | PQ | 2 = 4 ,而由方程得, r 2 = c 5 ,从而 c―5=4,c=9)
5.C (点评:曲线 y = 1 x 2 表示单位圆的上半部分,画出直线 1 与曲线在同一坐 标系中的图像,可观察出仅当直线 1 在过点(―1,0)与直线与圆的上切线之间时,直线 1 与曲线有两个交点,当直线 1 过点(―1,0)时,m=1;当直线 1 为圆的上切线时,m = (注: m = 2 时,直线 1 为下切线) 6.B (点评:轨迹为过点 B 与 AC 的中点的连线的直线或过点 B 且平行 AC 的直线 (均除去点 B) ) 7.D (点评:

2

y 表示原点与圆上动点(x,y)连线所在直线的斜率,当过原点的直 x

线与圆相切时(倾斜角为锐角) ,斜率最大,设切线方程为 y=kx,利用原点到切线的距离等 于圆的半径可求得 k =

3)
2 2 2

8.A (点评:由圆心到直线的距离等于圆的半径可得, a + b = c ) 9.x=7,y=―3(点评:利用中点坐标公式即可得 x+y=4,x―y=10) 10. , (点评:由 ax+by=1 得 2ax+2by=a+b,利用待定系数法即可求得定点的坐 标) 11. (点评: 1:1 设所求的比值为λ, 则由定比分点坐标公式可得 M 将其代入已知直线方程,即可求得λ=1) 12.作出示意图如图 30 所示,连 PM,OM,OC,设 M(x,y) .

1 1 2 2

3 + 6λ 2 + λ , , 1+ λ 1+ λ

3

则 在 Rt △ OMC 中 , | OC | =| OM | + | MC | , 又 | MC |=
2 2 2

1 | BC |=| PM | , 故 2

9 = x 2 + y 2 + ( x 1) 2 + ( y 2) 2 ,化简整理即得 x 2 + y 2 x 2 y 2 = 0 ,它就是所求的
点 M 的轨迹方程. 13. (1)如图 31,设 A,B 为两圆的外公切线与圆的切点,连 C1 A ,C 2 B ,连 C1C 2 并 延长交 AB 的延长线于点 P,则 AC1 / BC 2 ,于是有 所成的比为

| PC1 | BC1 1 = = ,从而 P 外分 C 2 C1 | PC 2 | AC 2 3

1 ,由线段的定比分点坐标公式得 P(6,9) . 3

(2)由(1)可设所求的外公切线的方程为 y―9=k(x-6) ,由点 C1 到其距离为 3 得

k = 6 ± 2 3 ,于是,所求外公切线的方程为 y 9 = (6 ± 2 3 )( x 6) .
14. A , , B , (点评:点 C(2,1)关于 x 轴的对称点为 C1 ( 2, 1) ,关于 0 直 线 的 对 称 点 为

5 3

5 5 4 4

y=x

C 2 (1,) 2

.





ABC









CB + BA + AC = C1 B + BA + AC 2 ≥ C1C 2 ,当且仅当 C1 ,B,A, C 2 共线时,取等号,
故△ABC 的周长的最小值为 C1C 2 ,直线 C1C 2 的方程为 3x+y- 5=0,它与 x 轴交于

5 5 5 ) A , ,与直线 y=x 交于 B , . 0 3 4 4
15.

3 2 (点评:问题等价于求定点(1,1)到直线 x+y+1=0 的距离) 2 1 1 3 (b b), (c 3 c) ,以 OP 为直径的圆的方程为 2 2
2

16.线段 OP 的中点的坐标为

2 1 3 1 3 1 3 3 (1) x 2 (b b) + y 2 (c c) = (b b) + 2 (c c) .

2

[

]

2

4

将 x + y = (3a + 1) 代入(1)得
2 2 2

(b 3 b) x + (c 3 c) y = (3a + 1) 2 .
它就是过两切点的直线方程,如果有在格点. 因 b 3 b = b(b 1)(b + 1) ,它为三个连续数的乘积,显然能被 3 整除, 同理, c c 亦能被 3 整除.
3

于是 (3a + 1) 2 能被 3 整除,从而 3a+1 也必须能被 3 整除,显然这是不可能的,从而, 原命题得证.

5


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