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文科立体几何知识点、方法总结高三复习


立体几何知识点整理(文科)
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行
l α

l m α

l // m ? ? m ? ? ? ? l // ? l ?? ? ?

方法二:用面面平行实现。

符号表示:
α
l A

β

l

? // ? ? ? ? l // ? l ? ??
方法三:用平面法向量实现。 若 n 为平面 ? 的一个法向

2. 线面相交

α

符号表示: 3. 线在面内
α
α l

n

l

量, n?l 且 l ?? ,则

l // ? 。
3. 面面平行:

符号表示:

方法一:用线线平行实现。

二.平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。
l ?
β α l' m' m l

? ? l?? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

l // ?

? ? ? ? ? ? // ? l , m ? ?且相交 ? l ' , m' ? ?且相交? ? l // l ' m // m'
方法二:用线面平行实现。

?

m

方法二:用面面平行实现。
l β γ α m

β α

m

l

l // ? m // ?

? ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交? ?

? // ? ? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。

方法三:用线面垂直实现。 若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m 。 方法四:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 共线且 l、 m 不重合, 则 l // m 。

l α A C B

l ? AC ? ? l ? AB ? ??l ?? AC ? AB ? A? AC, AB ? ? ? ?

2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。
1 / 12

方法二:用面面垂直实现。

β

l m

? ?? ? ? ? ?? ? m ??l ?? l ? m, l ? ? ? ?

余弦定理:

a2 ? b2 ? c2 cos? ? 2ab
(计算结果可能是其补角)

a θ b

c

α
2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。
β l

方法二:向量法。转化为向量的夹角
C θ A B

(计算结果可能是其补角):

l ??? ??? ? ? l ? ??

cos? ?

AB ? AC AB ? AC

α

(二) 线面角 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。
l m α

(1) 定义:直线 l 上任取一点 P (交点除外) ,作 PO ? 则 AO 为斜线 PA 在面 ? 内 ? 于 O,连结 AO,

?PAO (图中 ? )为直线 l 与面 ? 所成的角。 的射影,
P A θ

l ?? ? ??l ?m m ? ??
α

O

方法二:三垂线定理及其逆定理。

P A O

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA l ?? ? ?

(2)范围: [0?,90?] 当 ? ? 0? 时, l ? ? 或 l // ? 当 ? ? 90? 时, l ? ? (3)求法:

α

l

方法三:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 的数量积为 0,则 l ? m 。 三.夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围: (0?,90?] (2)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。

方法一:定义法。 步骤 1:作出线面角,并证明。 步骤 2:解三角形,求出线面角。

(三) 二面角及其平面角
P θ O

(1)定义: 在棱 l 上取一点 P, 两个半平面内分别作 l 的垂 线(射线) m、 n,则射线 m 和 n 的夹角 ? 为二面角

n α A

步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)

? —l— ? 的平面角。
2 / 12

? ? ? m P n l

四.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。
P

(2)范围: [0?,180?] (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1: 作出二面角的平面角(三垂线定理), 并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤 1: 如图, 若平面 POA 同时垂直于平面 ?和? , 则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。 步骤 2:解三角形,求出二面角。
β P θ α O A
?

? A

O

步骤 1: 过点 P 作 PO ? ? 于 O, 线段 PO 即为所求。 步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等 体积法和等面积法;换点法) 2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。
m

n

如图, m 和 n 为两条异面直线, n ? ? 且

m // ? , 则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直
线 m 与平面 ? 之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

n1 θ

n2

方法三:公式法。
B c a A m

d n ? b D m'

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 步骤一:计算 cos ? n1 ? n2 ?? ?? ?? ? n1 ? n2
步骤二:判断 ? 与 ? n1 ? n2 ? 的关系,可能相等或 者互补。

C

如图,AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段,

?? ?? ?

m // m' ,则异面直线 m 和 n 之间的距离为:

d ? c 2 ? a 2 ? b2 ? 2abcos?

高考题典例 考点 1 点到平面的距离
3 / 12

例 1 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离. A F C O B 考点 2 异面直线的距离 例 2 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面. E、D 分别为 D

A1

C1 B1

BC 、AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离.

考点 3 直线到平面的距离 例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA1 的中点,求 BD 到平面 GB1 D1 的距离

D1

O1 B1

C1

A1
H G D A 考点 4 异面直线所成的角 例 4 如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过
6

C O B

A
Rt△ AOB

以直线 AO 为轴旋转得到, 且二面角 B ? AO ? C 的直二面角.D 是 AB 的 (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.

D

中点.

O
考点 5 直线和平面所成的角
4

E

B

C

例 5. 四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD .已知∠ABC ? 45? , AB ? 2 ,
BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
S

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.
C D A B

考点 6 二面角 例 6.如图,已知直二面角 ? ? PQ ? ? , A ? PQ , B ? ? , C ? ? , CA ? CB , (I)证明 BC ⊥ PQ ?BAP ? 45? ,直线 CA 和平面 ? 所成的角为 30? . (II)求二面角 B ? AC ? P 的大小.

? C
P A B Q

?
D1 C1 B1

考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 7. 如图,已知 ABCD ? A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体, 点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE ? FC1 ? 1 . (1)求证: E,B,F,D1 四点共面;

A1

F M D H
G

E A B
垂足为 H ,求

2 (2)若点 G 在 BC 上, BG ? ,点 M 在 BB1 上, GM ⊥ BF , 3 C
证: EM ⊥ 平面 BCC1B1 ;

(3)用 ? 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1B1 所成的锐二面角的大小,求 tan ?

<一>常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径: (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线 平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 2.证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面 面平行. 3.证明平面与平面平行的思考途径: (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面 垂直. 4.证明直线与直线的垂直的思考途径: (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的 射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
5

5.证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相 交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转 化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6.证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 7.夹角公式 :设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

.

r r r r | a ?b | r ? 8.异面直线所成角: cos ? ?| cos a, b | = r | a |?| b |

| x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 |
2 1

x ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 r r o o b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量) (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a, ??? ? ?? AB ? m ?? ? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). 9.直线 AB 与平面所成角: ? ? arc sin ??? | AB || m |
10、空间四点 A、B、C、P 共面 ? OP ? xOA ? yOB ? zOC ,且 x + y + z = 1 11.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 .

12.三余弦定理:设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所 13.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 . ??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? 14.异面直线间的距离: d ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, |n| d 为 l1 , l2 间的距离). ??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? 15.点 B 到平面 ? 的距离: d ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). |n| ? ? ? 2 ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 16.三个向量和的平方公式: ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a
17. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、? 3 ,则有
2 l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos 2 ?2 ? cos 2 ?3 ?1 ? sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? sin 2 ?3 ? 2 .

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

S' ' 18. 面积射影定理 S ? .(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、S , 它们所在平面所成锐二面角的 ? ). cos?
19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组 合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的 外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径 为

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

20. 求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、体积法) 〈二〉温馨提示: 1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们各自的取值范围及义? ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次
6

.

② 直线的倾斜角、 到

的角、 与

的夹角的取值范围依次是 .



③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是 〈三〉解题思路: 1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线 ∥ 线 ? ? ? 线 ∥ 面 ? ? ? 面 ∥ 面 判 定 性 质 ? ? ? ? 线 ⊥ 线 ? ? ? 线 ⊥ 面 ? ? ? 面 ⊥ 面 ? ? ? ? 线 ∥ 线 ? ? ? 线 ⊥ 面 ? ? ? 面 ∥ 面

a b

线面平行的判定: 线面平行的性质:

a ∥ b , b ? 面 ? , a ? ? ? a ∥ 面 ?

??

? ∥ 面 ? , ? ? 面 ? , ? ? ? ? b ? a ∥ b
三垂线定理(及逆定理) :

P A ⊥ 面 ? , A O 为 P O 在 ? 内 射 影 , a ? 面 ? , 则

P

??
O a

a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO
线面垂直:
a

O

a ⊥ b , a ⊥ c , b , c ? ? , b ? c ? O ? a ⊥ ?
面面垂直:

α

b

c

a ⊥ 面 ? , a ? 面 ? ? ? ⊥ ?
α a

l
面 ? ⊥ 面 ? , ? ? ? ? l , aaa ? ? , ⊥ l ? ⊥ ?
7

β

a

b

a ⊥ 面 ? , b ⊥ 面∥ ? ? ab 面 ? ⊥ a , 面 ? ⊥ a ? ? ∥ ?
2、三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ ,0°<θ ≤90°

??

(2)直线与平面所成的角θ ,0°≤θ ≤90°
o ? = 0 时 , b ∥ ? 或 b ? ?

o o ( 3 ) 二 面 角 : 二 面 角 ? ? l ? ? 的 平 面 角 ?? , 01 ? ? 8 0

(三垂线定理法:A∈α 作或证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为所 求。 ) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)

高中数学立体几何 空间距离
1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线;两条异面直线的公垂线在这两 条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.

8

2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面 的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的 长叫做这两个平行平面的距离. 题型一:两条异面直线间的距离 【例 1】 如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:EF 是 AB 和 CD 的公垂线; (2)求 AB 和 CD 间的距离; 【规范解答】 (1)证明:连结 AF,BF,由已知可得 AF=BF. 又因为 AE=BE,所以 FE⊥AB 交 AB 于 E. 同理 EF⊥DC 交 DC 于点 F. 所以 EF 是 AB 和 CD 的公垂线.

3 1 a ,BE= a , 2 2 2 1 a. 所以 EF2=BF2-BE2= a 2,即 EF= 2 2
(2)在 Rt△BEF 中,BF=

例 1 题图

2 a. 2 【例 2】 如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1,求异面直线 AB、CD 之间的距离. 设 AB 中点为 E,连 CE、ED. ∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理 DE⊥AB. ∴AB⊥平面 CED.设 CD 的中点为 F,连 EF,则 AB⊥EF. 同理可证 CD⊥EF.∴EF 是异面直线 AB、CD 的距离.
由(1)知 EF 是 AB、CD 的公垂线段,所以 AB 和 CD 间的距离为

3 1 ∵CE= ,∴CF=FD= ,∠EFC=90°,EF= 2 2
∴AB、CD 的距离是

2 ? 3? 1? 2 ? ? ?? . ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?

2

例 2 题图

2 . 2 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法:
(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线,求出公垂线段的长度. (2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行,可以转化为求直线与平面的距离. (3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可以转化为求两平行平面的距离.

9

题型二:两条异面直线间的距离 【例 3】 如图(1),正四面体 ABCD 的棱长为 1,求:A 到平面 BCD 的距离; 过 A 作 AO⊥平面 BCD 于 O,连 BO 并延长与 CD 相交于 E,连 AE. ∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O 是△BCD 的外心.又 BD=BC=CD, ∴O 是△BCD 的中心,∴BO=

2 3 3 2 ? BE= ? . 3 2 3 3
2 2 2

例 3 题图 ? 3? 6 6 ? 又 AB=1,且∠AOB=90°,∴AO= AB ? BO ? 1 ? ? .∴A 到平面 BCD 的距离是 . ? 3 ? ? 3 3 ? ? 【例4】 在 梯 形 ABCD 中 ,AD ∥ BC, ∠ ABC=

5 ? ,AB=a,AD=3a 且 sin ∠ ADC= , 又 PA ⊥平 面 5 2

ABCD,PA=a, 求:(1)二面角 P—CD—A 的大小; (2)点 A 到平面 PBC 的距离. 【规范解答】 (1)作 AF⊥DC 于 F,连结 PF, ∵AP⊥平面 ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC, ∴∠PFA 就是二面角 P—CD—A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin

3a 5 ,AD=3a,∴AF= , 5 5

PA a 5 5 5 ? ? ,∴∠PFA=arc tan . AF 3a 3 3 (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC,又 BC⊥AB, ∴BC⊥平面 PAB,作 AH⊥PB,则 BC⊥AH,∴AH⊥平面 PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,
在 Rt△PAF 中 tan∠PFA= ∴PB= 2 a,∴AH= 【例5】

2 a. 2

如图,所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 解法 1: (Ⅰ)过 E 作 EH//BC 交 CC1 于 H,则 CH=BE=1,EH//AD,且 EH=AD. ∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. ? BF ? BD ? DF ? 2 6. (Ⅱ)延长 C1E 与 CB 交于 G,连 AG, 则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG. 过 C 作 CM⊥AG,垂足为 M,连 C1M, 由三垂线定理可知 AG⊥C1M.由于 AG⊥面 C1MC, 且 AG ? 面 AEC1F,所以平面 AEC1F⊥面 C1MC. 在 Rt△C1CM 中,作 CQ⊥MC1,垂足为 Q,则 CQ 的长即为 C 到面 AEC1F 的距离.
2 2



EB BG ? 可得, BG ? 1, 从而AG ? CC1 CG

AB 2 ? BG 2 ? 17. 4 17 ? 12 17 ,

由?GAB ? ?MCG知, CM ? 3 cos MCG ? 3 cosGAB ? 3 ? CM ? CC1 ? MC1 3? 12 17 122 17 ? 4 33 . 11

? CQ ?

32 ?

10

解法 2: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(2,4,0) , A(2,0,0) ,C(0,4,0) ,E(2,4,1) ,C1(0,4,3).设 F(0,0,z). ∵AEC1F 为平行四边形,

?由AEC1 F为平行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为面 AEC1F 的法向量, 显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)

? x ? 1, ? ?4 y ? 1 ? 0, ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ? 由? 得? 即? ?? 1 ? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . ? ?n1 ? AF ? 0, ? 4 ? ???? ? ?? ? CC1 ? n1 4 33 ? ?? ? ? 又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为 a,则 cos ? ? ???? . 33 | CC1 | ? | n1 |
∴C 到平面 AEC1F 的距离为 d ?| CC1 | cos? ? 3 ? 【例6】

4 33 4 33 ? . 33 11

正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8,对角线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的中点。

(1)求点 B1 到直线 AC 的距离.(2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离. 解: (1)连结 BD, B1 D ,由三垂线 定理可得: B1 D ? AC , 所以 B1 D 就是 B1 点到直线 AC 的距离。 在 Rt?B1 BD 中 BB1 ?

A1

B1

C1

B1C 2 ? BC 2 ? 10 2 ? 8 2 ? 6, BD ? 4 3 .
A D B C

? B1 D ?

BD 2 ? B1 B 2 ? 2 21 .

(2)因为 AC 与平面 BD C1 交于AC的中点D, 设 B1C ? BC1 ? E ,则 AB1 //DE,所以 AB1 //平面 C1 BD , 所以 AB1 到平面 BD C1 的距离等于A点到平面 BD C1 的距离,等于C点到平面 BD C1 的距离,也就等于三棱 锥 C ? BDC1 的高, , ?VC?B D C ? VC1 ?B D C 1

1 1 12 13 12 13 ? hS ?BDC1 ? S ?BDC CC1 ,? h ? ,即直线 AB1 到平面 BD C1 的距离是 . 3 3 13 13
【解后归纳】 求空间距离注意三点: 1.常规遵循一作二证三计算的步骤; 2.多用转化的思想求线面和面面距离; 3.体积法是一种很好的求空间距离的方法. 【范例 4】如图,在长方体 AC1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为 解析:法 1
A
11

D1 B1

C1

? . 4

A1 D E

C B

(1)∵AE⊥面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E (2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ACD1 中,AC=CD1= 5 ,AD1= 2 , 故 S ?AD1C ?

1 1 3 1 1 ? 2 ? 5 ? ? , 而S ?ACE ? ? AE ? BC ? . 2 2 2 2 2
1 1 1 3 1 S?AEC ? DD1 ? S?AD1C ? h,? ? 1 ? ? h,? h ? . 3 3 2 2 3
D1 A1 B1 D A
H

?VD1 ? AEC ?

(3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE, ∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2-x

C1

在Rt ?D1 DH中,? ?DHD1 ?

?
4
2

,? DH ? 1.
C E B

? 在Rt ?ADE中, DE ? 1 ? x , ? 在Rt ?DHE中, EH ? x ,
在Rt?DHC中CH ? ?x ? 3 ? 3 , 在Rt?CBE中CE ? x 2 ? 4 x ? 5.

x 2 ? 4 x ? 5 ? x ? 2 ? 3.

? AE ? 2 ? 3时, 二面角D1 ? EC ? D的大小为 . 4

?

12


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