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二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与 y 轴 的交点 y ? ax2 y ? ax2 ? k y ? a(x ? h)2 当a ? 0时 ;开口向上; 在对称轴的左侧 y 随 x 的 (0,0) x ? 0 (0,0) 增大而减小,在对称轴的 右侧 y 随 x 的增大而增 大。 (0,c) x ? 0 (0,k) (? h, 0) x ? ?h (0,ah2) y ? a(x ? h)2 ? k (? h,k)x ? ?h (0,ah2 ? k) 当a ? 0时 ; 开 口 向 下;在对称轴的左侧 y 随 y ? ax2 ? bx ? c x 的增大而增大,在对称 (? b 4ac ? b2 , ) 轴的右侧 y 随 x 的增大而 2a 4a x?? b 2a (0,c) 减小。 2.抛物线的平移法则: (1)抛物线 y ? ax2 ? k 的图像是由抛物线 y ? ax2 的图像平移 k 个单位而得到 的。当 k ? 0 时向上平移;当 k ? 0 时向下平移。 (2)抛物线 y ? a(x ? h)2 的图像是由抛物线 y ? ax2 的图像平移 h 个单位而得到 的。当 h ? 0 时向左平移;当 h ? 0 时向右平移。 (3)抛物线的 y ? a(x ? h)2 ? k 图像是由抛物线 y ? ax2 的图像上下平移 k 个单位, 左右平移 h 个单位而得到的。当 k ? 0 时向上平移;当 k ? 0 时向下平移;当 h ? 0 时 向左平移;当 h ? 0 时向右平移。 3.二次函数的最值公式: 形如 y ? ax2 ? bx ? c 的二次函数。当a ? 0时 ,图像有最低点,函数有最小值 4ac ? b2 4ac ? b2 y最小值 ? 4a ; 当a ? 0时 ,图像有最高点,函数有最大值, y最大值 ? 4a ; 4.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴的交点坐标是(0,c) 5.抛物线的开口大小是由 a 决定的, a 越大开口越小。 6.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的最值问题: (1)自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。 (2)自变量的取值范围不是一切实数: 自变量的取值范围不是一切实数时,应当抓住对称轴 x ? ? b 2a ,把他与取值范围相 比较,再进行求最值。 6.二次函数与一元二次方程的关系: (1)抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴的交点坐标的横坐标方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根。 (2)抛物线与 x 轴的交点个数是由 ? ? b2 ? 4ac 决定的: 当 ? ? 0 时抛物线与 x 轴有两个交点;当 ? ? 0 抛物线与 x 轴有一个交点;当 ? ? 0 时抛物线与 x 轴没有点。 ? ? 0 时抛物线与 x 轴有交点。(此定理的逆定理也成 立。) 7.二次函数的三种常用形式: (1)一般式: y ? a(x ? h)2 ? k (2)顶点式: y ? ax2 ? bx ? c (3)两根式: y ? a(x ? x1)( x ? x2 ) 8.一元二次方程的解法: (1)直接开平方法;(2)配方法;(3)公式法;(4)因式分解法;(5)图像法。

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