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4-3三角函数的图象和性质-版块1~2.题库.学生


好学者智,善思者康

400-810-2680

三角函数的图象和性质

知识框架
正 弦 函 数
解析式: y ? sin x, x ?R 图象:正弦曲线,见附图1 定义域: R ;值域: [?1,1] ;周期: 2π ; 性质 奇偶性:奇函数; 单调增区间: [?π / 2 ? 2kπ , π / 2 ? 2kπ](k ?Z) ; 单调减区间: [π / 2 ? 2kπ , 3π / 2 ? 2kπ](k ?Z) .

三 角 函 数 ( 二 )

余 弦 函 数

解析式: y ? cos x, x ? R 图象:余弦曲线,见附图 2 定义域: R ;值域: [?1, 1] ;周期: 2π ; 性质 奇偶性:偶函数; 单调增区间: [(2k ? 1)π , 2(k ? 1)π](k ?Z) ; 单调减区间: [2kπ , (2k ? 1)π](k ?Z) .

正 切 函 数

解析式: y ? tan x, x ? R ,且 x ? kπ ? π / 2, k ?Z 图象:正切曲线,见附图3 定义域: x x ? π / 2 ? kπ, k ? Z ;值域: (??, ??) ; 性质 周期: π ;奇偶性:奇函数; 单调增区间: (?π / 2 ? kπ , π / 2 ? kπ)(k ?Z)

?

?

正 弦 型 函 数

解析式: y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ?,? 都为常数) 图象:由正弦函数图象经过适当的平移和横纵坐标的伸缩变换得到 周期: T ? 2π / ? ;频率: f ? 1/ T ? ? / 2π 性质 初相: ? ; 值域: [? A , A ] ;

y
y

-2? -?
O
附图 1

2? ?

x
-? /2 ? /2 O ? 3? /2

-3? /2

-?

x

y
-? -2?
O ? 2?

x

附图 3

附图 2

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高考要求
要求层次 重难点 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画 法 会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

y ? sin x , y ? cos x ,
C

y ? tan x 的图象和性质

y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,理解 A, ?, ? 的物理
函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 图象 三角函数 用三角函数的图象解决一 些简单的实际问题 三角函数的定义域和值域
C

意 义 , 掌 握 由 函 数 y ? sin x 的 图 象 到 函 数

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的变换原理和方法
B B

三角函数的性质

C

掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对 称中心 掌握三角函数的定义域、值域的求法 掌握三角函数的奇偶性与单调性,并能应用它 们解决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化 为 y ? A sin(? x ? ? ) 的三角函数的性质

三角函数的图象和性质的 应用

C

掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区 间的求解及其应用

例题精讲
三角函数的图象是高考的热点之一,重点考查已知图象求解析式,函数的图象变换及对 称问题,利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题,多为中档题. 板块一:三角函数的图象

(一) 知识内容
1.三角函数的图象
y
y

-2? -?
O ?

2?

x
-? /2 ? /2 O ? 3? /2

y=sinx
x

-3? /2

-?

x

y
-? -2?
O ? 2?

x

y=tanx y=cosx <教师备案>会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象,并能够在此基础上利用诱 导公式画出余弦函数和余切函数的图象.
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2.函数 y ? A sin ?? x ? ? ?

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? A ? 0, ? ? 0, x ? R ? 的图象的作法――五点法


①确定函数的最小正周期 T ? ②令 ? x ? ? =0、

π 3π ? 1 π 1 1 3π 、π、 、 2π ,得 x ? ? 、 ( ? ? ) 、 (π ? ? ) 、 ( ? ? ) 、 2 2 ? ? 2 ? ? 2 1 ? 1 π 1 1 3π 于是得到五个关键点 (? , 0) 、 ( ? ? ),1) 、 (π ? ? ), 0) 、 ( ? ? ), ?1) 、 (2π ? ? ) , ( ( ( ? ? ? 2 ? ? 2 1 ( (2π ? ? ), 0) ;

?



?

③描点作图,先作出函数在一个周期内的图象,然后根据函数的周期性,把函数在一个周期 内的图象向左、右扩展,得到函数 y ? A sin ?? x ? ? ? 3. y ? A sin ?? x ? ? ?

? A ? 0, ? ? 0, x ? R ? 的图象.

? A ? 0, ? ? 0, x ? R ? 的图象 ? A ? 0, ? ? 0, x ? R ? 的图象可以用下面的方法得到:先把 y ? sin x

函数 y ? A sin ?? x ? ? ?

的图象上所有点向左 (? ? 0) 或向右 (? ? 0) 平行移动 | ? | 个单位; 再把所得各点的横坐标 缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1) 到原来的

1 倍(纵坐标不变) ;再把所得的各点的纵坐标伸长 ?

(横坐标不变)从而得到 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象. , 当 ( A ? 1) 或缩短 (0 ? A ? 1) 到原来的 A 倍 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表示一个振动量时: A 叫做振幅;T 叫做周期; 叫做相位, ? 叫做初相. 上面是一种函数的平移缩放的过程,可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角 函数.下面把这个过程分解一下: (1)相位变换 要得到函数 y ? sin( x ? ? )(? ? 0) 的图象,可以令 x ? x ? ? ,也就是原来的 x 变成了现在的

1 叫做频率;? x ? ? T

x ? ? ,相当于 x 减小了 ? (? ? 0) ,即可以看做是把 y ? sin x 的图象上的各点向左 (? ? 0) 或
向右 (? ? 0) 平行移动 | ? | 个单位而得到的.这种由 y ? sin x 的图象变换为 y ? sin( x ? ? ) 的 图象的变换,使相位由 x 变为 x ? ? ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换. (2)周期变换 要得到函数 y ? sin ? x(? ? 0, ? ? 1) 的图象,令 x ? ?x ,即现在的 x 缩小到了原来的 ? 倍, 就可以看做是把 y ? sin x 的图象上的各点的横坐标缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1) 到原来的

2π 1 倍 (纵坐标不变) 得到, y ? sin x 的图象变换为 y ? sin ? x 的图象, 由 其周期由 2π 变为 , ? ?
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这种变换叫周期变换.周期变换是一种横向的伸缩. (3)振幅变换 要得到 y ? A sin x( A ? 0, 且A ? 1) 的图象,令 y ?

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y ,即相当于 y 变为原来的 A 倍,也就是 A

把 y ? sin x 的图象上的各点的纵坐标伸长 ( A ? 1) 或缩短 (0 ? A ? 1) 到原来的 A 倍 (横坐标不 变)而得到的.这种变换叫做振幅变换.振幅变换是一种纵向的伸缩. 【说明】本题的所有变换都是针对 x 和 y 来的,也就是说所有的转换都是用在 x 和 y 身上的, 他们的系数也不包括在内.例如 y ? A sin ?? x ? ? ?

? A ? 0, ? ? 0, x ? R ? 的图象,如果先把
1 倍(纵坐标不变)变成 ?

y ? sin x 各点的横坐标缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1) 到原来的

y ? sin ? x ,再把所得的各点的纵坐标伸长 ( A ? 1) 或缩短 (0 ? A ? 1) 到原来的 A 倍(横坐标
不变) ,得到 y ? A sin ? x ,而最后才所有点向左 (? ? 0) 或向右 (? ? 0) 平行移动 | ? | 个单位, 这样得到就是 y ? A sin ? ( x ? ? ) ,而不是 y ? A sin(? x ? ? ) .希望大家能够从中理解“坐标 变换是针对 x 和 y 做的” 这句话的意义.

(二)典例分析
? 4π ? 【例1】 ⑴(2009 年全国 I)如果函数 y ? 3cos ? 2 x ? ? ? 的图象关于点 ? , ? 中心对称,那么 ? 的最 0 ? 3 ?

小值为( A.
π 6

) B.
π 4

C.

π 3

D.

π 2
?x ?2 3π ? ? ( x ? [0 , 2π]) 的图象和直 2 ?

⑵(2008 浙江卷 5)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos ? ?
1 线 y ? 的交点个数是( 2 A.0 B.1

) C.2 D.4

【变式】 函 数 f ( x)? As i n ( x? ? ) A ? (?
f (11) ?

0? ? 的 ) 分 图 象 如 下 图 所 示 , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … , 0部

【变式】 方程 sin 2 x ?

1 在 [?2π , 2π] 内解的个数为 2



【变式】 如图,方程 sin 2x ? sin x 在区间 (0 , 2π) 内解的个数是(

)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

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π? ? 【例2】 已 知 函 数 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? , x ? R , 若 有 10 个 互 不 相 等 的 正 数 xi 满 足 f ( xi ) ? 2, 且 6? ?
xi ? 10π (i ? 1 , 2 , 3? ? , 1 ,求 x1 ? x2 ? ??? ? x10 的值 ? 0)

【变式】 ⑴求方程 lg x ? sin x ? 0 的解的个数;

⑵求方程 100sin x ? x 的解的个数.

【变式】 函数 y ? x 2 ? x 与 y ? cos(10πx) 的图象交点有

个.

【例3】

(2006 年-辽宁)
1 1 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,求 f ( x) 的值域. 2 2

【变式】 函数 y ? cos(sin x) 的值域为_______
? π π? 【变式】 ⑴求函数 y ? log2 (1 ? sin x) ? log 2 (1 ? sin x) , x ? ? ? , ? 的值域. ? 6 4?

⑵求函数 y ? .

3 ? sin 2 x ( x ? kπ , k ?Z) 的值域. sin 2 x

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【变式】 y ?
(1 ? sin x)(3 ? sin x) 的最值及对应的 x 的集合 2 ? sin x

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【例4】 已知正弦曲线 y ? Asin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 2π) 上的一个最高点是 (2 ,

2) , 由这个最

高点到相邻的最低点,曲线与 x 轴相交于点 (6 , 0) ,试求这个函数的解析式.

π 【变式】 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? ) 的图象在 y 轴上的截距为 1 , 它在 y 轴右侧 2 的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 , 2) 和 ( x0 ? 3π , ? 2) .

⑴求 f ( x) 的解析式; ⑵用列表作图的方法画出函数 y ? f ( x) 在长度为一个周期的闭区间上的图象.

【例5】 如图,是函数 y ? Asin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0) , ? ? π 的图象的一部分,由图中条件写出函数

解析式.

y
5 5? ? O ? 4 2

x

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【变式】 右图是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 2π)

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y
2 -2 - 2 O 2 4 6 8 10 x

的图象的一部分,试求此函数的解析式.

【变式】 函数 y ? Asin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? π) 的图象的一段如图所示,确定该函数的解析式.
y 2 Q P 7? 12 O x

-

-2

【变式】 (2005 年湖南高考)

设函数 f ( x) 的图象与直线 x ? a , x ? b 及 x 轴围成图形的面积称为函数 f ( x) 在 [a , b] 上的面 积,已知函数 y ? sin nx 在 ?0 ,
? ? π? 2 ? ? 上的面积为 n (n ? N ) , n?
y S4 S1 S2 S3

2π ? ? ⑴ y ? sin 3x 在 ?0 , 上的面积为 ; 3? ? ? ? π 4π ? ⑵ y ? sin(3x ? π) ? 1 在 ? , 上的面积为 3? ?3 ? π? ?k 【例6】 设 f ( x) ? sin ? x ? ? (k ? 0) 5 3? ?



O

x

⑴求当 k ? 3 时,函数图象的对称轴方程和对称中心坐标. ⑵求最小正整数 k ,使得当自变量在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数至少取 得一次最大值 M 和最小值 m .

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【变式】 圆 x 2 ? y 2 ? k 2 至少覆盖函数 f ( x) ? 3 sin

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πx 的一个最大值点与一个最小值点,求实数 k 的取 k

值范围.

【变式】 已知函数 y ? sin x ? a sin x ? 1 的最小值为 1,求 a 的值.
2

π? π? ? ? 【变式】 求证:在区间 ? 0 , ? 内存在唯一的实数对 (c , d ) , c , d ? ? 0 , ? ,且 c ? d ,使得 2? 2? ? ?

sin(cos c) ? c , cos(sin d ) ? d 成立.

【变式】 已知函数 f ?x ? ?

?? ? 3a sin 2 x ? 2a sin x ? cos x ? 3 3a cos2 x ? b ? 0 ? x ? ? 的值域为 2? ?

2 [ ? 3, ],求 a、b 的值.

【变式】 求证函数 f ( x) ?| cos x | ? | sin x | 的最小正周期是

π . 2

【例7】 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)( A ? 0, ? 0, ? ? ?

)的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 轴右 2 侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2) . (1)求 f(x)的解析式;

?

(2)将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 , (纵坐标不变) ,然后再将所得图象沿 x 轴正方向平移

? 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.写出函数 y=g(x)的解析式并用“五点法” 3

1 3

画出 y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.
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板块二:三角函数图象变换 板块一:任意角的概念与弧度 (一)知识内容 制 <教师备案>1.函数图象平移基本结论小结如下:
左移a个单位( a ? 0) y ? f ( x) ?????? y ? f ( x ? a) ?
右移a个单位( a ? 0) y ? f ( x) ?????? y ? f ( x ? a) ?

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上移a个单位( a ? 0) y ? f ( x) ?????? y ? a ? f ( x) ? 下移a个单位( a ? 0) y ? f ( x) ?????? y ? a ? f ( x) ?

? y ? f ( x) ???????? y ? f (? x ) ?
A y ? f ( x) ???????? Ay ? f ( x) ? 1 各点纵坐标变成原来的 倍

1 各点横坐标变成原来的 倍

绕x轴翻折 y ? f ( x) ???? y ? f ( x) ??
绕y轴翻折 y ? f ( x) ???? y ? f (? x) ?

这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出, 以左移 a 个单位的 解析式变化为例: 设 P( x0 , y0 ) 为 y ? f ( x) 左移 a 个单位后所得图象上的任意一点,则将P右移 a 个单 位得到的 P '( x0 ? a, y0 ) 必在 y ? f ( x) 的图象上,故 y0 ? f ( x0 ? a) ,又 P( x0 , y0 ) 点任意,故 y ? f ( x) 的图象左移 a 个单位得到的新的函数的解析式为: y ? f ( x ? a) . 函数变换可以用下图表示:
1 横 坐 标 扩 大 倍(0<??1) ? 1 横 坐 标 缩 短 倍(??1) ? 向 左 平 ? (?>0) 移 向 右 平 ? (?<0) 移

y=s i?x n

y=s ixn

y=s i(x+?) n

? 向 左 平 移 (?>0) ? ? 向 右 平 移 (?<0) ? 纵 坐 标 扩 A倍(A>1) 大 为 纵 坐 标 缩 A倍(0<A<1) 短 为

y=s i(?x+?) n

1 横 坐 标 扩 大 倍(0<??1) ? 1 横 坐 标 缩 短 倍(??1) ? b 向 上 平 移(b>0) A b 向 下 平 移(b<0) A

y=As i(?x+?) n

y=s i(?x+?) n

向 上 平b(b>0) 移 向 下 平b(b<0) 移

纵 坐 标 扩 A倍(A>1) 大 为

y=As i(?x+?)+b n
纵 坐 标 缩 A倍(0<A<1) 短 为

(二)典例分析
【例8】 ⑴(2009 浙江卷)
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已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ...
y 2 1 O y 1 O ? 2? x ? 2? x y 2 1 O y 2 1 O ? 2? x ? 2? x

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A.

B.

C.

D.

⑵(2009 年天津卷) 已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? x ? R , ? 0? 的最小正周期为 π ,为了得到函数 g ? x ? ? cos ? x 的 ? 4
? ? ? π?

图象,只要将 y ? f ? x ? 的图象(
π A.向左平移 个单位长度 8 π C.向左平移 个单位长度 4
π 4


π B.向右平移 个单位长度 8 π D.向右平移 个单位长度 4

⑶函数 y ? sin( x ? ) 的最小正周期为___,单调增区间为__________________.
【变式】 已知函数 f ( x) ? sin x ? a , a ?R

⑴讨论函数 f ( x) 的奇偶性 ⑵求当 f ( x) 取最大值时,自变量 x 的取值集合.

【变式】 (2007 天津文 9)

设函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ( x ? R) ,则 f ( x) ( 3
?

? ?

??

) B.在区间 ??? , ? ? 上是减函数 2? ? D.在区间 ? ,
?? ?3 5? ? 上是减函数 6? ? ? ??

? 2? 7 ? ? , 上是增函数 6? ?3 ? ?? ?? C.在区间 ? , ? 上是增函数 ?8 4?

A.在区间 ?

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【变式】 (2005 江西)

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设函数 f ( x) ? sin 3x? | sin 3x | ,则 f ( x) 为( A.周期函数,最小正周期为
π 3

)
2π 3

B.周期函数,最小正周期为 D.非周期函数

C.周期函数,最小正周期为 2π

【例9】 已知函数 y ?

1 3 cos2 x ? sin x ? cos x ? 1, ? R . x 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

【例10】 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)( A ? 0, ? 0, ? ? ?

)的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 轴右 2 侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2) . (1)求 f(x)的解析式;

?

(2)将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 , (纵坐标不变) ,然后再将所得图象沿 x 轴正方向平移

? 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.写出函数 y=g(x)的解析式并用“五点法” 3

1 3

画出 y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.

【变式】 函数 f ( x) ? sin x ? 2 sin x , x ? [0 , 2π] 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的

取值范围是
y 3



1 ? 2? x

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? 3π ? 【例11】 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ≤? ≤ π) 是 R 上的偶函数, 其图象关于点 M ? , ? 对称, 0 0 ? 4 ? ? π? 且在区间 ?0, ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值. ? 2?

π? ? ? π? 【变式】 已知函数 f ( x) ? a ? 2b sin ? x ? ? (a,b ? Z) ,当 x ? ?0, ? 时, f ( x) 的最大值为 2 2 ? 1 . 4? ? ? 2?

⑴求 f ( x) 的解析式; ⑵由 f ( x) 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数 y ? g ( x) 的图象?若能,请写出变换 过程;若不能,请说明理由.

【变式】 (2005 年湖北文)函数 y ? sin x cos x ?1 的最小正周期与最大值的和为



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2014高考二轮专题复习:1.2.1 三角函数的图象与性质.ppt
上,则 cos 2θ=( A.- 解析 答案 4 5 3 B.- 5 C. 3 5 4 D. 5 ). cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 由题意知,tan θ=2,cos 2θ= 2 ==- ...
高中数学1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象....doc
高中数学1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质(2)自我小测新人教B版必修4-含答案,三角函数值,三角函数的论文,高中数学三角函数公式,高中数学学生...
1.3.2 三角函数的图象与性质(1).doc
1.3.2 三角函数的图象与性质 第 1 课时 正弦、...性等性质. (4)通过观察、猜想、归纳,培养学生的...(1)小题,可将角 + 看成个整体,运用余弦函数...
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2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件1.2.1三角函数的图象与性质_数学_高中教育_教育专区。第一部分 高考专题串串讲 第一版块 专题知识突破 专题二 ...
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